2017-2018学年高中数学（苏教版,必修一）章末分层突破+综合测评:第二章 函数 （2份打包）

巩固层·知识整合 章末综合测评 提升层·能力强化 拓展层·链接高考 章末分层突破 [自我校对] ①对应关系 ②图象法 ③单调性 ④映射 ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 函数值域的求法 函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合——值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域． 　求下列函数的值域： (1)y＝eq \r(2x)；(2)y＝eq \f (2x－1,x＋3)；(3)f (x)＝x＋eq \r(3x－2). 【精彩点拨】　(1)用直接法(观察法)；(2)所求函数解析式为分式，因此可利用分离系数法或反解法；(3)中含有根式，可利用换元法求解． 【自主解答】　(1)由偶次方根的被开方数为非负数，得2x≥0，即x≥0.所以函数y＝eq \r(2x)的定义域为[0，＋∞)，因此eq \r(2x)≥0，所以函数y＝eq \r(2x)的值域为[0，＋∞)． (2)法一(分离系数法)：y＝eq \f (2x－1,x＋3)＝eq \f (2x＋3－7,x＋3)＝2＋eq \f (－7,x＋3).而eq \f (－7,x＋3)≠0，所以2＋eq \f (－7,x＋3)≠2，因此函数y＝eq \f (2x－1,x＋3)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 法二(反解法)：因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝eq \f (2x－1,x＋3)的定义域为{x∈R|x≠－3}．又由y＝eq \f (2x－1,x＋3)，得x＝eq \f (3y＋1,2－y).而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2.所以函数y＝eq \f (2x－1,x＋3)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (3)令eq \r(3x－2)＝t，则t≥0，x＝eq \f (t2＋2,3)＝eq \f (1,3)t2＋eq \f (2,3)， ∴f (x)＝eq \f (1,3)t2＋eq \f (2,3)＋t＝eq \f (1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f (3,2)))2－eq \f (1,12). ∵t≥0，∴f (x)≥eq \f (2,3)，∴函数f (x)＝x＋eq \r(3x－2)的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (2,3)，＋∞)). 常见的求值域的方法 1．直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f (x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f (x)的值域为{6,11,16,21}． 2．分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域． 3．反解法：例如求函数y＝eq \f (x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq \f (x－1,x＋2)解出x得x＝eq \f (2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq \f (2y＋1,1－y)＞－4，即eq \f (2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq \f (5,2)或y＜1.故函数y＝eq \f (x－1,x＋2)(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (5,2)，＋∞)). 4．图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域． 5．换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解． [再练一题] 1．(1)函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋7，x∈[－1，1，,2x＋6，x∈[1，2]，))则f (x)的最大值与最小值分别为________、________. (2)已知函数f (x)＝－x2＋