精品解析：海南儋州市2026-2027学年高三上学期期中学业质量诊断数学试题

儋州市2026年秋季学期高三年级期中学业质量诊断 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、概率统计、立体几何、解析几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 所以，， 所以. 故的子集的个数为. 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】因为，由不等式性质可得，； 若，取，满足，但得不到， 所以命题是命题的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇函数定义列式计算求解求参. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 则， 所以. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原不等式等价于，解得：且或， 所以解集为： 5. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得方程有根，则，结合，求得或，利用诱导公式和二倍角余弦公式化简求解. 【详解】因为函数有零点，即方程有根， 所以，则， 因为，所以或， 则. 故选：B. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， ，故有. 7. 已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简，根据，可得，结合在内有且仅有2个最低点分析即得解. 【详解】由题意 . 当时，. ∵在内有且仅有2个最低点， ∴，∴. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得周期，利用周期性和对称性，结合可得，然后妙用“1”求最值，根据最值取得条件即可得a，然后可得答案. 【详解】根据可得的图象关于对称， 因为，所以， 的周期为4， ，，， ，， ，即， ， 当且仅当，即时，等号成立， ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确； 对B，，故B正确； 故选：ABD 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由和正弦定理得，， 即， 因，，所以，则，即，故A正确； 由，故，故三角形仅有一个解，故B正确； 当，则为钝角，而为钝角三角形，A不一定是钝角，故C错误； ， 故，当且仅当时等号成立，故D正确. 11. 定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. D. 4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令可求出，对于B，令，再结合函数奇偶性的定义判断即可，对于C，分别令，分析求解，对于D，令，再结合周期的定义分析判断 【详解】对于A，令，可得，A选项正确； 对于B，令，有， 从而有，可知为偶函数，B选项错误； 对于C，令，有； 令，有，可得， 从而有，有， 当时，，可得，与矛盾， 可知，可求得，，有，C选项正确； 对于D，令，有，有， 从而有，可知4是函数的一个周期，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，若，且，则________. 【答案】0 【解析】 【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故， 所以，解得. 13. 以一个正三角形的每条边为直径向外作半圆，称由这三个半圆弧组成的图形为“膨胀三角形”，如图所示，若正三角形的边长为，点为“膨胀三角形”的边界及内部的任意一点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的分配律，将数量积拆分为定值部分和变化部分，由数量投影的几何意义数形结合得到变化部分的取值范围，进而得到数量积的范围. 【详解】 取中点，过作的平行线分别交左右两侧半圆弧于， 则， 因此 ， 其中为向量在方向上的数量投影， 当在处时，，， 当在处时，，， 所以. 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数运算得出，再根据切线方程计算求解即可. 【详解】依题意，， 因为，所以； 在处的切线方程为，令，解得， 在处的切线方程为，令，解得， 所以． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 盒中有标记1，2，3，4的小球各2个，随机一次性取出3个小球． （1）求所有取出的小球上的数字之和小于6的概率； （2）记所有取出的小球上数字小于3的个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）分析得所有取出的小球上的数字之和小于6的情况，结合古典概型即可求解； （2）分析的所有可能取值为0，1，2，3，分别求得对应概率即可得出分布列，再根据期望公式即可求解期望． 【小问1详解】 记事件为“所有取出的小球上的数字之和小于6”， 则， 故所有取出的小球上的数字之和小于6的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 故的分布列为， 0 1 2 3 的数学期望为． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理得到，再由正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由不等式求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理，可得，则， 又由正弦定理，可得， 所以，即，即， 又由，可得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由及余弦定理，可得， 又由不等式，可得，当且仅当时取等号， 由的面积， 故的面积的最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是正三角形，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）设 ，则在点相互平分， 又菱形中，， 是正三角形，则， 而 ， 平面， 所以 平面， 因为平面，所以平面 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明 平面，再根据面面垂直的判定定理得出结论； （2）利用同一法证明平面，然后建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面 和平面的一个法向量，由法向量的夹角与二面角的关系求得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知，因为是正三角形，所以， 中，， 设 ，垂足为，则， 所以与重合，即， 因为平面 平面，平面平面 ，平面， 所以平面， 分别以 为 轴，过且平行于的直线为建立空间直角坐标系，如图， 又， 所以 ，， ，, 是中点，则， ， 设平面 的一个法向量是， 则，令，得， 设平面的一个法向量是， 则，令，得， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，圆，过的直线与交于，两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，设在圆上，且也在上，判断是否存在点满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由； （3）当时，直线交圆于，两点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和通径的计算即可求解； （2）通过斜率为0，斜率不存在，和斜率存在且不为0三种情况讨论求解即可； （3）①当直线AB的斜率为0时，得到，②当直线AB的斜率不为0时，设直线，联立椭圆方程，结合椭圆弦长公式和圆的弦长公式得到，再令，构造函数，求导确定单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意，，所以， 当时，可得，解得， 所以，解得， 所以C的标准方程为． 【小问2详解】 易知，设，显然当直线AB斜率为0时，不符合题意． 当直线AB斜率不存在时，，满足题意，此时直线方程为； 当直线AB斜率存在时，设A、B两点的坐标分别为，则， 则，两式相减可得， 即，易知， 所以，因为， 即，解得或，均不符题意． 综上所述，存在点D满足，此时直线AB的方程为． 【小问3详解】 ①当直线AB的斜率为0时，，，所以． ②当直线AB的斜率不为0时，设直线， 联立直线l与C的方程，得， ∴， 由韦达定理得， ， 则， 圆心到直线AB的距离， 则， 因此，， 令，则， 设，则， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以， 因为，所以的最大值为． 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 【答案】（1） （2） （i）证明：不妨设，则， 则由，知，所以， 设， 所以单调递增，， 所以，即. （ii）证明：由（1）可知，当时，， 所以，即当时，， 由，得，所以， 又，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用参数分离法，构造函数，将问题转化为，再利用导数求得，从而得解； （2）（i）利用换元法将等式化为，构造函数，利用导数分析得其单调性，从而得证； （ii）利用（1）结论，取，得到，进而得到，从而化简得证. 【小问1详解】 由题意得定义域，， 即恒成立. 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值，， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：第（2）（i）关键点是通过换元令，从而可构造函数，求导得出函数单调性，从而利用最值证明原命题； 第（2）（ii）关键点是通过观察找到合适的的值代入运算，使得证明过程更简便，再结合，代入结论式即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市2026年秋季学期高三年级期中学业质量诊断 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形、概率统计、立体几何、解析几何． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. －2 B. 0 C. 1 D. 2 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有零点，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象在内有且仅有2个最低点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，当时，，若，其中，则当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则的最小值为 11. 定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. D. 4为函数的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设随机变量，若，且，则________. 13. 以一个正三角形的每条边为直径向外作半圆，称由这三个半圆弧组成的图形为“膨胀三角形”，如图所示，若正三角形的边长为，点为“膨胀三角形”的边界及内部的任意一点，则的取值范围为______． 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 盒中有标记1，2，3，4的小球各2个，随机一次性取出3个小球． （1）求所有取出的小球上的数字之和小于6的概率； （2）记所有取出的小球上数字小于3的个数为，求的分布列与数学期望． 16. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求B； （2）若，求的面积的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，是正三角形，，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，圆，过的直线与交于，两点，当直线垂直于轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，设在圆上，且也在上，判断是否存在点满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由； （3）当时，直线交圆于，两点，求的最大值． 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $