2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第2章 5　从力做的功到向量的数量积 (3份打包)

§5　从力做的功到向量的数量积 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(重点) 2．体会平面向量的数量积与向量射影的关系． 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　向量的夹角及数量积 阅读教材P93～P96内容，完成下列问题． 1．向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，作＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角＝a， 范围 0°≤θ≤180° 特例 θ＝0° a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b，规定0可与任一向量垂直 2.向量的数量积 (1)射影 |b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称为投影)． (2)数量积 已知两个非零向量a与b，我们把|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． (3)规定 零向量与任一向量的数量积为0. (4)几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积． (5)性质 ①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ. ②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0. ③|a|＝. ＝ ④cos θ＝(|a||b|≠0)． ⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． (6)运算律 已知向量a，b，c与实数λ，则： ①交换律：a·b＝b·a； ②结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)设a与b的夹角为θ，则cos θ>0⇔a·b>0.(　　) (4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　) 【解析】　(1)×.两向量的数量积是一个数量． (2)×.∵a·b＝|a||b|cos θ＝0，∴a＝0或b＝0或cos θ＝0. (3)√. (4)×.由数量积定义知，错； 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× [小组合作型] 求向量的数量积 　已知|a|＝4，|b|＝5，且a与b的夹角为60°.求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a－b)2；(4)a2－b2. 【精彩点拨】　利用两个向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ，|a|2＝a2及运算律计算． 【自主解答】　由题知θ＝60°，|a|＝4，|b|＝5. (1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×5×cos 60°＝10. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝42＋2×10＋52＝61. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝42－20＋52＝21. (4)a2－b2＝|a|2－|b|2＝42－52＝－9. 1．求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求出|a|和|b|；③利用数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ求解．要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写． 2．若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积． [再练一题] 1．已知|a|＝10，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.求： (1)a·b； (2)a在b方向上的射影； (3)(a－2b)·(a＋b)； (4)(a－b)2. 【解】　(1)a·b＝|a||b|cos 120°＝10×4×＝－20. (2)a在b方向上的射影为|a|cos 120°＝10×＝－5. (3)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2 ＝a2－a·b－2b2＝|a|2－|a||b|cos 120°－2|b|2 ＝100－10×4×－2×42＝88. (4)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos 120°＋|b|2 ＝100－2×10×4×＋42 ＝100＋40＋16＝156. 与向量的模有关的问题 　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.求： (1)|a＋b|； (2)|3a－4b|. 【精彩点拨】　利用公式|a|2＝a2进行计算． 【自主解答】　a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (1)因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2·a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－4)＋22＝12， 所以|a＋b|＝2. (2)因为|3a－4b|