广东深圳北理莫斯科大学附属实验中学2026-2027学年第一学期高二年级期中考试数学试题

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B A D BD AC 题号 11 答案 ABC 1.【答案】D【详解】若l1/l2,则2m-(-1)×(-4)=0,解得m=2. 2.B【详解】由题意得， {侵+孤≥0得-9<m≤1 3.C【详解】由题意可知，0A=a,OB=b,0C=c. 因为点M在0A上，且0M=2MA,所以0M=号0A=五 又因为N为BC中点，根据向量加法的平行四边形法则（或中点公式），可得ON-(OB+OC)= 6+ 在△OMN中，由向量减法的三角形法则可得：MN=0N-0M=(i+的一8=a+五+8。 2 4.A【详解】圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+y-4)2=16, 所以两圆圆心为C1(0,0),C2(3,4),所以1C1C2l=√(0-3)2+(0-42=5， 两圆半径分别为r1=1,T2=4,所以川C1C2l=1+T2, 所以两圆位置关系为相切（外切）. 5.B【详解】由题意知a-c-R=R且后=号解得a=号R,c=gR, 则远地点离地面的距离为a十c-R=号R+R-R=号R: 6.A【详解】由题可知：8=m+5,5=4+n,解得m=3,n=1, 不妨设P为C,C2在第一象限的交点，IFP|=x,|F2P|=y, 由椭圆和双曲线定义可得：x-y=4,x+y=4W2,解得x=2+2V2,y=22-2, 则x2+y2=24xy=4,又|FF2l=25, 在ARPF,中，自余孩定理可得：c0s∠R,PR,-E-2-则∠RPR=号 2xy 8 7.C【详解】曲线C:x=√1-y-1)2+1即(x-1)2+y-1)2=1(x≥1)表示如图所示的半圆， 又l:kx-y-2=0过定点：(0，-2). 答案第1页（共8页） 当：kx-y-2=0与半圆相切时，圆心(1,1)到直线距离为1，则=1→k= Vk2+1 当直线过如图点B(1,0)时，斜率为：k=名=2，则实数k的取值范围是(（，2 1-0 8.D【详解】设1AF2l=m,则|BF2引=2|AF2=2m,|AB=3m, 由双曲线定义可知，|AF=|AF2|+2a=m+2a,|BFl=IBF2l+2a=2m+2a, 因为OA=OF所以△AF是直角三角形，即∠FA2=2 所以△ABF1是直角三角形，所以1AF112+|AB2=|BF112,即(m+2a)2+(3m)2=(2m+2a)2, 化简可得m=子a,所以AF引=a,|AF2=子a,在△A2中有AFIP+|AF,2=EF,12, 即（学+2=(2@，化简可得a2=c2,所以c的离心率为e==罗 9.BD【详解】 对于A,方程x2+y2-4x-4y+8=0,即(x-2)2+y-2)2=0表示点(2,2)，A错误： 对于B,直线的倾斜角的取值范围是[O,D,B正确： 对于C,方程苦+关=10<k<4纠表示焦点在x轴上的椭圆，C错误： 对于D,直线y=kx+1的斜率为k,一个方向向量可以是(1，k),D正确， 10.AC【详解】由题意，以A为原点，以AB,AA1,AC所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 可得A(0,0,0),A1(0,22,0),B(2,0,0),B1(2,2W2,0),C(0,0,2),C1(0,2V2,2),D(1,2V2,1) 则A1D=(1,0,1),B1C-（-2,-22,2),AC=(0,2V2,2),A1B-(2,-2V2,0), 对于A,由AC·i=0×2+2v2×V2+2×(-2)=0,则AC1元， 因为AC1￠平面A1BD,所以AC1/平面A1BD,故A正确； 对于B,设平面A1BD的一个法向量为7=(x,y,Z), 答案第2页（共8页） 则元·Dx+怎0。取x=2,得i=亿V22), (i·A1B=2x-2V2y=0 由于不存在实数，使得BC=λ元，则BC与n不平行，故B错误； 对于C,由A1D·B1C=1×(-2)+0×2V2+1×2=0,则A1D1B1C,故C正确： 对于D,GG训恶高是+ 4 则直线AC与B,C所成角不为故D错误 B 11.ABC【详解】对于A,由定义可得：d×b=(6,-13,-5),正确， 对于B,由×b为零向量，可得y122-y221=0,z1x2-22x1=0,x1y2-x2y1=0, 因为，是非零向量，所以存在非零常数k,使得a=kb, 即‖b台x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2台y1Z2-y221=0,Z1x2-Z2x1=0,x1y2-x2y1=0,B正确， 对于C,由a×b=(y122-y221,1x3-z2x1,x1y2-x2y1), 则a·(d×)=x10y12-y221)+y1(21x2-22x1)+21x1y2-x21)=0, 6·(a×b)=x20y122-y221)+y221x2-22x)+2(x2-x2y)=0, 由于d,是平面α内的两个不共线的向量，所以平面a的法向量可以是d×,正确： 对于D,取a=(10,o).i=(,9) 则×i=(o0,),则a×=9,a.6=-三，满足a×=反矶， 商此时c反)盖-马夹角为号D错误， 12.(-3,2)【详解】由题意(m+3)m-2)<0,得-3<m<2,即m的取值范围是(-3,2). 13.5【详解】设C1:x2+y2=1,C2:(c-4)2+y2=1,由题意，C1,C2到直线的距离等于半径， 即1b1=1,4+=1,所以Ib1l=14k+b1,所以k=0(舍)或者b=-2k, √k2+12 Vk2+12 则y=kx-2k,代入x2+y2=1得， x2+k2x-2)2=1,化简得(1+k2)x2-4k2x+42-1=0, 因为直线与圆C1相切， 所以△=16k4-4(1+k2)(4k2-1)=4-12k2=0, 解得k=5(舍去负值)，b=-2k=-2 3 答案第3页（共8页） 14.3V3或 【详解】根据题意原点到直线l。的距离d= 直线l为圆0：x2+y2=1的切线，如图， 设正三角形边长为a,如图△AB'C时， SaA'c=2sin=3×a×1,解得a=2V3, 即SAAB'c=a2=35； 4 如图△ABC时，a=o=,5Bc-9×(9-9 c0s30° 故答案为：3V或 31 15.(1)(4,-5,0)月 (2)-10 【详解】(1)(5分)由d=(2,2,2),d+b=(6,-3,2),得b=(d+)-d=(4-5,0) (2)(8分)由(1)知，12=12,1b12=41,a·=-2, 由(ka+b)1(a+2b),得(ka+b)·a+2b)=ka2+2ka·b+a·b+2b2 =12k-4k-2+82=8k+80=0,所以k=-10. 16.1)x2-二=1 8 (2)y=x+1. 【分析】(1)根据离心率求出b2,得到双曲线方程： (2)由点差法得到直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，检验后可得答案 【详解】(1)(5分)因为a=1,e==3,所以c=3a=3,则b2=c2-a2=8, 所以双曲线C的标准方程为x2-若=1. (2)(10分)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知x1≠x2: 好-=1 则 ,两式相减得x好-X好-亚=0，即4业=8+， 好-装=1 8 x1-x2y1+y2 答案第4页（共8页） 又4+=3片⅓=台所以=安-警=1 所以直线AB的方程为y-三=x-子，即y=x+1, 将y=x+1代入双曲线方程x2-二=1，整理，得7x2-2x-9=0, 8 则A=4+4×7×9>0,此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意， 则直线AB的方程为y=x+1. 17.(1)(x-1)2+y+2)2=10: (2)x=0或15x+8y-16=0. 【详解】(1)6分)因为k8=1=-1,且AB的中点为3.0)， 所以AB的垂直平分线方程为y-0=x-3,即x-y-3=0, 联收+0期何 故圆心C的坐标为C(1,-2), 所以圆C的半径r=ICA=√(1-2)2+(-2-1)z=V10, 所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=10. (2)(9分)设圆心C到所求直线m的距离为d, 由弦长公式得2Vr2-d2=2V10-d2=6,故d=1, ①当直线m的斜率不存在时， 则m:x=0,此时圆心C(1,-2)到直线m的距离为1，符合题意. ②当直线m的斜率存在时， 设直线m的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0, 则d=*=1,整理得8k+15=0,解得k=-号 Vk2+1 此时直线m的方程为15x+8y-16=0. 综上所述，所求直线m的方程为x=0或15x+8y-16=0. 18.(1)略2232 【详解】(1)(5分)证明：连接BD, 因为M,N分别是PD,PB的中点， 答案第5页（共8页） 所以MN/BD, 又因为MN丈平面BCDE,BDC平面BCDE, 所以MN/I平面BCDE: B (2)(7分) B 因为图1中，DE⊥AB,所以图2中DE⊥BE,DE1PE, 又因为PE L EB, 以E为原点，ED,EB,EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 由题意，E(0,0,0),D(2√2,0,0)，B(0,40),P(0,0,4,C(2√2,2,0)，M(V2,0,2),N(0,2,2), 所以cM=(-√2，-2,2)，MN=(-V2,2,0) 设平面MCN的法向量为元=(x,y,Z), 所以m:MC=-V2x-2y+2z=0 m.MN=-2x+2y=0 令x=V2,则y=1,z=2, 所以平面MCN的法向量为m=（√2,1,2)， 因为DE⊥PE,PE⊥EB,DE∩EB=E,DEC面BCDE,EBC面BCDE, 所以PE⊥面BCDE, 所以平面BCDE的法向量为PE=(0,0,-4), 设平面MCN与平面BCDE夹角为B, 所以cos0=kos城P引=隔==9. 8 所以平面MCV与平面BCDE夹角余弦值为 7 答案第6页（共8页） (3)(5分)由(2)知，平面MCN的法向量为元=(2,1,2)， 又P元=（22,2，-4)， 所以点P到平面MCN的距离为C=2x22+1x2-2x4=2 V2+1+4 19.(0c2若+苦=1 (2)略 (3)存在，：y=±x-1 【详解】(1)(6分)由题意可知，“特征三角形'是等腰三角形，且腰长为a,底边长为2c, 那么两个“特征三角形”相似比即两椭圆的长半轴长之比或者焦距之比，从而这两个椭圆的离心率相等 由椭圆G:苦+苦-1的离心率为e:-1-骨2=号 可知过点(V2,V3)且与椭圆G:苦+号=1相似的椭圆C的离心率，=e= 3 设所求椭圆为C2若+若=1，代入点(V2,V③)得：是+是=1，① 又由e2=9-1-白，可得2a2=3b2,@ 联立两式解得：a2=6,b2=4, 所以所求椭圆方程为：C2:若+号=1 (②)(6分)证明：当直线m的斜率不存在时，又与椭圆C:苦+号=1相切，则切线方程为x=±士V2。 由对称性不妨取x=V2,代入椭圆C2:若+号=1，可得两交点坐标为A(2,-V③.B(W2,③， 此时1AB|=2W3,故S△AoB=×V2×2VW3=V6; 当直线m的斜率存在时，可设直线m的方程为y=kx+n,代入椭圆G:苦+号=1， 消去y,可得(2k2+3)x2+4nkx+2n2-6=0, 因直线m与椭圆C1相切，可得：△=(4nk)2-4(2k2+3)(2n2-6)=0,整理得n2=2k2+3. 再将y=kx+n代入G2若+号=1，消去y,可得2kx+m2+3x2=12, 整理得(2k2+3)x2+4nkx+2n2-12=0,因△=(4nk)2-4(2k2+3)(2n2-12)=8(12k2-3m2+18), 将n2=2k2+3代入，化简得△=8(12k2-3n2+18)=24(2k2+3)>0, X1+X2=- 4nk 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 2k2+3 X错 故ABl=V1+K2|x1-x2l=V1+k2√x1+x2)2-4x1·x2 =V1+(-)2-4×=2V1+ -6n2+24k2+36 2k2+3 (2k2+3)2 将n2=2k2+3代入上式，化简得AB=2V1+k2· =6(2k2+3)+24k2+36=2V1+k2. 12k2+18=2/61+k (2k2+3)2 V(2k2+3)2 V2k2+3 答案第7页（共8页） 又点0到直线kx-y+n=0的距离为d=ml 2k2+3 V1+k2 V1+k2 则Sa40B=iXAB×d=×26m图 2k2+3 V2k2+3 V1+k2 =V为定值， (3)(5分)假设直线存在；设直线的方程为：y=kx-1,且Q(x3,y3),R(x4,y4),P(xs,ys),S(x6,y6) 由兰1消去y,可得2k2+3)x2=秋x=4=0,则有 +名0 4 X3X4=- 2k2+3 (y=kx-1 4k 又由2+兰=1消去，可得2k2+3)x2-4x-10=0,则有 x5+X6= 2k2+3 10 6 4 X5X6=- 2k2+3 可得3+x4=5+x5=2k 2 2 =22+3即QR,PS中点的横坐标相同， 又因为P,Q,R,S四点共线，所以QR的中点即为PS的中点， 因3P+2R=4Q5,则3PS1+2×P5-IO!=4×1P+I0R, 化简得2PS=3引QR|(*), 2 因|QR=V1+k2.Vx3+x4)2-4x3x4=V1+k2. 、G2-4(- 4W3(k2+1) 2k2+3 IPSI =v1+k2.(xs +x6)2-4xsx6=V1+k2. ÷}-4(品-2e 2k2+3 代入(*)，可得+24+3可=12Y3+卫，化简得V24k2+30=3V3·V2+1,解得k=士1，符合题 2k2+3 2k2+3 意.故存在直线：y=±x-1满足条件. VA 答案第8页（共8页）绝密★启用前 深北莫附中2026-2027学年第一学期高二年级期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 命题人：刘紫瑶 审题人：缪泽明 一、单选题 1.直线l1:2x-y+3=0,直线l2:-4x+my+1=0,若l1/2,则m的值为（) A.-8 B.-2 C.8 D.2 2.己知点P(0,3)在圆C:x2+y2+2x+m=0外，则实数m的取值范围是（) A.m>-9 B.-9<m<1 C.m<1 D.m<-9或m>1 3.如图所示，空间四边形0ABC中，OA=a,OB=b,O元=，点M在0A上，且 OM=2MA,N为BC中点，则M等于() B A.ā-号6+c 2 3 B.吉a+B+c 2 c.a++ 2 D.a+五-c 4.已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+y-4)2=16,则两圆位置关系为（) A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定 5.某航天器的运行轨道是以地心为一个焦点，且离心率为酷的椭圆设地球半径为R, 若其近地点离地面的距离为R,则远地点离地面的距离为() A.9R B.R C.10R D.12R 6.若R(-V5,0,R,(5,0)是椭圆G:苦+光=1与双曲线G2:号-兰=1的公共焦 m 点，且P是C1与C2一个交点，则∠F1PF2=() A.3 B.月 C. D. 第1页共4页 7.若直线：kx-y-2=0与曲线C:x=√1--1)2+1有两个不同的交点，则实 数k的取值范围是() A.(,2 B.(4 c.(2 D.[2,+o) 8.已知双曲线c:器-二=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为R,5,过F,的直线与 C的右支交于A,B两点，若OA=IOF1,IBF21=2AF2L,则C的离心率为() A.3 C.9 3 B.5 3 D.vi7 3 二、多选题 9.以下命题正确的是() A.方程x2+y2-4x-4y+8=0表示圆心在点(2,2)处的圆. B.设直角坐标平面内一条直线的倾斜角是a,则a的取值范围是[0，) C.方程号+兰=1〔0<k<4)表示焦点在y轴上的椭园 D.直线y=kx+1的一个方向向量可以是(1，k) 10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1AC,AB=AC=2,AA1=2V2,D为B1C1的 中点，则() B A.AC1/平面A1BD B.B1C1平面A1BD C.A1D⊥B1C D.直线AC与BC所成角为 11.对于两个向量a=(x1,y1,z1),万=(x2,y2,z2),定义a×为d,的向量积”，该 运算的结果是一个向量：d×万=(0y122-y221,Z1x2-22x1,1y2-x2y1),则下列说法 正确的是（) A.若=(1,2，-4)，b=(3,1,1),则a×=(6,-13,-5) B.若d,五是非零向量，且d×为零向量，则一定有dI C.若a,b是平面a内的两个不共线的向量，则平面a的法向量可以是dx D.若a,b是非零向量，且a×=|a.,则a,b的夹角为朝 第2页共4页 三、填空题 12。若方程二+二=1表示双曲线，则m的取值范围是 13.设直线：y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切，则 k= 14.已知直线la:xcosa+ysina=1(0≤a<2m),若la,’la2,l.,能围成正三角形， 则该正三角形的面积为 四、解答题 15.已知d=(2,2,2),a+b=(6,-3,2) (1)求向量五的坐标： (2)若(kd+1(a+2b),求k的值. 16.已知双曲线C:x2-S=1(凸>0)的离心率为3，A,B是C上的两点. (1)求C的标准方程； (2)若线段AB的中点为（传》 求直线AB的方程， 17.已知圆C经过点A(2,1)和B(4,-1),且圆心C在直线l:x+y+1=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若过点D(0,2)的直线m被圆c所截得弦长为6，求直线m的方程」 第3页共4页 18.如图1，已知梯形ABCD中，AB//CD,E是AB边的中点，DE1AB,AB=4DC= 8,DE=2V2.将△ADE沿DE折起，使点A到达点P的位置，且PE1EB,如图2，M, N分别是PD,PB的中点. 图1 图2 (I)求证：MN/平面BCDE (2)求平面MCN与平面BCDE夹角的余弦值； (3)求点P到平面MCN的距离 19.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的特征三角形”.如 果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆相似”，并将特征三角形的 相似比称为这两个椭圆的相似比.已知椭圆G:号+号=1，椭圆C与C:的焦点在同一坐 标轴上，且经过点（√2，V3),并与椭圆C1相似 (1)求椭圆C2的方程 (2)若直线m与椭圆C1相切，且与椭圆C2交于A,B两点，求证：△OAB的面积是定值 (3)过点(0，-1)作斜率为k的直线与椭圆C1交于R,Q两点(R在Q的上方)，直线与椭 圆C2交于S,P两点(S在P的上方).是否存在直线L,使得3P下+2R下=4Q？若存在， 求出直线的方程，若不存在，请说明理由 第4页共4页