精品解析：湖南长沙市雅礼中学集团2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试题

2026年下学期九年级期中检测 数学 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 由deepseek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215000．将2215000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 3. 已知样本数据1，2，3，3，4，5，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 众数是3 C. 离差平方和是10 D. 方差是2 【答案】D 【解析】 【详解】解：样本数据为1，2，3，3，4，5，共个， ∵，∴选项A正确； ∵数据中出现的次数最多，∴众数是，选项B正确； ∵离差平方和，∴选项C正确； ∵方差，∴选项D不正确． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】去括号法则与合并同类项法则，利用法则逐项判断即可． 【详解】解：A选项：， A错误； B选项：， B错误； C选项：与不是同类项，不能合并， C错误； D选项：， D正确． 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用二次函数的顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据二次函数的顶点式的顶点坐标为即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 6. 如图，四边形内接于，，则等于（） A. 100° B. 80° C. 140° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据圆内解四边形的性质得，则，解得，然后计算出后利用互补求的度数． 【详解】解∶设，则， 四边形内接于， ， ，解得， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．解决本题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质． 7. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为6， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③； ④若，则有． 其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 由图象开口方向判断出的正负，由对称轴和开口方向得出的正负，由抛物线与轴的交点判断的正负，即可判断①；由已知的抛物线与x轴的交点与对称轴，可得抛物线与x轴的另一交点坐标，结合图象即可判断②；由抛物线顶点坐标可得抛物线与直线有唯一一个交点，即方程有两个相等的实数根，根据根的判别式即可判断③；由图象可得时，为最大值，即当时，，即可判断④． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 抛物线交的正半轴， ， ， 所以①正确； ②抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间． 由图象知当时，， ， ， ， 所以②错误； ③抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， ∴方程，即有两个相等的实数根， ， ， 因此③正确； ④由图象可得时，为最大值， ∴当时，， ∴， 所以④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 13. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它侧面展开图的圆心角为________°． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面积公式求出母线长，再利用侧面展开图的弧长与底面周长相等的关系，结合弧长公式计算圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的母线长为，侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥侧面积等于侧面展开图的扇形面积，公式为，已知底面半径，侧面积， ∴代入得，解得． ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴底面圆周长为， ∵扇形弧长公式为， ∴代入弧长、母线长，得， 两边约去，解得． 14. 如图，已知一次函数与反比例函数图象交于点和．根据图象回答，当时，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用点求出反比例函数解析式，再求出点横坐标，然后观察图像：一次函数图像在反比例函数图像上方对应的范围就是不等式的解集． 【详解】解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数解析式：， 在上， ，解得， ， 两个交点：，， 不等式的几何含义：一次函数图像在反比例函数图像上方． 结合图像可得：或． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 16. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式，再计算加减法即可． 【详解】解：． 18. 先化简，再求值：，其中a从，0，2中选取一个合适数代入求值． 【答案】 ；当时，原式 【解析】 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值． 【详解】 解： ； 分式有意义需满足，且，即且， 从给定的，0，2中，仅符合要求， ∴当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 【答案】（1） 如图，即为所求． ； （2）点C的运动轨迹的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的画法、旋转的性质以及弧长公式，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征和弧长计算公式． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征，求出、、的对称点、、的坐标，再画出图形； （2）先求出点到原点的距离，再根据弧长公式计算点的运动轨迹长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 弧的长度＝， 答：点C的运动轨迹的长度为． 20. 雅湾产业园坐落湘江畔，借“强省会”战略，园区引进智能分选线，果子逐箱被“打分”；推行有机肥替代化肥，守护一江碧水．果品装成“湘江源”礼盒，经助农直播售往全国，利润按比例返还果农．为检验智能分选线的分级效果，质检员从“人工分选线（甲）”和“智能分选线（乙）”上各随机抽取10箱猕猴桃，按糖度、果形、色泽三项综合评分（满分100分） 甲线10箱得分：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84． 乙线10箱得分：88，90，91，92，92，92，93，93，94，95． 通过数据分析，得到下表： 分选线 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 甲（人工分选） 92 a 96 43.4 乙（智能分选） 92 92 b 3.6 （1）求出a，b的值：________，________． （2）乙线得分的下四分位数是________分 （3）园区要将这批果品作为助农直播的主推货源，需从两条分选线中选择质量更稳定的一条供货．根据表中数据，应选择甲、乙中哪一条？请说明理由． 【答案】（1）94；92 （2）91 （3）选乙线 理由：∵甲、乙两条线的平均得分相同，但乙的方差3.6远小于甲的方差43.4， ∴乙线的得分更集中，果品质量更稳定，因此选乙线． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据下四分位数的定义解答即可； （3）根据方差越小，数据的波动越小，整体质量越稳定解答即可； 【小问1详解】 解：将甲线的10个得分从小到大排序：80，84，86，89，92，96，96，98，99，100， 数据个数为偶数，中位数是第5、第6个数的平均数，即，所以； 乙线得分里92出现了3次，出现次数最多，所以； 【小问2详解】 解：乙线的10个得分从小到大排序：88，90，91，92，92，92，93，93，94，95， 方法一：下四分位数为前5个数的中位数，即91； 方法二：， ∴下四分位数为第三个数，即91； 【小问3详解】 略 21. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．   （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，从而得出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵半径， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，进而结论得证； （2）如图，过作的延长线于点，则，证明四边形是矩形，设，则，由勾股定理得，，求得，则，是中位线，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作的延长线于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴，， 由勾股定理得，， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，角平分线，直径所对的圆周角为直角，矩形的判定与性质，中位线，勾股定理是解题的关键． 23. 雅湾产业园分级后的猕猴桃被装成“湘江源”礼盒，通过助农直播间销售．已知每盒成本30元，当售价为40元时，每天可售出60盒；市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10盒．设每盒降价x元，且高于成本价销售． （1）为让利于消费者、让果农多销多得，若直播间每天销售这种礼盒的利润为630元，则每盒应降价多少元？ （2）设直播间每天销售这种礼盒的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） 每盒应降价3元 （2） 与的函数关系式为（）；当每盒售价定为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】（1）根据总利润单盒利润销售量列一元二次方程，结合让利于消费者的条件选取符合题意的解； （2）先依据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大值及对应售价； 【小问1详解】 解：单盒利润为元，每天销售量为盒， ∵每天利润为630元， ∴， 整理得， 解得，， ∵需让利于消费者、多销多得，即降价幅度更大， ∴， 此时售价为元，，符合题意； 【小问2详解】 解：根据题意可得， ∵售价高于成本价， ∴，解得：， 又∵， ∴， 在中， ∵，且满足， ∴当时，取最大值，最大值为640， 此时售价为（元）， 综上所述，与的函数关系式为（）；当每盒售价定为38元时，每天利润最大，最大利润为640元． 24. 如图，是的直径，弦于，且，，点是劣弧上的一个动点（不与两点重合），连接． （1）求的半径； （2）求证：； （3）连接，令，．求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：如图，连接，过点分别作于点，于点，则， ∵是的直径，弦于， ∴，， ∴， 即平分， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）连接，设的半径为，则，利用勾股定理构建方程解答即可； （）连接，过点分别作于点，于点，由垂径定理可得，，即得，再根据角平分线的性质得到，分别证明和得到，，即得，又由勾股定理得，得到，即得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质得，由圆周角定理得，再利用直角三角形的性质和勾股定理即可求证； （）连接，过点作于，可得，又由，得 ，再在和中，利用勾股定理可得，得到，即得，进而得到，最后根据求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵弦于， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作于，则，， ∴，即， ∵是的直径，弦于，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是劣弧上的一个动点（不与两点重合）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上，． 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值分别记为，且点与点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“同心函数”．例如：和互为“同心函数”． （1）判断下列各组函数是否互为“同心函数”： ①和；②和；③和． 其中互为“同心函数”的是________（填序号）． （2）若直线l的解析式为，此函数的“同心函数”与反比例函数的图象交于，两点，当，满足时，直线l总经过一个定点，试求该定点的坐标． （3）若、、三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“同心函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接将每组两个函数的解析式相加，验证结果是否恒等于，即可快速筛选出符合条件的组合； （2）先根据定义求出直线对应的同心函数解析式-联立同心函数和反比例函数得到一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知的倒数和条件，推导得到，整理直线的解析式，得到恒过的定点坐标； （3）先求出给定二次函数对应的同心函数解析式，利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，得到对称轴表达式，结合的大小关系，利用开口向上的抛物线“点离对称轴越近函数值越小”的性质，推导得到t的取值范围，进而得到w的取值范围． 【小问1详解】 解：根据“同心函数”定义，对任意自变量，两个函数的函数值满足， 验证①：，符合定义； 验证②：，不符合定义； 验证③：，符合定义． 所以，互为“同心函数”的是①③； 【小问2详解】 解：设直线对应的同心函数解析式为， 由得： ， 反比例函数解析式为，联立两个函数解析式得： ， 整理得一元二次方程：， 由一元二次方程的根与系数的关系得：，， 代入条件，即， 得：， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线l总经过一个定点， ∴， 解得， ∴直线l总经过一个定点； 【小问3详解】 解：∵，且， ∴， ∵点和纵坐标相等， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点在抛物线上，由条件，开口向上的抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∴， 平方化简得：， 解得， 由条件，同理得：， 平方化简得：， 解得， 因此t的取值范围是， 又， 该二次函数开口向下，对称轴为直线，在范围内，函数值始终小于， ∵恒成立， ∴， 解得：， 所以，w的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级期中检测 数学 本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 由deepseek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215000．将2215000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知样本数据1，2，3，3，4，5，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数是3 B. 众数是3 C. 离差平方和是10 D. 方差是2 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，，则等于（） A. 100° B. 80° C. 140° D. 40° 7. 如图，点为反比例函数的图象上一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，若矩形的面积为6，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 8. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③； ④若，则有． 其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______________________． 12. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 13. 若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为，则它侧面展开图的圆心角为________°． 14. 如图，已知一次函数与反比例函数图象交于点和．根据图象回答，当时，则的取值范围是________． 15. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 16. 如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中a从，0，2中选取一个合适数代入求值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的中心对称图形，并写出点的坐标； （2）将绕点O逆时针旋转，在这个旋转变换中，计算点C的运动轨迹的长度．(结果保留) 20. 雅湾产业园坐落湘江畔，借“强省会”战略，园区引进智能分选线，果子逐箱被“打分”；推行有机肥替代化肥，守护一江碧水．果品装成“湘江源”礼盒，经助农直播售往全国，利润按比例返还果农．为检验智能分选线的分级效果，质检员从“人工分选线（甲）”和“智能分选线（乙）”上各随机抽取10箱猕猴桃，按糖度、果形、色泽三项综合评分（满分100分） 甲线10箱得分：96，80，96，86，99，98，92，100，89，84． 乙线10箱得分：88，90，91，92，92，92，93，93，94，95． 通过数据分析，得到下表： 分选线 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差/分 甲（人工分选） 92 a 96 43.4 乙（智能分选） 92 92 b 3.6 （1）求出a，b的值：________，________． （2）乙线得分的下四分位数是________分 （3）园区要将这批果品作为助农直播的主推货源，需从两条分选线中选择质量更稳定的一条供货．根据表中数据，应选择甲、乙中哪一条？请说明理由． 21. 如图，是由绕点C顺时针旋转得到的，即，且．   （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，半径，垂足为点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求线段的长． 23. 雅湾产业园分级后的猕猴桃被装成“湘江源”礼盒，通过助农直播间销售．已知每盒成本30元，当售价为40元时，每天可售出60盒；市场调查发现，售价每降低1元，每天可多售出10盒．设每盒降价x元，且高于成本价销售． （1）为让利于消费者、让果农多销多得，若直播间每天销售这种礼盒的利润为630元，则每盒应降价多少元？ （2）设直播间每天销售这种礼盒的利润为w元，求w与x之间的函数关系式；当每盒售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，是的直径，弦于，且，，点是劣弧上的一个动点（不与两点重合），连接． （1）求的半径； （2）求证：； （3）连接，令，．求与的函数关系式，并写出的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值分别记为，且点与点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“同心函数”．例如：和互为“同心函数”． （1）判断下列各组函数是否互为“同心函数”： ①和；②和；③和． 其中互为“同心函数”的是________（填序号）． （2）若直线l的解析式为，此函数的“同心函数”与反比例函数的图象交于，两点，当，满足时，直线l总经过一个定点，试求该定点的坐标． （3）若、、三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“同心函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $