【两年同步试题】上海市静安区2014-2016年高三4月教学质量检测（二模）数学试题（文+理） (3份打包)

静安、青浦、宝山区2015届高三第二学期教学质量检测（二模） 数学试卷（理科） 2015.04. （满分150分，考试时间120分钟） 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知抛物线 的准线方程是 ，则 ． 2．已知扇形的圆心角是 弧度，半径为 ，则此扇形的弧长为 ． 3．复数 （ 为虚数单位）的模为 ． 4．函数 的值域为 ． 5．若 ，则 ． 6．在 的展开式中， 的系数是 ． 7．方程 的解集为 ． 8．射击比赛每人射2次，约定全部不中得0分，只中一弹得10分，中两弹得15分，某人每次射击的命中率均为 ，则他得分的数学期望是 分． 9．过圆 上一点 的切线方程为 ． 10．在极坐标系中，点P(2， )到直线 的距离等于 ．[来源:学&科&网] 11．把一个大金属球表面涂漆，共需油漆 公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球，不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤． 12．设 是平面内两个不共线的向量， ， ， .若 三点共线，则 的最小值是 ． 13．设等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，且 ，则 ． 14．已知：当 时，不等式 恒成立，当且仅当 时取等号，则 ． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 15.如图，ABCDEF是正六边形，下列等式成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 16.已知偶函数 的定义域为 ，则下列函数中为奇函数的是（ ） （A） （B） （C） （D） 17. 如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是（ ） （A）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B）②为循环体 （C）③是判断是否继续循环的终止条件 （D）输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 18.定义：最高次项的系数为1的多项式 （ ）的其余系数 均是整数，则方程 的根叫代数整数． 下列各数不是代数整数的是（ ） （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 如图，在直三棱柱 中，已知 ， ⊥ ． （1）求四棱锥 的体积； （2）求二面角 的大小． 20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数 满足关系 ，其中 是常数. （1）若 ，且 ，求 的解析式，并写出 的递增区间； （2）设 ，若 的最小值为6，求常数 的值． 21. (本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某公园有个池塘，其形状为直角 ， ， 的长为2百米， 的长为1百米． （1）若准备养一批供游客观赏的鱼，分别在 、 、 上取点 ，如图(1)，使得 ， ，在 内喂食，求当 的面积取最大值时 的长； （2）若准备建造一个荷塘，分别在 、 、 上取点 ，如图(2)，建造 连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使 为正三角形，记 ，求 边长的最小值及此时 的值．(精确到1米和0.1度) [来源:学|科|网Z|X|X|K] [来源:Zxxk.Com] 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分． 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的方程为 ，设 是过椭圆 中心 的任意弦， 是线段 的垂直平分线， 是 上与 不 重合的点． （1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程； （2）若 ，当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹方程； （3）记 是 与椭圆 的交点，若直线 的方程为 ，当△ 面积取最小值时，求直线 的方程． 23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设 是公比为 的等比数列，若 中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称 是封闭数列. （1）若 ，判断 是否为封闭数列，并说明理由； （2）证明 为封闭数列的充要条件是：存在整数 ，使 ； （3）记 是数列 的前 项之积， ，若首项为正整数，公比 ，试问：是否存在这样的封闭数列 ，使 ，若存在，求 的通项公式；若不存在，说明理由