精品解析：重庆市綦江区联盟校2026-2027学年上学期半期测试八年级数学试题

重庆市綦江区联盟校2026-2027学年上学期半期测试八年级 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “华，夏，儿，女”四字的篆体形式中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 两直线平行，内错角相等 6. 如图，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 8. 如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 12. 等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为________． 13. 从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 14. 如图，已知在中，点D、E、F分别为、、的中点，且，则的值为_________． 15. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为______． 16. 如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为______时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 三、解答题（本题9小题，其中17题8分，18题8分， 19-25题各10分，共86分）作答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，，，求证： （1） （2）平分． 18. 如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． （1）求的度数； （2）求的度数． 19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点在格点上． （1）请在图中作，使和△ABC关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）请写出，，的坐标； （3）的面积为 　 　． 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 21. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 22. 如图，四边形的对角线相交于点，，点是延长线上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 24. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，， （1）证明：； （2）若．求的长； 25. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． （1）已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市綦江区联盟校2026-2027学年上学期半期测试八年级 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “华，夏，儿，女”四字的篆体形式中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 2. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 如图，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴. 4. 如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 5. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 直角三角形的两个锐角互余 B. 若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形全等 C. 互为相反数的两个数的绝对值相等 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．直角三角形的两个锐角互余，是真命题； B．三个角对应相等的两个三角形只相似、不一定全等，是假命题． C．互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题； D．两直线平行，内错角相等，是真命题； 6. 如图，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：，， A、添加，满足“边角边”， 能判定，故本选项不符合题意； B、添加，满足“角角边”， 能判定，故本选项不符合题意； C、添加，满足“边边角”， 不能判定，故本选项符合题意； D、添加，满足“角边角”， 能判定，故本选项不符合题意． 7. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（ ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索； 由图形得出第n个图形有个圆圈，然后代入计算即可． 【详解】解：由图得：第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … ∴第n个图形有个圆圈． ∴第⑦个图形中小圆圈的个数为， 故选：A． 8. 如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查角平分线的性质与判定、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由，据此可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 10. 如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP，即可解题； ②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题； ③在AC上截取AE=PA，易证△OPA≌△CPE，可得AO=CE，即可解题； ④作CH⊥BP，可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题． 【详解】解：①连接OB，如图1， ∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线， ∴AB=AC，BD=CD， ∴OB=OC=OP， ∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO， ∵∠ABC=∠ABO+∠DBO=30°， ∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确； ②△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP， △BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB， ∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB， ∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB， ∴∠POC=2∠ABD=60°， ∵PO=OC， ∴△OPC是等边三角形，故②正确； ③如图2，在AC上截取AE=PA， ∵∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴△APE是等边三角形， ∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA， ∴∠APO+∠OPE=60°， ∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°， ∴∠APO=∠CPE， ∵OP=CP， 在△OPA和△CPE中， ， ∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO=CE， ∴AC=AE+CE=AO+AP；故③正确； ④如图3，作CH⊥BP， ∵∠HCB=60°，∠PCO=60°， ∴∠PCH=∠OCD， 在△CDO和△CHP中， ， ∴△CDO≌△CHP（AAS）， ∴S△OCD=S△CHP， ∴CH=CD， ∵CD=BD， ∴BD=CH， 在Rt△ABD和Rt△ACH中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL）， ∴S△ABD=S△AHC， ∵四边形OAPC面积=S△OAC+S△AHC+S△CHP，S△ABC=S△AOC+S△ABD+S△OCD， ∴四边形OAPC面积=S△ABC．故④正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（本题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论腰长，根据三角形三边关系验证能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①若为腰，则三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时周长为； ②若为腰，则三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，能构成三角形，此时周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为或． 13. 从镜子里看到的时间如图所示，则实际时间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 14. 如图，已知在中，点D、E、F分别为、、的中点，且，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形任一顶点到对边中点连线能够把三角形面积分成相等的两份来一步一步求出． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴ 则的值为． 15. 如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质把换成，将求最小值转化为最短；根据两点之间线段最短，最短值就是，再用三角形面积公式算出的长度． 【详解】解：设与交于点，当点与重合时最小， 理由如下：连接，如图 ∵垂直平分， ， ，即的最小值为，此时与重合， ，，，于点D， ，即， ， ∴的最小值为5． 16. 如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为______时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意得，则，设点的运动速度为，则，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， 由题意得，，则， 设点的运动速度为，则， 当时， ∴，， ∴，， 解得，， 当时， ∴，， ∴，， 解得，， 综上，点的运动速度为或． 三、解答题（本题9小题，其中17题8分，18题8分， 19-25题各10分，共86分）作答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 如图，，，求证： （1） （2）平分． 【答案】（1）证明：在与中， （2）证明：由（1）， ． 平分． 【解析】 【分析】（1）根据已知两组对应边相等和一条公共边，可证全等； （2）由（1），根据全等三角形性质和角平分线定义可证． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 18. 如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交直线于点E．已知，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角性质，直角三角形两锐角互余的知识，理解图示，掌握以上知识是关键． （1）根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形的外角性质得到，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， ∴， ∵平分， ∴； 【小问2详解】 解：， 在中，， ∴， ∴． 19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A，B，C三点在格点上． （1）请在图中作，使和△ABC关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别为，，； （2）请写出，，的坐标； （3）的面积为 　 　． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）由图可得三个顶点的坐标； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：由图知，，，． 【小问3详解】 解：的面积为： 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 20. 在学习线段垂直平分线和尺规作图后，为带领同学们深挖几何背后的道理，老师设计了一项趣味探究任务：在中，点为边上一点，连接． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若为的角平分线，试说明． 【答案】（1） （2）为线段的垂直平分线， ， 为的角平分线， ∴ 在和中， ， ， 为线段的垂直平分线， ． 【解析】 【分析】（1）根据作已知线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线、线段垂直平分线的性质，得到线段相等关系，再通过角边角全等判定完成三角形全等证明，最终通过等量代换得到要证明的结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D．过点C作于点E， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识； （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得： 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，四边形的对角线相交于点，，点是延长线上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ∴． 在和中， ， ； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和可得，再利用全等三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，． ， ， ． ， ． 23. 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°． （1）求海岛B到灯塔C的距离； （2）若这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】（1）40海里； （2）上午11时小船与灯塔C的距离最短． 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠ACB＝30°，得到∠ACB＝∠NAC，则AB＝BC，求出AB即可； （2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短可知线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，求出∠PCB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得PB，再计算得出从B到P的时间即可． 【小问1详解】 解：由题意得：AB＝20×（10－8）＝40（海里）， ∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NBC−∠NAC＝30°， ∴∠ACB＝∠NAC， ∴AB＝BC＝40（海里）， ∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里； 【小问2详解】 如图，过点C作CP⊥AB于点P， 根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°， ∵∠NBC＝60°， ∴∠PCB＝180°−∠BPC−∠CBP＝30°， ∴在Rt△CBP中，PB＝BC＝20（海里）， ∵20÷20＝1， ∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握各性质是解决本题的关键． 24. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，， （1）证明：； （2）若．求的长； 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，结合题意及图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 在与中， ∴， ∴， 由（1）得，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如图1． （1）已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段与、的数量关系为________； （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点． 【答案】（1） （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴； ∵在中，是边上的高， ∴，即， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得到，证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）证明，则可证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （3）过点E作于点M，过点G作交的延长线于点N，同理证明，，推出，再证明，得到，即可证明是的中点． 【小问1详解】 解：∵直线，直线，垂足分别为点、， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $