精品解析：内蒙古自治区呼和浩特铁路局呼和浩特职工子弟第一中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

呼铁一中2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的斜率得倾斜角，从而得直线的倾斜角，得斜率后可得直线方程． 【详解】，，所以，所以直线的方程是： ，即． 故选：B． 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程,结合平方关系，即可求得焦点坐标. 【详解】由椭圆方程化标准方程得：， 由，可得， 则焦点坐标为：和， 故选：C. 3. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意化圆C为标准方程，由两圆位置关系得两圆相交，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程． 【详解】由题圆C：,则两圆心距为，故两圆相交 由于圆O：与圆C：关于直线l对称，则直线l是两圆的公共弦所在的直线， 故把两圆的方程相减可得直线l的方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，判断直线l是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题． 4. 已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【详解】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 5. 直线被圆截得的弦长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为化为，可知圆的圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为， 故选C. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】数形结合，利用当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点  与点  的距离为：. 当直线 与线段  垂直时，点  到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段  的斜率为 ，直线  垂直于 ，直线  的斜率为 . 故选：C 7. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据公切线条数可知两圆外切，可知圆心距等于两圆半径之和，从而构造出方程求得结果. 【详解】两圆公切线有且仅有三条 两圆外切 由圆的方程可知，两圆圆心分别为：，；半径分别为：和 两圆圆心距，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据圆与圆的位置关系求解参数值，关键是能够根据公切线条数确定两圆的位置关系. 8. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线不经过第一象限 D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于选项A，当时，可得，则直线：，， 当时，可知，则，此时， 当时，此时：，：，可得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，可得，则：，得，可知：， 当，即时，重合，所以选项B错误； 对于选项C，可知：，当时，，所以图像经过第一象限，所以选项C错误； 对于选项D，当时，可得：，过， 直线与坐标轴围成的三角形面积为，所以选项D正确. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面 B. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 C. 设，，是三个空间向量，则 D. 若与共面，与共面，则任意，与共面 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：举特例，理解判断即可；对于BD：根据题意结合共面向量的定义与性质分析判断；对于C：根据数量积的分配律分析判断. 【详解】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量， 显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误； 对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移， 可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误； 对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确； 对于选项D：对任意，可知与、共面， 若、与共面，所以与共面，故D正确； 故选：CD. 11. 在四面体中，以下说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为的重心，则 C. 若四面体的各棱长都相等，则 D. 若四面体各棱长都为，、分别为、的中点，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算和空间向量的数量积运算，逐个进行求解． 【详解】对于A，，所以， 所以，所以， 所以，即，故A正确； 对于B，若为的重心，取边的中点 ，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，， 所以， 由空间向量数量积的定义可得， ， 因为， 所以，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 13. 曲线围成的面积为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用曲线的对称性以及圆面积公式、扇形的面积公式分析计算即可. 【详解】由曲线围成的图形如图所示： 要计算曲线围成的面积，只需计算第一象限内围成的面积，然后乘以4即可， 当曲线方程化为， 这是一个以为圆心，为半径的圆， 该圆刚好经过原点以及坐标轴上的和． 第一象限内的面积是这个圆在内的部分，由圆的面积为， 它超出第一象限的部分，是被轴（弦长为2）和轴（弦长为2）切下的两个弓形， 由于弦长等于2，半径为，满足，这意味着圆心角为， 单个月牙弓形面积， 所以第一象限内的面积， 因此曲线围成的总面积为：． 14. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【解析】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上的截距分别为. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由点斜式方程进行求解即可； （2）由斜截式方程求解即可； （3）由两点式方程求解即可； （4）由截距式方程求解即可. 【小问1详解】 由点斜式，得直线方程为， 即. 【小问2详解】 由斜截式，得直线方程为， 即. 【小问3详解】 由两点式，得直线方程为， 即. 【小问4详解】 由截距式，得直线方程为， 即. 16. 根据下列条件，求椭圆的标准方程． （1）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离的和等于． （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， ，， 又，， 故所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 因为椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，， 设椭圆方程为， 则，解得，， 椭圆方程为， 椭圆的标准方程为． 17. 已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解； （2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解. 【小问1详解】 直线的方程为，即， 点到直线的距离， ， 所以的面积. 【小问2详解】 设外接圆的方程为， 由题意得 解得 故的外接圆的方程为. 18. 已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上． （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的性质求得，应用点斜式写出直线，联立直线l求圆心，两点距离求半径，写出圆的方程即可； （2）由（1）求圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求圆上点到直线的最小距离. 【小问1详解】 由题设中点为且，而，故， 所以直线为，即， 联立，可得，即，而， 所以圆. 【小问2详解】 由（1）知：，则到的距离， 所以直线与圆相离，则. 19. 如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，． （1）求证：平面； （2）设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面． 【答案】（1）取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点，所以，且． 因为四边形为矩形且为的中点， 所以，． 所以四边形是平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）由题设，，，． 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，． 设， 则，，． 设平面的法向量为， 则 即 令，则，．于是． 选择条件①：． 因为，， 所以．解得． 故点的位置唯一确定，且． 设平面的法向量为， 则 即 则，令，则．于是． 因此平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件②：． 因为，， 所以．解得． 故点的位置唯一确定，且． 设平面的法向量为， 则 则，令，则．于是． 因此平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】 【分析】（1）解法一：作辅助线，可证，根据线面平行的判定定理分析证明；解法二：作辅助线，可证平面平面，根据面面平行证明线面平行；解法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）若选①：解法一：求得点坐标，利用空间向量求面面夹角；解法二：作辅助线，根据线段长相等可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；若选②：解法一：求得点坐标，利用空间向量求面面夹角；解法二：作辅助线，根据垂直关系分析可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；若选③：根据平面平面分析可知点不唯一，不合题意. 【小问1详解】 解法二：设，的中点分别为，，连接，，，， 因为分别为，的中点，则，， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为分别为，的中点，则， 可得，可知四点共面， 因为，平面，则平面平面， 且平面，所以平面； 解法三：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 且，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 因为，即， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 若选①：解法二：由（1）可知，则， 设，，的中点分别为， 可知为线段的中垂线，则， 因为，由题意可知：平面，即平面， 则，，可得，符合题意， 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选②：解法二： 取的中点，连接，设， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，则平面，即平面， 且平面平面，可得平面， 取的中点，连接，，可知， 设，可知点为的中点， 因为，，可得平面，则， 因为平面且平面，可得， 过点作， 且，平面， 则平面，可得， 可知平面与平面的夹角为， 由题意可知：，， 则，， 则，， 所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选③：由（1）可知：平面平面， 因为，平面即为平面，即平面平面， 可得平面，此时点不唯一，不合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼铁一中2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点的直线的倾斜角是直线:的倾斜角的2倍，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 若圆与圆关于直线对称，则直线的方程是　　 A. B. C. D. 4. 已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6. 点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A. B. 4 C. 5 D. 25 7. 圆与圆有三条公切线，则半径 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线：，：，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则直线不经过第一象限 D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面 B. 向量，，共面，即它们所在的直线共面 C. 设，，是三个空间向量，则 D. 若与共面，与共面，则任意，与共面 11. 在四面体中，以下说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若为的重心，则 C. 若四面体的各棱长都相等，则 D. 若四面体各棱长都为，、分别为、的中点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为_______． 13. 曲线围成的面积为_________． 14. 已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是，且经过点； （2）斜率为，在轴上的截距为； （3）经过，两点； （4）在轴、轴上的截距分别为. 16. 根据下列条件，求椭圆的标准方程． （1）两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离的和等于． （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过． 17. 已知点，，. （1）求的面积； （2）求的外接圆的方程. 18. 已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上． （1）求圆心为C的圆的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值． 19. 如图，在直三棱柱中，,分别为,的中点，，，． （1）求证：平面； （2）设点在的内部，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $