江苏无锡市梁溪区2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年秋学期期中学业质量测试 九年级数学 考试时间：120分钟 满分分值：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ▲ ） A． B． C． D． 2．若直径为，与直线有个交点，则圆心到直线的距离可为（ ▲ ） A． B． C． D． 3．有下列说法：①三个点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③等弧所对的圆周角相等；④三角形的外心到三角形三条边的距离相等；⑤三角形的内心在三角形的内部；其中正确的有（ ▲ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图，正方形网格中，一条圆弧经过、、三个格点，则的度数（ ▲ ） A． B． C． D． 5．热气球升空探测时发现：在一定海拔范围内，大气压强（单位：）与上升高度（单位：百米）之间的函数关系，通过实测得到如下数据： … … /百米 … … 根据表中数据，下列描述正确的是（ ▲ ） A．在一定范围内，随的增大而增大 B．与之间的函数关系式为 C．当百米时， D．当百米时， 6．如图，由一把直尺、一块含的直角三角板和一个圆形轴承摆放而成，点为含角的直角三角板斜边与直尺的交点，点为圆形轴承与直尺唯一的交点，若，则圆形轴承的半径是（ ▲ ） A． B． C． D． 7．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ▲ ） A． B． C． D． 8．小馨同学在生物课外了解到一种“黄色黏菌”宠物，刚购买到家时这块黄色黏菌在培养皿中所占面积为．小馨发现这黄色黏菌在生长的过程中，每一天的面积都是前一天的倍，经过两天的生长最终所占面积达到，则可列方程（ ▲ ） A． B． C． D． 9．如图，三角形是等腰直角三角形，，，，以为直径画半圆交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点．则图中阴影部分的面积为（结果保留）（ ▲ ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，将边绕着点逆时针旋转一定的角度得到，的角平分线交于点，连接并延长交于点，交于点，连接，若，，则的长度为（ ▲ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11．关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ▲ ． 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ▲ ． 13．有一个函数，具有以下条件：①图象关于原点对称，且不经过原点；②当时，．这个函数表达式可以是 ▲ ． 14．已知圆锥底面圆半径为，母线长为，则这个圆锥的全面积是 ▲ ． 15．如图，四边形内接于圆，，则的度数是 ▲ ． 16．已知反比例函数图象经过、，若，，则 ▲ ．（填“”或“”） 17．数学课后，同学们利用“面积构造法”探究一元二次方程的正数解：对于方程，先构造一个边长为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个宽为的矩形，最后补全四个角落的小正方形后，得到一个大正方形．小唐按照此方法解关于的方程时，已知原正方形与四个矩形的面积之和为，则该方程的正数解为 ▲ ． 18．如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，若点的坐标为，则的最小值为 ▲ ． 三．解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分16分）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．（本题满分8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请直接写出不等式的解集； （3）将点沿轴翻折落在点处，连接、，求的面积． 21．（本题满分8分）如图，某农场主打算在谷仓外墙用米长的铁丝网围成一个面积为平方米的长方形家禽散养区．已知谷仓外墙长是米，铁丝网只围三边，且在边上要造一个米宽的门给饲养员进出，在边上要造一个米宽的饲料运送通道．求所围成的长方形散养区的长和宽． 22．（本题满分8分）已知关于的一元二次方程． （1）将这个一元二次方程化成一般形式； （2）求证：对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （3）设的两个实数根分别为、，若，求的值． 23．（本题满分8分）如图，中，，点在边上，以为直径作交的延长线于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24．（本题满分8分）如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图（1）中画的中点； （2）如图（2），延长至格点处，连接． ①那么的度数为 ▲ ； ②若点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段． 25．（本题满分10分）如图，是的直径，半径为，是弦，点是上一点，连接、分别交于点、两点，若为中点，． （1）求证：点是线段的中点； （2）求线段的长． 26．（本题满分10分）如图，点在函数（，）的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、，连接并延长至点，使，连接交该函数图象于点． （1）求的面积（用含的代数式表示）； （2）求的值． 27．（本题满分10分）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“增一函数”，点为该函数图象上的“增一点”．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“增一函数”，点为该函数图象上的一个“增一点”．某数学兴趣小组围绕该定义，对函数进行了相关探究． 【探究一】 下列结论中：①函数是“增一函数”，且只有一个增一点；②函数是“增一函数”，且增一点是；③函数是“增一函数”，且有无数个增一点；④函数是“增一函数”，且增一点是． 你认为正确的是_________________（填写正确结论的序号）． 【探究二】 文具店销售笔记本，平均每天可售出本，每本盈利元．为促销清货，文具店决定降价，单价每降低元，每天可多卖出本．若以每本降价元出售，可获得利润元．求出关于的函数表达式，判断该函数是否是“增一函数”，如果是，请求出“增一点”；如果不是，请说明理由． 【探究三】 如果函数是“增一函数”，求的取值范围． 28．（本题满分10分）某品牌汽车的发动机采用了转子发动机．图（1）是转子发动机的截面图，其中有一个可以转动的部件（如图（2））．图（2）画法如下：画一个边长为的正三角形，分别以、、为圆心，以为半径画、、．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． （1）圆弧三角形的周长为__________，面积为__________．（都用含的代数式表示） （2）探究圆弧三角形运动时的特性： ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，这些最高点形成的轨迹大致为__________． A． B． C． D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为的正方形中转动，图（4）是转动过程中的某个瞬间点、分别在边、上，与边有且只有一个公共点，求证：与边有且只有一个公共点． （3）尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆，请画出示意图（可适当做出文字说明）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋学期期中学业质量测试 九年级数学参考答案及评分说明 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．D 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．A 10．A 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 11． 12．且 13．（不唯一） 14． 15． 16． 17． 18． 三．解答题（本大题共10小题，共96分．） 19．解：（1） （2分） ， （4分） （2） （2分） ， （4分） （3） （2分） ， （4分） （4） （2分） ， （4分） 20．解：（1）将代入，得，∴反比例函数为， （1分） 将代入得， 将，代入得 ，，∴一次函数为 （3分） （2）解集为或； （5分） （3）∵图象沿轴翻折，， （6分） 又∵一次函数为，∴与轴交于、与轴交于， ． （8分） 21．解：设米，米， （1分） 根据题意得， （3分） 整理得， 解得， （5分） 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． （7分） 答：所围成长方形散养区的长和宽分别为米和米． （8分） 22．（1）解：，一般形式为 （2分） （2）证明：． （3分） ，，∴对于任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （5分） （3）解：由题意得，． （6分） ． ，， （7分） ，即的值为． （8分） 23．证明：连接， ，．，． （1分） ，． （2分） 中，，， ，即，且是半径， （3分） 是的切线． （4分） （2）∵在中，，，， ． ，． （5分） 设圆的半径为， 由（1）可知：，， ，即， （7分） 解得，，的半径为． （8分） 24．解：（1）点即为所求作（未写答句不扣分）． （2分） （2）①． （5分） ②线段即为所求作． （8分） 25．（1）证明：连接． ∵在中，，，，． （1分） 是直径，， （2分） ． 为中点，． 又，， （4分） ，∴点是线段的中点． （5分） （2）解：、分别是、中点，， 由（1）得，， ．，，． （7分） ∵在中，， ． （8分） ，，． ∵在中，，． （10分） 26．解：设点坐标为， 轴，轴，，， （2分） ，．，． （4分） （直接用矩形面积作答扣1分） （3）设，作于点，由（1）得， 、，，，，， ，，， （6分） ，整理得， （7分） ，（负舍）， （8分） ． ，． （10分） （本题也可以不用相似作答，其他方法酌情给分） 27．解：【探究一】②③ （2分） 【探究二】由题意得，整理得． （3分） 把代入得，整理得， ，，（舍去），∴该函数是增一函数， （5分） 增一点是． （6分） 【探究三】①当时，把代入得， 整理得 ∵该函数是增一函数，∴该方程有实数根，，， 解得且 （8分） ②当时，该函数是，把代入得 ，，∴该函数是增一函数，符合题意， （9分） 综上所述，． （10分） 28．解：（1）圆弧三角形的周长为，面积为． （4分） （2）① （2分） ②证明：连接，过点作于， 是正三角形，且边长为，． ∵四边形是正方形，且边长也为，，． 的圆心为，半径为，且与边有且只有一个公共点， 与边相切于点，． （7分） ，，∴四边形是矩形， ， ∴点到的距离等于半径，与相切． 与边有且只有一个公共点． （8分） （3）见图，答案不唯一． 画法：（1）先画正五边形， （2）分别以五个顶点为圆心，对角线长为半径分别作、、、、， （9分） （3）连接、，分别作、的平行线就得到正方形． （10分） 注：（1）必须是奇数边的“圆弧正多边形”，偶数边不行． （2）有无数种情况． 学科网（北京）股份有限公司 $