精品解析：山西省太原市迎泽区太原师范学院附属中学2026-2027学年第一学期中九年级数学试卷

太原师院附中2026-2027学年第一学期 初三年级数学学科期中学业诊断试题 一、选择题 1. 已知（），则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，两边同除以，得． 2. 如图，“圭表”是我国古代用于测量日影长度的天文仪器，该仪器的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该仪器的主视图是： ． 3. 把方程化成一般形式，得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ， 对比，得． 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. 26° B. 52° C. 128° D. 154° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，菱形中对角线的平分的性质是解决本题的关键 ． 由菱形的性质可知，菱形的对角线互相平分每组对角，即可求的度数，再由菱形中即可求解 ． 【详解】解：在菱形中，因为， 所以， 即， 又因为在菱形中，， 所以， 可得， 所以的度数为 ． 故选：C ． 5. 如图是亮亮同学解方程的过程，下列说法正确的是( ) 解：移项得： 方程两边同时除以()得 所以 A. 解方程的过程和结果正确 B. 移项这一步的计算结果正确 C. 解方程的结果不正确，原方程正确的解为 D. 方程两边同时除以“”时，没有讨论“”是否为 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法解出方程，再逐项判断即可．解题突破口为：方程两边同除以含未知数的整式时，需先判断该整式是否为0． 【详解】解：原方程为， 提取公因式得， 即， ∴或， 解得，． 选项A：亮亮的解题过程和结果均错误，故A错误． 选项B：原方程移项应得，亮亮移项符号错误，故B错误． 选项C：原方程的解为和，并非只有，故C错误． 选项D：方程两边同时除以时，需先讨论是否为0，亮亮未进行讨论，故D正确． 6. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心投影的概念进行判断即可． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反，只有选项D符合． 7. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由判定是黄金分割中的较长线段，用较长线段与全长的比写出与的关系，代入求出，再与各选项对照． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且． ∴． ∵． ∴． 8. 如图，在的正方形网格中有下列三角形，其中是相似三角形的是（ ） A. ①与② B. ②与③ C. ①与③ D. ②与④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，相似三角形的判定定理有很多种，要结合题干条件，灵活选用判定定理证明三角形相似． 根据“三条边对应成比例，两三角形相似”进行判定，设正方形网格中小正方形的边长为1，则结合正方形网格的特点以及勾股定理可以依次得到四个三角形的各个边长；再根据“三条边对应成比例的两个三角形相似”即可选出正确答案． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有： ①中的三角形的三条边依次为， ②中的三角形的三条边依次为， ③中的三角形的三条边依次为， ④中的三角形的三条边依次为， 观察四组三角形的边长，可知， ∴①与③相似． 故选：C． 9. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 10. 如图，在任意四边形中，，是对角线，、、、分别是线段、、、上的点．下列结论正确的个数有（ ） ①当，，，是各条线段的中点时，四边形为平行四边形 ②当，，，是各条线段的中点，且时，四边形为矩形 ③当，，，是各条线段的中点，且时，四边形为菱形 ④当，，，不是各条线段的中点时，四边形可以为平行四边形 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】用三角形中位线把、、、分别转化为与、平行且等于其一半，逐条判断平行四边形、矩形、菱形的条件；第④条按同一比例在四条线段上取点，用一组对边平行且相等构造出符合条件的四边形． 【详解】解：∵、分别是、的中点． ∴，． 同理可得，． 同理可得，，． ①，． ∴四边形是平行四边形，故①正确． ②与分别平行于与． ∴四边形为矩形需要，而不能推出，故②错误． ③． ∴． ∴四边形是菱形，故③正确． ④取，此时四点都不是各条线段的中点． ∴，． ∴，． ∴，，四边形是平行四边形，故④正确． 综上，正确的结论有个． 二、填空题 11. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填写“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查的是平行投影的概念，根据太阳光是平行光线可以判定晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 【详解】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 12. 若是一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为_______． 【答案】## 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为． ∵已知方程的一个根为， ∴． 解得． 13. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴. 14. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 15. 如图，在菱形中，，分别是边和上的点，连接，以为折痕折叠，使得点的对应点落在边上，分别延长和交于点．若，，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由与菱形的边长求出、，利用折叠把转化为，过作的垂线，在直角三角形中用勾股定理求出；再由把与联系起来，按对应边成比例求出，从而得到． 【详解】解：∵四边形是菱形，，． ∴，，． ∵，． ∴，． 由折叠得，设，则． 过作，垂足为，在的延长线上（如图）． ∵，． ∴，． ∴． 在中，，． ∵． ∴． ∴，即． ∴，即． ∵，、、共线，、、共线． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可． （2）利用平方差公式和因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 17. 在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）图中位似中心点的坐标为_______； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1）； （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，进而根据平面直角坐标系作答即可； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为位似中心， 可知点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴. 18. 如图，装饰工艺车间生产六边形镂空花板，为适配两种不同尺寸的展柜，工人先制作了小号原型花板六边形，再按比例放大加工出大号成品花板六边形，两块花板为相似六边形（其中，，，，，的对应点依次为，，，，，）．已知，，． （1）求小号六边形中的度数； （2）若小号六边形和大号六边形的相似比是，且，求大号的六边形中边的长． 【答案】（1）小号六边形中的度数为； （2）大号的六边形中边的长为 【解析】 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等求解即可； （2）根据相似多边形对应边的比等于相似比求解即可． 【小问1详解】 解：∵六边形六边形， ，，， ，，， ，，， 在六边形中， ∵， ． 答：小号六边形中的度数为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 又， ，， 答：大号的六边形中边的长为 19. 如图，过的对角线的中点作一条直线，分别交，于点，，分别在线段，上取点，，使得，顺次连接，，，．猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ， ∵点是对角线的中点 ， 在与中， ． 又 ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，即，根据中点的定义得到，证明，得到，结合可知四边形是平行四边形． 【详解】略 20. 晋礼山西文创手工刺绣“黎侯虎”，取材于山西本土民间虎俗文化，“黎侯虎”造型敦实可爱，运用传统手工刺绣，色彩艳丽、纹样精美，寓意纳福护佑，是颇具代表性的山西民间工艺品，收获众多市民与游客青睐． 素材1 线上销售 据统计，某线上销售平台今年7月份“黎侯虎”的销售量是500个，9月份的销售量是720个． 素材2 线下销售 ①某实体店“黎侯虎”的进价为每个60元，若售价定为每个100元，则每天能销售20个． ②经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，实体店商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 根据上述素材，解决以下问题． （1）若该线上销售平台7月份到9月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若要使该线下销售实体店每天销售获利为1200元，求每个黎侯虎的售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）每个黎侯虎的售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据“今年7月份黎侯虎的销售量是500个，9月份的销售量是720个”列方程求解即可； （2）设每个黎侯虎的售价应降低元，根据“线下销售实体店每天销售获利为1200元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为，则 解得：，（舍） 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个黎侯虎的售价应降低元，则 解得：， 要尽量减少库存，需选择日销售量更高的方案，对应的日销售量更低，不利于减少库存， 不符合题意，故舍去． 答：每个黎侯虎的售价应降低20元 21. 