2017-2018学年高一数学北师大版必修4课件+教师用书+练习：第1章 9 三角函数的简单应用 (3份打包)

§9　三角函数的简单应用 1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点) [基础·初探] 教材整理　三角函数模型的应用 阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题． 1．三角函数模型的应用 (1)根据实际问题的图像求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． 2．解答三角函数应用题的一般步骤 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数．(　　) (2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.(　　) (3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．(　　) (4)函数y＝sin [π(x－1)]的周期为2.(　　) 【解析】　(1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝＝2.＋kπ(k∈Z)是y＝sin x的对称轴；(4)T＝ 【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ [小组合作型] 三角函数在物理学中的应用 　交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220来表示，求： sin (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 【精彩点拨】　(1)求t＝0时所对应的电压． (2)求函数的周期．(3)求函数的最值． 【自主解答】　(1)当t＝0时，E＝110V.(V)，即开始时的电压为110 (2)T＝(s)，即时间间隔为0.02 s.＝ (3)电压的最大值为220V， 当100πt＋(s)时第一次取得最大值．，即t＝＝ 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ(＋b(A>0，ω>0(的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象. [再练一题] 1.如图1­9­1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求： 图1­9­1 (1)经过多长时间，小球往复振动一次； (2)这条曲线的函数解析式； (3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移． 【解】　(1)由图像可知，周期T＝2×＝π， 所以小球往复振动一次所需要的时间为π s. (2)由题意可设该曲线的函数解析式为 s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 从图像中可以看出A＝4，又＝π，所以ω＝2. 从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝，s＝4代入上式， 得sin.＝1，所以φ＝ 故这条曲线的函数解析式为 s＝4sin，t∈[0，＋∞)． (3)当t＝0时，s＝4sin cm.(cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是2＝2 [探究共研型] 三角函数的实际应用 探究1　建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？ 【提示】　(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型． (2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题． (3)最后将所得结果翻译成实际答案． 探究2　如何建立拟合函数模型？ 【提示】　(1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”． (2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型． (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验． 　某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出曲线，如图1­9­2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像． 图1­9­2 (1)试根据以上数据，求函数解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？ 【精彩点拨】　(1)根据题意确定A，b，ω，φ. (2)根据题意水深y≥11.5可求解． 【自主解答】　(1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h， 因此. ＝12，得ω＝ ∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)． (2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)． ∴当y≥11.5时就可以进港． 令y＝3sin， t