上海市上海中学2016-2017学年高三数学复习专题汇编（实验班专用）专题3:导 数（无答案）

专题3:  导数

【注意】【参加自主招生考生必须掌握】

1、导数的背景：

（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

【例1】一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，

那么物体在时的瞬时速度为_____

 

 

 

2、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数，

记作 ，

导函数也简称为导数。

 

3、求在处的导数的步骤：

（1）求函数的改变量；

（2）求平均变化率；

（3）取极限，得导数。

 

 

4、导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方

程是。

 

特别提醒：（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条；

 

（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。

 

【例2】（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______

 

 

（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______

 

 

（3）已知函数（为常数）图象上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____

 

 

（4）曲线在点处的切线方程是______________

 

 

 

（5）已知函数，

又导函数的图象与轴交于。

①求的值；②求过点的曲线的切线方程?

 

 

 

 

5、导数的运算法则：

（1）常数函数的导数为0，即（C为常数）；

（2），

与此有关的如下：；

（3）若有导数，则

①；

②。

 

【例3】（1）已知函数的导数为，则_____

 

 

（2）函数的导数为­­__________

 

 

（3）若对任意，，则是______

 

 

6、多项式函数的单调性：

（1）多项式函数的导数与函数的单调性：

①若,则为增函数；若,则为减函数；