精品解析：广东省珠海市第九中学2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 已知二次函数y=－x2，下列说法正确的是（ ） A. 该抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是（0，0） C. 对称轴是x=－ D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 4. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年广东省城市足球超级联赛（简称“粤超”）中，某小组采用双循环赛制：每两支球队之间都进行主客场两场比赛．若该小组共要进行90场比赛，设共有支球队参加，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 10. 如图，在菱形中，，现将菱形绕点逆时针旋转得菱形， 连接．则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是___________． 12. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 13. 珠海长隆海洋王国里生活着一种会“射击”的射水鱼．据饲养员介绍，射水鱼在捕食时，能从口中射出一股水流击落水面上方的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条射水鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是___________． 14. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 15. 已知抛物线（为常数），点，都在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围是___________． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点B关于原点对称的点的坐标是___________； （2）请画出绕顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 18. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 20. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．珠海格力电器某智能车间借助工业机器人与一体化压铸技术，对某款空调核心零部件进行智能化加工，生产效率大幅提升．该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该车间生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少5个． 素材3 物价部门规定：每个零件的利润不得高于进价的． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：当零件的售价定为多少元时，获得的月利润最大？ 21. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 23. 如图1，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点D在线段上（点D与点不重合）．连接，在的右下方以为边作正方形（顶点按的顺时针顺序排列） ①如图1，抛物线的对称轴是直线___________；当点落在抛物线的对称轴上时，的长度=___________； ②当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； （3）如图，若动点在轴上运动，在的正下方有另一动点，且，当点从点开始沿轴负方向匀速运动时，点以相同的速度同时同向出发，两点都沿轴的负方向匀速运动，点D停止运动时点同时停止运动．连接，求的最小值，并求出此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误； 故选：C． 2. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练一元二次方程的解得定义是解题的关键； 根据是方程的一个根，代入方程即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 将代入得 解得． 故选：B． 3. 已知二次函数y=－x2，下列说法正确的是（ ） A. 该抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是（0，0） C. 对称轴是x=－ D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】∵y=－x2， ∴，抛物线的开口向下，故选项A错误； 顶点坐标是（0，0），故选项B正确； 对称轴是x=0，故选项C错误； 抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）． 4. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 2026年广东省城市足球超级联赛（简称“粤超”）中，某小组采用双循环赛制：每两支球队之间都进行主客场两场比赛．若该小组共要进行90场比赛，设共有支球队参加，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵共有支球队参赛， ∴双循环总场数为， ∵该小组共要进行90场比赛， ∴可列方程． 7. 如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转可知，，， ． 8. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是( ) A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义及有两个实数根的条件列不等式求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴． ∵， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 10. 如图，在菱形中，，现将菱形绕点逆时针旋转得菱形， 连接．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接、、，根据菱形的性质可得，由旋转可得，，得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、， 四边形是菱形， ， ， 将菱形绕点逆时针旋转得菱形， ，， ， ． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的根是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即或， 解得 ，． 12. 如图，的半径为，，则弦的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】利用半径相等可判断为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，根据题意得到为等边三角形是解题的关键． 13. 珠海长隆海洋王国里生活着一种会“射击”的射水鱼．据饲养员介绍，射水鱼在捕食时，能从口中射出一股水流击落水面上方的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条射水鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时，有最大值，最大值为， 这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 14. 如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过矩形的对称中心．若矩形的面积为12，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】设矩形边长，表示出对称中心D的坐标，利用点D在反比例函数图象上建立k与边长的关系，结合矩形面积求解． 【详解】解：设矩形的边，， 则点B的坐标为，， ∵点D是矩形的对称中心， ∴点D是对角线的中点， ∴点D的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴． 15. 已知抛物线（为常数），点，都在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用开口向下的抛物线的函数值与点到对称轴距离的对应关系，将转化为距离不等式，结合的取值范围，通过取值范围上距离的最小值满足不等式求解参数范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时，，即为负数，，故， ∵的最大值为， ∴的最小值为， 要使所有满足，需最小值满足， 当时，，不等式，解得，对恒成立； 当时，，不等式，解得； 综上，当时，该情况满足条件； ②当时， ∵，， ∴ 的最大值， 当时，的最小值，，故； ∴的最小值为， 要使所有满足，需最小值满足， ∵， ∴，不等式化简为，解得； 同理可求得当时，无符合条件的解； 当或时，存在使得，即，不满足，故舍去； 综上，的取值范围是 或 ． 三、解答题（共3小题，每题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）点B关于原点对称的点的坐标是___________； （2）请画出绕顺时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】（1） （2）如图： 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据关于原点对称的点的特征，即可求解； （2）根据旋转的性质画出图形，根据坐标系写出点的坐标． 【小问1详解】 点关于原点对称的点的坐标是 【小问2详解】 略 18. 同学们学习了物理知识后，知道在力（单位：N）的作用下，如果物体在力的方向上发生位移（单位：m），那么力所做的功（单位：J）满足．某数学兴趣小组在综合实践探究实验中得到：当为定值时，与之间的函数关系如下图所示． 请根据以上信息解决以下问题： （1）写出关于的函数解析式； （2）因安全需要，要使物体在力的作用下的位移小于，求力的取值范围． 【答案】（1） （2）要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 【解析】 【分析】（1）将，代入求出W即可； （2）将代入第一问求出的解析式，结合图象回答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，当力为时，物体在力的方向上发生的位移为， 此时所做的功． 当W为定值时，与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：将代入，得． 随着的增大而减小， 要使物体在力的作用下的位移小于，力要大于． 四、解答题（共3小题，每题9分，共27分） 19. 定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”． 例如：， 即， 解得，， ∵， 是差积方程． （1）方程__________（填是或不是）“差积方程”； （2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值． （3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）先解方程得出，，根据新定义得出，求出，根据它的一个实数根为，得出，整体代入求出结果即可． 【小问1详解】 解：， 即， 解得：， ， ∴不是差积方程； 【小问2详解】 解：， 即， 解得：，， ∵是差积方程， ， 即或． 解得：或； 【小问3详解】 解：， 解得：， ，， ∵是差积方程， ， 即， 即， ∵它的一个实数根为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 20. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．珠海格力电器某智能车间借助工业机器人与一体化压铸技术，对某款空调核心零部件进行智能化加工，生产效率大幅提升．该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该车间生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少5个． 素材3 物价部门规定：每个零件的利润不得高于进价的． 问题解决 （1）任务一：求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． （2）任务二：当零件的售价定为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． （2）当零件的售价定为57元时，获得的月利润最大． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，利用增长率公式列一元二次方程求解． （2）建立利润的二次函数，结合利润上限的约束条件，在取值范围内求出利润最大值对应的售价． 【小问1详解】 设月平均增长率为， ， 解得或， 因为不符合实际意义，舍去． 所以， 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 【小问2详解】 由题意，设零件的售价为元，利润为元， 每上涨0.5元，则月销售量将减少5个， 每上涨1元，则月销售量将减少个， 依题意：， ． 每个零件的利润不得高于进价的， ，即， 解得， 售价需高于成本， 时， 抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值． 答：当零件的售价定为57元时，获得的月利润最大． 21. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连结和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连结． ①的度数为______度； ②若，则线段的长为______． 【答案】 探究：证明：和都是等腰直角三角形， ，， 将绕点逆时针旋转， ， 在与中， ， ， ； 应用：①；② 【解析】 【分析】感知：根据和都是等腰直角三角形，得出，根据，即可得证； 探究：证明即可得证； 应用：①同理得出，得出，即可求解； ②勾股定理求得，，根据，根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理，即可求解． 【详解】感知：∵和都是等腰直角三角形，， ，即； 探究：略 应用： ①是等腰直角三角形， ， 同探究可得：， ， 故答案为：； ②在中，， ，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图1，一次函数图象与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为2，点的坐标为． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）如图2，直线与轴交于点，若点为轴正半轴上一点，并且，求点的坐标； （3）点是轴上一点，点为平面内一点，当以点、、、为顶点的四边形是以为一边的矩形时，请求出点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，把代入求出点的纵坐标即可； （2）求出直线的函数表达式是，求出，得到 ，设直线与轴交于点，求出，根据即可求出答案； （3）分四边形为矩形和四边形为矩形两种情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数表达式得：， ， ∴反比例函数表达式为； 把代入得：， ； 【小问2详解】 设直线的函数表达式是， 把、代入得： ， ， ， ∴直线的函数表达式是， 当时，， ， ， ， ， ， 设直线与轴交于点， ． ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设点， 、 ， ， ， ①当四边形为矩形时，如图1，， ， ， ， ； ②当四边形为矩形时，如图2，， ， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或． 23. 如图1，抛物线经过点三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若动点D在线段上（点D与点不重合）．连接，在的右下方以为边作正方形（顶点按的顺时针顺序排列） ①如图1，抛物线的对称轴是直线___________；当点落在抛物线的对称轴上时，的长度=___________； ②当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； （3）如图，若动点在轴上运动，在的正下方有另一动点，且，当点从点开始沿轴负方向匀速运动时，点以相同的速度同时同向出发，两点都沿轴的负方向匀速运动，点D停止运动时点同时停止运动．连接，求的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1） （2）①；；② （3）最小值为，点坐标为 【解析】 【分析】（1）将点分别代入抛物线解析式，使用待定系数法求解即可； （2）①根据抛物线解析式写出对称轴；过点作于点，设，通过证明得到，由于已知对称轴，所以可知的长和的长，从而利用得到的长；②过点作轴，通过证明得到，，设，则，从而得到点的坐标，将其代入抛物线解析式解得即可； （3）过点分别作的平行线交于点，得到四边形为平行四边形，连接，则的长可以转化为的长，根据三角形的三边关系，发现当点运动到点三点共线时，取得最小值，也就是的长，因此在中利用勾股定理求出的长即为所求最小值，再将点的坐标代入直线的解析式中，求出其解析式，从而得到点的坐标，根据，求得点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，，三点， ，解得． 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①抛物线的对称轴为． 如图，过点作于点，设． 四边形为正方形， ，， 又， ， ． 在和中， ， ， ． 点落在对称轴上， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ，，， ， ，． 设，则， 点， 点在抛物线上， 解得，（不满足，舍去）， 点； 【小问3详解】 解：如图，过点分别作的平行线交于点，即， 四边形为平行四边形， ． 连接， ， 当三点共线时，，即的最小值等于的长． ，， ，， 在中，， 的最小值为， 设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得． 直线的表达式为， 点， ， 点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $