2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第2章 7　向量应用举例 (3份打包)

§7　向量应用举例 7.1　点到直线的距离公式 7.2　向量的应用举例 1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点) 2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点) 3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [基础·初探] 教材整理　向量应用举例 阅读教材P101～P103，完成下列问题． 1．点到直线的距离公式 若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝. 2．直线的法向量 (1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量． (2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)． 3．向量的应用 向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC是直角三角形，则＝0.(　　) · (2)若，则直线AB与CD平行．(　　) ∥ (3)向量的夹角与直线AB，CD的夹角相等或互补．(　　) ， (4)直线y＝kx＋b的一个法向量是(k，－1)．(　　) 【解析】　△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，则≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．· 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [小组合作型] 向量在平面几何中的应用 　已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线． 【自主解答】　设△BCD外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，连接OB，OC，OD，取＝b， ＝d，＝c， 则|b|＝|c|＝|d|， 又由题意，知分别为120°和90°的弧．和 ∴b·d＝0，b·c＝|b||c|cos 120°＝－R2. 又∵＝c＋3(d－c)＝3d－2c，＝c＋3＋＝ ＝b－3d＋2C．－＝ ∴＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，· 即，∴AB是⊙O的切线．⊥ 1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系． 2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系． [再练一题] 1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点， (1)求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示). 【导学号：69992028】 【解】　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，＝(n，－m)． (1)证明：∵D为AB的中点， ∴D， ∴|，|＝，||＝ ∴|AB.|，即CD＝||＝ (2)∵E为CD的中点， ∴E，设F(x,0)，则 ＝(x，－m)．，＝ ∵A，E，F共线，∴，＝λ 解得(x，－m)＝λ， ∴ 即x＝，＝，，即F ∴|，|＝ 即AF＝. 向量在物理中的应用 　某人在静水中游泳，速度为4km/h. (1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？ 【精彩点拨】　解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解． 【自主解答】　(1)如图①，设人游泳的速度为|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.，根据勾股定理，|＝＋，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为，水流的速度为 (2)如图②，设此人的实际速度为.，水流速度为 ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为，＝－ 在Rt△AOB中，|.|＝4|＝4，|，||＝4 ∴cos∠BAO＝， 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为km/h.，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系． 2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则． 3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一． [再练一题] 2．如图2­7­1所示，一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1 000 km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C两地相距2 000 km，求飞机从B地到