专题复习3——圆的性质综合讲义【三大核心考点・八类基础题型】- 2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题复习3——圆的性质综合讲义 2026-2027学年 人教版九年级上册
专题复习3——圆的性质综合讲义【三大核心考点・八类基础题型】
目录
一.知识梳理与解读 1
【考点一】圆的对称性与垂径定理 1
【考点二】弧、弦、圆心角的关系 2
【考点三】圆周角定理与圆内接四边形 3
二、题型精析 4
【题型1】垂径定理求弦长、半径与弦心距 4
【题型2】垂径定理的实际应用 5
【题型3】垂径定理的推论与“知二推三” 6
【题型4】弧、弦、圆心角的关系 7
【题型5】弧的度数与圆心角 8
【题型6】圆周角定理求角 9
【题型7】直径所对的圆周角 10
【题型8】圆内接四边形的性质 11
一.知识梳理与解读
【考点一】圆的对称性与垂径定理
1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆心是圆的对称中心。把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这一性质叫做圆的旋转对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（如图1）
图1
符号语言：CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为 M， AM＝BM，，。
要点提示：定理中的“直径”可以换成“过圆心的任意一条直线”；“过圆心”和“垂直于弦”这两个条件缺一不可，只有同时具备，才能得出平分弦、平分弧的结论。
3.垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
把定理和推论合起来看：一条直线只要具备“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧”这五个条件中的任意两个，就能推出其余三个，通常称为“知二推三”。
要点提示：以“平分弦”作条件时，被平分的弦不能是直径；若弦本身是直径，满足条件的直线有无数条，结论不再唯一，这是判断类题目最常设的陷阱。
4.常用辅助线与基本模型
遇到弦的问题，常作半径与弦心距，把半径、弦心距、半弦放在同一个直角三角形中：设⊙O 的半径为 r，弦长为 a，圆心到弦的距离为 d，则 r²＝d²＋（）²。
要点提示：这个关系式是垂径定理计算的通用模型：弦长、半径、弦心距三者中知道任意两个，就能求出第三个。
5.易错提醒
（1）垂径定理中的“平分弧”是平分两条弧（劣弧和优弧），只写一条则不完整。
（2）已知弦长求半径时，要先判断圆心与弦的位置关系；两条平行弦之间的距离可能有两解。
（3）使用推论时被平分的弦不能是直径，说理时要把这一点写清楚。
【考点二】弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
2.弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
符号语言：在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，，AB＝CD；若 OM⊥AB，ON⊥CD，则 OM＝ON。
3.定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
要点提示：“同圆或等圆”是这个定理的前提。在两个半径不相等的圆中，相等的圆心角所对的弧并不相等，丢掉前提是判断类题目最常见的错误。
4.弧的度数
把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的角是 1°的角，它所对的弧是 1°的弧。n°的圆心角所对的弧是 n°的弧，即弧的度数等于它所对圆心角的度数。
要点提示：弧的度数与弧长是两个不同的概念：弧的度数由圆心角决定，弧长还与半径有关，解题时不要混用。
5.易错提醒
（1）一条弦对着两条弧（优弧和劣弧），“弦相等则弧相等”必须先限定在同一圆或等圆中，并写清楚是哪一组弧。
（2）圆心角相等、弦相等、弧相等、弦心距相等四者可以互相推出，但单独使用时必须把前提写全。
【考点三】圆周角定理与圆内接四边形
1.圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
要点提示：判断一个角是不是圆周角，要同时满足两个条件：顶点在圆上、两边都与圆相交，缺一不可。
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3.圆周角定理的推论
推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：同圆或等圆中，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
4.圆内接多边形
如果一个多边形的各顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
要点提示：见到直径要想直角，见到直角要想直径；圆内接四边形中“对角互补”与“外角等于内对角”是同一个性质的两个说法。
5.易错提醒
（1）“同弧所对的圆周角相等”不能说成“同圆中所有的圆周角都相等”，必须是同一条弧所对的角。
（2）圆内接四边形的对角互补只对相对的一组角成立，不能写成“相邻两角互补”。
二、题型精析
【题型1】垂径定理求弦长、半径与弦心距
【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？
【变式1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________．
【变式3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若为的中点且，求⊙的半径．
【题型2】垂径定理的实际应用
【例题2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥（如图1），始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．
（1）在图2中画出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）问一艘宽12米，水面以上高米的货轮能否顺利通过？
【变式1】（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米．
【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）“瀑布之所以壮观，是因为它没有退路；滴水之所以穿石，是因为它贵在坚持．”2025年江苏省城市足球联赛的这段解说词，诠释了绿茵场上队员们勇往直前、坚忍不拔的拼搏精神．你知道吗?其实足球运动中也有数学知识，射门的角度和距离都是需要综合考虑的因素．如图所示，在足球门（门柱底端分别用M，N表示，本题用线段代表球门）前有一个圆弧形区域（的一部分）．
（1）如图①，点A为上一点，若码，的半径为6码，求点A到球门的最大距离；
（2）如图②，点B在内，点C在外．如果只考虑射门的角度（射球点与两根门柱底端构成的夹角），角度越大进球的可能性越大．在B、C中哪个点处射门进球的可能性更大，并用学过的数学知识说明理由．
【题型3】垂径定理的推论与“知二推三”
【例题3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
（1）证明：；
（2）若，，求弦的长．
【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________．
【变式3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，．求的长．
【题型4】弧、弦、圆心角的关系
【例题4】（26-27八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，，
（1）求证：．
（2）求弧的度数．
【变式1】（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____．
【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，A，B，C，D是上的点，，
（1）求证：；
（2）设交于点E，若E为的中点，若，用含有的代数式表示．
【题型5】弧的度数与圆心角
【例题5】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数．
【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______．
【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ；
（3）求的长．
【题型6】圆周角定理求角
【例题6】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点．
（1）若的度数为，的度数为，求；
（2）若，求证：．
【变式1】（26-27九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的两条直径互相垂直，点是弧的中点，连接交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________．
【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【题型7】直径所对的圆周角
【例题7】（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________．
【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【题型8】圆内接四边形的性质
【例题8】（25-26九年级上·云南红河·期末）如图，已知四边形内接于，连接，，．
（1）求证：；
（2）若的半径为，求的长．
【变式1】（2026·甘肃白银·二模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________．
【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上．
（1）若，求的度数．
（2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离．
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$专题复习3——圆的性质综合讲义 2026-2027学年 人教版九年级上册
专题复习3——圆的性质综合讲义【三大核心考点・八类基础题型】
目录
一.知识梳理与解读 1
【考点一】圆的对称性与垂径定理 1
【考点二】弧、弦、圆心角的关系 2
【考点三】圆周角定理与圆内接四边形 3
二、题型精析 4
【题型1】垂径定理求弦长、半径与弦心距 4
【题型2】垂径定理的实际应用 7
【题型3】垂径定理的推论与“知二推三” 13
【题型4】弧、弦、圆心角的关系 17
【题型5】弧的度数与圆心角 20
【题型6】圆周角定理求角 24
【题型7】直径所对的圆周角 27
【题型8】圆内接四边形的性质 31
一.知识梳理与解读
【考点一】圆的对称性与垂径定理
1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。任意一条经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆心是圆的对称中心。把圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这一性质叫做圆的旋转对称性。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（如图1）
图1
符号语言：CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为 M， AM＝BM，，。
要点提示：定理中的“直径”可以换成“过圆心的任意一条直线”；“过圆心”和“垂直于弦”这两个条件缺一不可，只有同时具备，才能得出平分弦、平分弧的结论。
3.垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
把定理和推论合起来看：一条直线只要具备“过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的劣弧、平分弦所对的优弧”这五个条件中的任意两个，就能推出其余三个，通常称为“知二推三”。
要点提示：以“平分弦”作条件时，被平分的弦不能是直径；若弦本身是直径，满足条件的直线有无数条，结论不再唯一，这是判断类题目最常设的陷阱。
4.常用辅助线与基本模型
遇到弦的问题，常作半径与弦心距，把半径、弦心距、半弦放在同一个直角三角形中：设⊙O 的半径为 r，弦长为 a，圆心到弦的距离为 d，则 r²＝d²＋（）²。
要点提示：这个关系式是垂径定理计算的通用模型：弦长、半径、弦心距三者中知道任意两个，就能求出第三个。
5.易错提醒
（1）垂径定理中的“平分弧”是平分两条弧（劣弧和优弧），只写一条则不完整。
（2）已知弦长求半径时，要先判断圆心与弦的位置关系；两条平行弦之间的距离可能有两解。
（3）使用推论时被平分的弦不能是直径，说理时要把这一点写清楚。
【考点二】弧、弦、圆心角的关系
1.圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
2.弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
符号语言：在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，，AB＝CD；若 OM⊥AB，ON⊥CD，则 OM＝ON。
3.定理的推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
要点提示：“同圆或等圆”是这个定理的前提。在两个半径不相等的圆中，相等的圆心角所对的弧并不相等，丢掉前提是判断类题目最常见的错误。
4.弧的度数
把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的角是 1°的角，它所对的弧是 1°的弧。n°的圆心角所对的弧是 n°的弧，即弧的度数等于它所对圆心角的度数。
要点提示：弧的度数与弧长是两个不同的概念：弧的度数由圆心角决定，弧长还与半径有关，解题时不要混用。
5.易错提醒
（1）一条弦对着两条弧（优弧和劣弧），“弦相等则弧相等”必须先限定在同一圆或等圆中，并写清楚是哪一组弧。
（2）圆心角相等、弦相等、弧相等、弦心距相等四者可以互相推出，但单独使用时必须把前提写全。
【考点三】圆周角定理与圆内接四边形
1.圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
要点提示：判断一个角是不是圆周角，要同时满足两个条件：顶点在圆上、两边都与圆相交，缺一不可。
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3.圆周角定理的推论
推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：同圆或等圆中，半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
4.圆内接多边形
如果一个多边形的各顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
要点提示：见到直径要想直角，见到直角要想直径；圆内接四边形中“对角互补”与“外角等于内对角”是同一个性质的两个说法。
5.易错提醒
（1）“同弧所对的圆周角相等”不能说成“同圆中所有的圆周角都相等”，必须是同一条弧所对的角。
（2）圆内接四边形的对角互补只对相对的一组角成立，不能写成“相邻两角互补”。
二、题型精析
【题型1】垂径定理求弦长、半径与弦心距
【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？
【答案】
【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长．
解：∵为直径，为弦，且，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长是．
【变式1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．8米 C．10米 D．20米
【答案】C
【分析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线，
∵拱高为，
∴，
∵米，
∴米，
在中，根据勾股定理，得：，
即，
解得：，
即拱桥的半径为10米．
【变式2】（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则________．
【答案】
【分析】连接，由同圆半径相等得到，结合为中点、，得到垂直平分，利用垂直平分线上的点到线段两端距离相等得到，求出．
解：连接．
∵ ，都是的半径，
∴ ．
∵ 是的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ 垂直平分线段．
∵ 点在直线上，
∴ ．
∴ ．
【变式3】（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图，与关于直线对称，为圆心，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若为的中点且，求⊙的半径．
【答案】（1）证明：∵与关于直线对称，
∴，；
∵为的圆心，，
∴，
∴；
∴，
∴四边形为菱形；
（2）
【分析】本题考查了圆的垂径定理、轴对称的性质、菱形的判定定理以及勾股定理的应用，关键是结合轴对称性质得到线段的等量关系，利用垂径定理确定弦的中点，再通过设未知数结合勾股定理建立方程求解线段长度．
（1）先根据轴对称的性质得到、，再由过圆心且，根据垂径定理推出，进而得到，由此证得四边形的四条边相等，依据四条边相等的四边形是菱形完成证明；
（2）先由垂径定理求出的长度，结合为中点设，进而用表示出和半径，再在中根据勾股定理建立关于的方程，求解出的值后，代入计算即可得到⊙的半径．
解：（1）略
（2）解：设⊙的半径为，
∵，，
∴．
∵为的中点，
∴，
设，则．
∵与关于对称，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴．故⊙的半径为．
【题型2】垂径定理的实际应用
【例题2】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥（如图1），始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．现有一座仿赵州桥建造的圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是16米（即米，如图2），拱顶到水面的距离4米（即弧的中点C到的距离等于4米）．
（1）在图2中画出线段；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）问一艘宽12米，水面以上高米的货轮能否顺利通过？
【答案】（1）分别以A、B为圆心，大于的长度为半径画弧，交于M、N两点，连接交于D，交于C，如图所示，线段即为所求，
（2）能顺利通过
【分析】本题主要考查圆的实际应用，考查数形结合的能力，正确的画出图形结合垂径定理和勾股定理计算是解题的关键．
（1）作线段的垂直平分线即可；
（2）设圆O的半径为，画出草图，结合勾股定理，即可求解．
解：（1）略
（2）在上方作一个矩形，其中点在上，在上，交于，且
∵
∴
设圆心为，连接，设半径为，
在中，，，
∴
解得：
∴
在中，
∴
∴
∴一艘宽12米，水面以上高米的货轮能顺利通过
【变式1】（2026·广东广州·二模）花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解．
解：连接交于点，连接，如图：
根据题意可得：四边形是矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴，，
设的半径为，则，
在中，，
即，
解得，
∴拱门最高点到地面的距离是．
【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为10米．小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径的长度为______米．
【答案】
【分析】设圆心为，半径为，过点作于，连接，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解．
解：设圆弧所在圆的圆心为，半径为 过点作于点，连接 ，过点作交的延长线于点 ，
，
，
，
，
，
四边形为矩形 ，
，
设，则 ，
在中，，
即 ，
在中，，
即，
，
解得 ，
，
，
故圆弧所在圆的半径的长度为米．
【变式3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）“瀑布之所以壮观，是因为它没有退路；滴水之所以穿石，是因为它贵在坚持．”2025年江苏省城市足球联赛的这段解说词，诠释了绿茵场上队员们勇往直前、坚忍不拔的拼搏精神．你知道吗?其实足球运动中也有数学知识，射门的角度和距离都是需要综合考虑的因素．如图所示，在足球门（门柱底端分别用M，N表示，本题用线段代表球门）前有一个圆弧形区域（的一部分）．
（1）如图①，点A为上一点，若码，的半径为6码，求点A到球门的最大距离；
（2）如图②，点B在内，点C在外．如果只考虑射门的角度（射球点与两根门柱底端构成的夹角），角度越大进球的可能性越大．在B、C中哪个点处射门进球的可能性更大，并用学过的数学知识说明理由．
【答案】（1）点A到球门的最大距离为码；（2）在点B处射门进球的可能性更大，理由：
连接，，，，交⊙O于点E，
延长交⊙O于点D，连接，，
∵，，，
∴，
∴在点B处射门进球的可能性更大．
【分析】本题考查垂径定理与勾股定理的结合，通过构造直角三角形求出圆心到弦的距离以及理解圆周角、圆内角、圆外角的大小关系是解题的关键．
（1）利用垂径定理确定球门的垂直平分线，结合勾股定理计算圆心到的距离，再根据圆上点的位置特征确定点到的最大距离；
（2）根据圆周角定理以及三角形内角和定理得出与的大小即可．
（1）解：（1）如图①，过点O作于点P，
延长交⊙O于点A，连接，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
即点A到球门的最大距离为码；
（2）略
【题型3】垂径定理的推论与“知二推三”
【例题3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、．
（1）证明：；
（2）若，，求弦的长．
【答案】（1）证明：为的直径，是弦，且，
，
；
（2）
【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明；
（2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得．
解：（1）略；
（2）解：为的直径，是弦，且于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
弦的长为．
【变式1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．
根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答．
解：如图：连接、，
∵是的直径，为弦，于点，
∴，，，
∴，，
∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意；
证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意，
无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是____________________．
【答案】或
【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，求出和的值，即可求出的长．
解：分为两种情况：
①如图1，过O作于E，延长交于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
，
；
②如图2，同理，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，垂径定理的应用等知识点，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想．
【变式3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，．求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）
【分析】本题考查了全等三角形的判定、垂径定理推论的应用及勾股定理的应用，
（1）先证明，进而证明三角形全等；
（2）根据（1）中结论得出，求出，设，根据勾股定理列方程并解方程即可解决．
解：（1）略
（2）解：，
由（1）知，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
【题型4】弧、弦、圆心角的关系
【例题4】（26-27八年级上·浙江湖州·期中）如图，是的直径上一点，过点作弦，若为，，
（1）求证：．
（2）求弧的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵为，
∴，
∴，
∴；
（2）
【分析】（1）利用等边得出等角，利用弧和圆心角的度数得出相等的角，最后利用等角对等边得出相等的边；
（2）利用角的和差求出圆心角，然后利用圆心角和弧的关系求解．
解：（1）证明：略；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∴，
∴弧的度数为．
【变式1】（2026·山东青岛·一模）如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案．
解：∵是的直径，
∴点O在上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2】（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为_____．
【答案】/48度
【分析】根据同圆中相等的弦所对弧相等，且相等的弧所对的圆心角相等，得出，利用角的和差关系推出，再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解．
解：∵，
∴弧与弧相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，A，B，C，D是上的点，，
（1）求证：；
（2）设交于点E，若E为的中点，若，用含有的代数式表示．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
【分析】（1）证明，根据弦与圆心角的关系可证明；
（2）由垂径定理的推论得到，则可得到，据此可得答案．
解：（1）略
（2）解：∵E为的中点，为的半径，
∴，
∴，
∴，
∴；
【题型5】弧的度数与圆心角
【例题5】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，是上一点，为延长线上一点，连接与交于点，且，若，求的度数．
【答案】
【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，以及三角形外角的性质求出，结合即可求解．
解：如图，连接，
，，，
，
，
是的外角，
，
，
，
，
．
【变式1】（26-27九年级上·浙江温州·期中）如图，中，弦直径，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等边对等角及平行线的性质计算即可．
解：，，
，
，
，
的度数是．
【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______．
【答案】
【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解．
解：连接，，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴．
【变式3】（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点．
（1）若，则的度数为 ；
（2）若点 是线段上的动点，则线段 的长度取值范围是 ；
（3）求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，于是得到结论；
由勾股定理得，过作，交于点，然后通过求出，再结合垂线段最短可得线段的长度取值范围是，然后代入即可求解；
由得，由得，然后通过勾股定理得，从而求解．
（1）解：∵，，
∴，
连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，
∴，
过作，交于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∴线段的长度取值范围是，即；
（3）解：由得，如问图，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，即的长为．
【题型6】圆周角定理求角
【例题6】（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，的弦，的延长线交于点．
（1）若的度数为，的度数为，求；
（2）若，求证：．
【答案】（1）；（2）证明：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
【分析】（1）由圆周角的定理得出，，由三角形外角的定义以及性质得出．
（2）由弦相等得出，进而可得出，进而可得出，由等角对等边得出．
（1）解：∵的度数为，的度数为，
∴对应的圆周角为：，对应的圆周角为：，
∵是的一个外角，
∴．
（2）略
【变式1】（26-27九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，的两条直径互相垂直，点是弧的中点，连接交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点是弧的中点，得到，根据圆周角定理得到，利用三角形内角和定理即可解答．
解：的两条直径互相垂直，
，
点是弧的中点，
，
，
，
．
【变式2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，内接于，是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线交于点，连接，则的度数为________．
【答案】/45度
【分析】由直径所对的圆周角是直角可得；由作图过程可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
解：∵内接于，是的直径，
∴，
由题意可知：平分，即，
∵，
∴．
【变式3】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，是圆的直径，
，
；
（2）6
【分析】（1）利用垂径定理可得，即可解答；
（2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解．
解：（1）略
（2）解：如图，连接，
，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型7】直径所对的圆周角
【例题7】（26-27九年级上·北京密云·期中）如图，，，，是上的四个点，为直径，，连接，，于点．
（1）求的度数；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由圆周角定理与等腰三角形的性质可得，结合“同弧所对的圆周角相等”可得；
（2）连接，容易判断是等腰直角三角形，则，由圆周角定理可得，使用勾股定理求出，进而得到的半径．
（1）解：∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵为直径，
∴，
在中，，
∴的半径为．
【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，为半圆O的直径，A，D为半圆O上两点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接与，由直径得；在中求出，再由得到为等边三角形，进而推得，可知，从而得到；四边形是圆内接四边形，与是一组对角，对角互补，计算．
解：连接、，
为半圆O的直径，
，
，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
．
四边形是圆内接四边形，
，
．
【变式2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是的直径，点C、D都在上，且在的异侧，连接交于点Q，连接．若，，，则的半径为___________．
【答案】
【分析】连接，三角形的外角求出，圆周角定理求出，进而求出的长即可．
解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴的半径为2．
【变式3】（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，四边形内接于，，是的直径，与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：是的直径，
，
，
，
点是的中点，
是的半径，点是的中点，
由垂径定理的推论，可得：，
，
，
；
（2）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可知，根据垂径定理的推论可知，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立；
（2）由垂径定理可知，设的半径为，利用勾股定理求出，从而可知，再利用勾股定理求出的长．
解：（1）略
（2）解：由（1）可知，，
，，
设的半径为，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型8】圆内接四边形的性质
【例题8】（25-26九年级上·云南红河·期末）如图，已知四边形内接于，连接，，．
（1）求证：；
（2）若的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（）由内接四边形性质可得，从而有，然后通过等角对等边即可求证；
（）连接，通过三角形内角和定理可得，由圆周角定理得，然后证明为等边三角形，再根据等边三角形性质即可求解．
解：（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
由（1）可知，，
∴，
由圆周角定理得，，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
【变式1】（2026·甘肃白银·二模）如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
解：是等边三角形，
，
∵四边形是的内接四边形，
．
【变式2】（26-27九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，若的度数为，则的度数为______________．
【答案】
解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
【变式3】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，是半的直径，点C，D在半上．
（1）若，求的度数．
（2）若的半径为6，，求圆心O到弦的距离．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，中位线定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）根据圆内接四边形对角互补，可求得的度数，再根据直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理即可求得的度数；
（2）过作交于，连接，易得为中点，再根据勾股定理可求
．
（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
，
∵是半圆O的直径，
∴，
，
（2）过作交于，连接，
由题可知，
又∵，
为中点，
，
，
所以圆心O到弦的距离
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