综合与实践 报告课题 测量篮球场上相邻两盏路灯的高度 问题背景 实践小组的同学利用路灯下的影长测量路灯的高度 示意图 测量过程 实践小组的同学甲在相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走（两路灯等高），路灯光源为，，他的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，．图中所有点都在同一竖直平面内 请根据实践报告数据计算路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【解析】 【分析】由两组直角与公共角得到两对相似三角形，把、都用路灯的高表示；再利用以及列出关于路灯高的方程求解． 【详解】解：∵，，． ∴，． ∵，． ∴，． ∴，． 设． ∵，，． ∴，． ∴，． ∵，，． ∴． ∴． ∴． 答：路灯的高度为． 22. 阅读与理解 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 三距四边形 经历三角形、四边形的学习过程，我们收获了研究几何图形的基本经验与研究方法，迁移运用这些方法，就可以自主研究其它特殊的几何图形． 【定义对象】在一个凸四边形中，两条对角线交于一点，交点分出的四条线段中有三条线段相等，这样的四边形叫做三距四边形． 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，则四边形是三距四边形 【性质探索】 问题1：在三距四边形中，①____（填“>”、“<”或“=”）； 问题2：判断三距四边形中、、之间的数量关系并证明． 解：、、之间的数量关系为②_______，理由如下： ， ． …… 任务： （1）填空：研究性学习报告中“①”处为_______；“②”处为_______； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图2，四边形是矩形，求作三距四边形，使得点在边上，点在矩形的外部，且满足． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，作出满足题中条件的一种即可） 【答案】（1）①；② （2）， ． 在中， 即： ∴在中，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式可得“①”处为“=”；根据勾股定理可得“②”处为； （2）先求出，然后根据勾股定理可得结论； （3）以点N为圆心，以为半径画弧，交于点H，分别以点P，点H为圆心，以适当的长（两弧交点在矩形的外部）为半径画弧，两弧交于点G，连接，则四边形即为所求作的三距四边形． 【小问1详解】 解：“①”处为“=”；“②”处为； “①”的理由：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：图略． 设与交于点O， 由作图可知，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴四边形是三距四边形． ∵， ∴， ∴． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，是的一条对角线，过点作，垂足为点，已知，，．点是线段上的动点（不与点，重合），连接，在的右侧作正方形． 特例探究： （1）如图2，当点恰好落在边上时，与交于点，则______； 拓展延伸： （2）如图3，若点从问题（1）中的位置继续向左运动，边与交于点． ①求证：； ②在点运动的过程中，连接与交于点．点是平面内任意一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①∵． ∴． ∵四边形是平行四边形． ∴， ∴， 即． ∵四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ②或或． 【解析】 【分析】（1）先由面积与求出高以及、，再由正方形的角确定，用把与的比化成与的比； （2）①用两组互余的角和直角证；②由该相似把用与表示，再由得到的相似三角形把与的比化成与的比，最后按菱形的三种等腰情形分类求． 【小问1详解】 解：∵，． ∴． ∵，． ∴，． ∵四边形是正方形，点在上． ∴，． ∵，点在上． ∴，． ∴为等腰直角三角形，，． ∴， ∵． ∴，． ∵，、、共线，、、共线． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①略． ②设，则，． ∵． ∴． ∵四边形是正方形，． ∴． ∵，． ∴． 连接交于点（如图）． ∵，、、共线，、、共线． ∴与相似． ∴． ∴． ∵以、、及另一点为顶点的四边形是菱形． ∴中必有两边相等； ∵点从（1）中的位置继续向左运动，． ∴． 当时，，． ∴． 当时，，． ∴． 当时，，． ∴． 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原师院附中2026-2027学年第一学期 初三年级数学学科期中学业诊断试题 一、选择题 1. 已知（），则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，“圭表”是我国古代用于测量日影长度的天文仪器，该仪器的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 把方程化成一般形式，得到，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. 26° B. 52° C. 128° D. 154° 5. 如图是亮亮同学解方程的过程，下列说法正确的是( ) 解：移项得： 方程两边同时除以()得 所以 A. 解方程的过程和结果正确 B. 移项这一步的计算结果正确 C. 解方程的结果不正确，原方程正确的解为 D. 方程两边同时除以“”时，没有讨论“”是否为 6. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点（），若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中有下列三角形，其中是相似三角形的是（ ） A. ①与② B. ②与③ C. ①与③ D. ②与④ 9. 《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在任意四边形中，，是对角线，、、、分别是线段、、、上的点．下列结论正确的个数有（ ） ①当，，，是各条线段的中点时，四边形为平行四边形 ②当，，，是各条线段的中点，且时，四边形为矩形 ③当，，，是各条线段的中点，且时，四边形为菱形 ④当，，，不是各条线段的中点时，四边形可以为平行四边形 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题 11. 日晷是我国古代利用日影测定时刻的仪器，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻，晷针在晷面上所形成的投影属于________投影．（填写“平行”或“中心”） 12. 若是一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为_______． 13. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为_______． 14. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 15. 如图，在菱形中，，分别是边和上的点，连接，以为折痕折叠，使得点的对应点落在边上，分别延长和交于点．若，，，则线段的长为_______． 三、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）图中位似中心点的坐标为_______； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 18. 如图，装饰工艺车间生产六边形镂空花板，为适配两种不同尺寸的展柜，工人先制作了小号原型花板六边形，再按比例放大加工出大号成品花板六边形，两块花板为相似六边形（其中，，，，，的对应点依次为，，，，，）．已知，，． （1）求小号六边形中的度数； （2）若小号六边形和大号六边形的相似比是，且，求大号的六边形中边的长． 19. 如图，过的对角线的中点作一条直线，分别交，于点，，分别在线段，上取点，，使得，顺次连接，，，．猜想四边形的形状，并说明理由． 20. 晋礼山西文创手工刺绣“黎侯虎”，取材于山西本土民间虎俗文化，“黎侯虎”造型敦实可爱，运用传统手工刺绣，色彩艳丽、纹样精美，寓意纳福护佑，是颇具代表性的山西民间工艺品，收获众多市民与游客青睐． 素材1 线上销售 据统计，某线上销售平台今年7月份“黎侯虎”的销售量是500个，9月份的销售量是720个． 素材2 线下销售 ①某实体店“黎侯虎”的进价为每个60元，若售价定为每个100元，则每天能销售20个． ②经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2个，为了推广宣传，实体店商家决定降价促销，同时尽量减少库存． 根据上述素材，解决以下问题． （1）若该线上销售平台7月份到9月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）若要使该线下销售实体店每天销售获利为1200元，求每个黎侯虎的售价应降低多少元？ 21. 综合与实践 报告课题 测量篮球场上相邻两盏路灯的高度 问题背景 实践小组的同学利用路灯下的影长测量路灯的高度 示意图 测量过程 实践小组的同学甲在相邻两盏垂直于地面的路灯之间行走（两路灯等高），路灯光源为，，他的身高，于点，影子，在线段上． 测量数据 ，，．图中所有点都在同一竖直平面内 请根据实践报告数据计算路灯的高度． 22. 阅读与理解 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 三距四边形 经历三角形、四边形的学习过程，我们收获了研究几何图形的基本经验与研究方法，迁移运用这些方法，就可以自主研究其它特殊的几何图形． 【定义对象】在一个凸四边形中，两条对角线交于一点，交点分出的四条线段中有三条线段相等，这样的四边形叫做三距四边形． 如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，则四边形是三距四边形 【性质探索】 问题1：在三距四边形中，①____（填“>”、“<”或“=”）； 问题2：判断三距四边形中、、之间的数量关系并证明． 解：、、之间的数量关系为②_______，理由如下： ， ． …… 任务： （1）填空：研究性学习报告中“①”处为_______；“②”处为_______； （2）补全上述报告中问题2的推理过程； （3）如图2，四边形是矩形，求作三距四边形，使得点在边上，点在矩形的外部，且满足． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，作出满足题中条件的一种即可） 23. 综合与探究 问题情境：如图1，是的一条对角线，过点作，垂足为点，已知，，．点是线段上的动点（不与点，重合），连接，在的右侧作正方形． 特例探究： （1）如图2，当点恰好落在边上时，与交于点，则______； 拓展延伸： （2）如图3，若点从问题（1）中的位置继续向左运动，边与交于点． ①求证：； ②在点运动的过程中，连接与交于点．点是平面内任意一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $