第四章整式的加减能力提升自测卷2026-2027学年七年级数学上册《知识解读·题型专练》人教版

第四章 整式的加减能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在式子：中，单项式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．多项式的次数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．2 3．下列单项式与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 4．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．关于多项式的说法正确的是（     ）． A．是按的升幂排列的 B．最高次项是 C．是七次三项式 D．当，时，多项式的值为 6．某地居民生活用电标准：每月用电量不超过20度的部分，每度元，超过部分每度元．该地区某用户上月用电量为30度，则应缴电费为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．火树银花小区要建休闲广场，中间正方形边长为x米，四周长方形长廊宽为y米，四角是四个扇形．该休闲广场的占地面积是（     ） A． B． C． D． 8．如果，，则整式的值为（     ） A． B．20 C． D．4 9．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7个小长方形，除阴影长方形，外，其余5个小长方形的形状、大小完全相同，且较短边为．给出下面四个结论： ①阴影的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 10．若，对代数式任意添加绝对值（不可添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作”，例如：，等，下列结论中正确的个数是（     ） ①至少存在一种“绝对操作”，使化简后结果与原来的代数式相等； ②共有种操作，可能得到 ③若只添加一个绝对值，则所有可能化简的结果共有种． A．个 B．个 C．个 D．个 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．单项式的系数是________． 12．整式是______次______项式． 13．把整式按字母x降幂排列是______． 14．三阶幻方又叫九宫格，由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形的四个顶点上的数字之和相等，则的值为________． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．合并同类项： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．请根据图示的对话解答下列问题． (1)化简； (2)若，求的值． 18．阅读下列材料，我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果为______； (2)若，且，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 19．随着出行方式的多样化，市某三类打车方式的收费标准（平峰）如下： 巡游出租车（燃油） 曹操出行—优选 出行—快享 3千米以内：10元 2.5千米、8分钟以内：9元 2.5千米、8分钟以内：9.5元 超过3千米的部分：1.8元/千米 时长/等候费：低于12千米/小时时0.32元/分钟 超过2.5千米的部分：2元/千米 时长费（超过8分钟的部分）：0.3元/分钟 超过2.5千米的部分：2.2元/千米 时长费（超过8分钟的部分）：0.4元/分钟 已知三种打车方式的平均车速均为40千米/小时，车费路程费时长/等候费． 如乘坐4千米，则耗时分钟 ①出租车收费：元 ②曹操出行收费：元 ③收费：元 (1)如果乘车路程10千米，某乘客选择了出租车和出行这两种打车方式，请问哪种方式更省钱？ (2)曹操出行和出行为了竞争客户，分别推出了如下优惠方式： 曹操出行：对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元； 出行：车费半价优惠． 若乘车路程千米，请用代数式分别表示出曹操出行和出行的费用； (3)在（2）的条件下当时，哪种出行方式更省钱？ 20．在小学，我们知道像，，，，……这样的自然数能被整除，一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除，下面用代数式推理证明这个规律． (1)一个两位数的十位、个位上的数字分别是、，则通常记这个两位数为，于是，用各个数位上的数字表示两位数， ，显然能被整除，因此如果能被整除，则能被整除； (2)一个三位数，百位为，十位为，个位为，这个三位数记作， ，因此若 被整除，则能被整除； (3)请你推导任何一个四位数能被整除，要满足的条件是什么？ 21．【定义】直线上有两个点位于第三个点的两侧且这两个点到第三个点的距离相等，我们称这两个点关于第三个点对称．如图1所示：数轴上有两个点和（不是原点）关于原点对称，若和关于数轴上另一点对称（且），则点称为点关于点的次生对称点． 【初步理解】 (1)如图，若点表示的数是，则点关于原点的对称点表示的数是 ． 【实例应用】 (2)点表示的数为2，点表示的数是，关于点的次生对称点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 (3)若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的次生对称点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化请说明理由． 拓展挑战 【归纳总结】 (4)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的次生对称点，直接写出线段的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在式子：中，单项式的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解： 是单项式， 和 是多项式，不是单项式． 综上，单项式共有3个． 2．多项式的次数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】A 【分析】计算多项式中各单项式的次数，最高次项的次数即为多项式的次数 【详解】解：的次数为3， 的次数为， 的次数为， 是常数项，次数为0， ∵ 该多项式的最高次项次数为3， ∴ 该多项式的次数为3 3．下列单项式与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此解答即可． 【详解】解：已知单项式为，含字母，对应指数分别为3，2，1，仅D选项的所含字母及对应指数均与已知单项式相同，是同类项． 4．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故本选项错误． B．与不是同类项，不能合并，故本选项错误． C．，故本选项正确． D．，故本选项错误． 5．关于多项式的说法正确的是（     ）． A．是按的升幂排列的 B．最高次项是 C．是七次三项式 D．当，时，多项式的值为 【答案】B 【分析】先确定多项式各项的次数，再依次判断幂排列、最高次项、多项式次数与项数，最后代入求值验证选项． 【详解】解：多项式的各项中，的指数依次为，，， A．该多项式当前是按的降幂排列，原说法错误，故此选项不符合题意； B．该多项式的最高次项为，原说法正确，故此选项符合题意； C．该多项式是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意； D．当，时， ， ∴当，时，多项式的值为，原说法错误，故此选项不符合题意． 6．某地居民生活用电标准：每月用电量不超过20度的部分，每度元，超过部分每度元．该地区某用户上月用电量为30度，则应缴电费为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵， ∴应缴电费为 元． 7．火树银花小区要建休闲广场，中间正方形边长为x米，四周长方形长廊宽为y米，四角是四个扇形．该休闲广场的占地面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将休闲广场面积分割为中间正方形、四周四个长方形和四角四个扇形三部分分别计算. 【详解】解：中间正方形边长为 ，面积为 ， 四周四个长方形长为 ，宽为 ，面积和为 ， 四角四个扇形半径为 ，圆心角均为 ，拼成半径为 的圆，面积为 ， 休闲广场占地面积为 . 8．如果，，则整式的值为（     ） A． B．20 C． D．4 【答案】B 【分析】无需分别求，的值，将整式化简后整体代入与计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ． 9．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7个小长方形，除阴影长方形，外，其余5个小长方形的形状、大小完全相同，且较短边为．给出下面四个结论： ①阴影的较长边为； ②阴影的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和，可得出说法④符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影的较长边为，说法①正确； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②错误； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； 当时，阴影A的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的较长边为，较短边为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为：为定值，说法④正确， 综上正确的是①③④． 10．若，对代数式任意添加绝对值（不可添加单个字母的绝对值或绝对值中含有绝对值的情况）后，不改变原来的运算符号，称这种操作为“绝对操作”，例如：，等，下列结论中正确的个数是（     ） ①至少存在一种“绝对操作”，使化简后结果与原来的代数式相等； ②共有种操作，可能得到 ③若只添加一个绝对值，则所有可能化简的结果共有种． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】明确“绝对操作”的含义，结合已知条件判断绝对值内表达式的正负，进而化简验证各结论． 【详解】解：①， ， ， 则，与原式相等， 故①正确； ②能得到的操作有： ， ， ， ， ， 共种， 故②正确； ③只添加一个绝对值时： 绝对值包含，：； 绝对值包含，，：； 绝对值包含，，，：； 绝对值包含全部字母：当时， 结果为； 当， 时结果为； 绝对值包含，：； 绝对值包含，，：； 绝对值包含，，，： 当时， 结果为； 当时， 结果为； 绝对值包含，：； 绝对值包含，，时： ， ，， ， 故； 绝对值包含，：. 综上，不同的化简结果共种， 故③错误. 正确的结论有2个． 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．单项式的系数是________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义，找出给定单项式的数字因数即可得到结果． 【详解】解：对于单项式，其数字因数为， 因此该单项式的系数为． 12．整式是______次______项式． 【答案】 五 三 【分析】先合并同类项化简整式，再根据多项式次数与项数的定义判断． 【详解】解：∵整式中的与是同类项 ∴合并后一次项的系数为，一次项抵消 ∴化简后的整式为 ∵化简后的整式中最高次项为，次数为5 ∵化简后的整式共有3个非零项 ∴该整式是五次三项式． 13．把整式按字母x降幂排列是______． 【答案】 【详解】解：先拆分原整式的全部项，分别为，，， ∵按字母x降幂排列的规则是将各项按x的指数从大到小排序，排序过程中需保留每一项原有的符号， ∴逐一确定各项中x的指数： 中x的指数为4； 中x的指数为2； 中x的指数为1； 中x的指数为0； ∴按要求排列后的整式为. 14．三阶幻方又叫九宫格，由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图所示的新幻方中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形的四个顶点上的数字之和相等，则的值为________． 【答案】 0 【分析】根据每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，分别用含 、 的代数式表示出 、、、，再代入 计算即可 ． 【详解】解：设中间正方形四个顶点上的数字之和为， 则， 根据题意得： ，，，， ∴， ， ， ∴ ． 三、解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出与、与这两组同类项，分别合并，算出结果为． （2）先去掉括号，再找出与、与这些同类项，依次合并，算出结果为． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，58 【详解】解： ， 当时，原式． 17．请根据图示的对话解答下列问题． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由整式加减运算法则计算即可； （2）先由绝对值的非负性、平方的非负性及非负数和为零的条件求出的值，代入（1）中的化简结果计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，且， ，则， 18．阅读下列材料，我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果为______； (2)若，且，求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将看作整体，合并同类项系数即可求解； （2）提取公因式，结合已知条件求出的值，再代入计算； （3）先化简所求整式，再将已知等式整体代入求值． 【详解】（1）解：把看成一个整体，则 ． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：化简原式：， 由得， 由得， 代入得， ∵， ∴， 即原式的值为． 19．随着出行方式的多样化，市某三类打车方式的收费标准（平峰）如下： 巡游出租车（燃油） 曹操出行—优选 出行—快享 3千米以内：10元 2.5千米、8分钟以内：9元 2.5千米、8分钟以内：9.5元 超过3千米的部分：1.8元/千米 时长/等候费：低于12千米/小时时0.32元/分钟 超过2.5千米的部分：2元/千米 时长费（超过8分钟的部分）：0.3元/分钟 超过2.5千米的部分：2.2元/千米 时长费（超过8分钟的部分）：0.4元/分钟 已知三种打车方式的平均车速均为40千米/小时，车费路程费时长/等候费． 如乘坐4千米，则耗时分钟 ①出租车收费：元 ②曹操出行收费：元 ③收费：元 (1)如果乘车路程10千米，某乘客选择了出租车和出行这两种打车方式，请问哪种方式更省钱？ (2)曹操出行和出行为了竞争客户，分别推出了如下优惠方式： 曹操出行：对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元； 出行：车费半价优惠． 若乘车路程千米，请用代数式分别表示出曹操出行和出行的费用； (3)在（2）的条件下当时，哪种出行方式更省钱？ 【答案】(1) 巡游出租车更省钱 (2) 曹操出行的费用为元；出行的费用为元 (3) 出行更省钱 【分析】（1）先计算10千米的行驶时间，再分别按两种打车的收费标准计算费用，比较大小得结论； （2）先由路程求出行驶时间，再结合两种出行的优惠规则，列代数式并化简； （3）将代入（2）的代数式，同时计算巡游出租车费用，比较三者费用得结论． 【详解】（1）解：行驶路程为千米时，行驶时间（分钟）； 巡游出租车平均车速为40千米/小时，大于12千米/小时，故时长/等候费为0， 当时， （分钟）， 巡游出租车费用：（元）， 出行费用：（元）， ∵， ∴巡游出租车更省钱.； （2）解：当乘车路程为千米（）时， ， ∵， ∴，两种出行均需计算超出8分钟的时长费， 曹操出行原价：， 化简得：， ∵，符合减免11元的条件， ∴实际费用：（元）； 出行原价：， 化简得：， ∵车费半价优惠， ∴实际费用：（元）； （3）解：当时， 曹操出行费用：元， 出行费用：元， 巡游出租车费用：元， ∵， ∴出行更省钱． 20．在小学，我们知道像，，，，……这样的自然数能被整除，一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数就能被整除，下面用代数式推理证明这个规律． (1)一个两位数的十位、个位上的数字分别是、，则通常记这个两位数为，于是，用各个数位上的数字表示两位数， ，显然能被整除，因此如果能被整除，则能被整除； (2)一个三位数，百位为，十位为，个位为，这个三位数记作， ，因此若 被整除，则能被整除； (3)请你推导任何一个四位数能被整除，要满足的条件是什么？ 【答案】(1) (2)，， (3)若能被整除，则能被整除 【分析】（1）根据数位意义，将两位数表示为； （2）根据数位意义，将三位数表示为，变形为，即可判断； （3）一个四位数，千位为，百位为，十位为，个位为，则这个四位数记作，通过变形得到，即可判断． 【详解】（1）解：； （2）解：， 若被整除，则能被整除； （3）解：一个四位数，千位为，百位为，十位为，个位为， 这个四位数记作 ， 是的倍数， 若能被整除，则能被整除． 21．【定义】直线上有两个点位于第三个点的两侧且这两个点到第三个点的距离相等，我们称这两个点关于第三个点对称．如图1所示：数轴上有两个点和（不是原点）关于原点对称，若和关于数轴上另一点对称（且），则点称为点关于点的次生对称点． 【初步理解】 (1)如图，若点表示的数是，则点关于原点的对称点表示的数是 ． 【实例应用】 (2)点表示的数为2，点表示的数是，关于点的次生对称点表示的数是 ，线段的长度为 ． 【深入探究】 (3)若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的次生对称点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化请说明理由． 拓展挑战 【归纳总结】 (4)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的次生对称点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)；8 (3)的值不变，，理由如下： 分类讨论， 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， 点与点位于点的两侧，且， ， ， 点表示的数是， ； 若，如图所示， 点与点位于点的两侧，且， ， ， 点表示的数是， ， 综上所述：； (4) 【分析】（1）根据对称点定义进行求解即可； （2）根据与关于原点对称求，再由与关于对称（是中点）求，最后计算的长度； （3）先求（与关于原点对称），再由与关于对称得的坐标，计算并判断是否为定值； （4）同理利用对称的中点性质，推导的长度表达式． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点关于原点的对称点为 ∴点表示的数为：； （2）解：由题可知：和关于原点对称，点表示的数为2， 表示的数是， 点表示的数为， ， ， 表示的数是， 线段的长度为， （3）略 （4）解：点表示的数是，则对称点表示的数是， 点与点位于点的两侧，且， 即点是的中点， 点表示的数是， 点表示的数是， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $