精品解析：天津市北京师范大学天津生态城附属学校､天津滨海高新技术产业开发区第一学校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试卷

2026—2027学年度高三年级第一学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2、答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第Ⅰ卷（选择题 满分45） 一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用并集和补集的运算可求答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故选：A 2. 已知向量，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行可得或，根据充分条件、必要条件概念判断即可. 【详解】已知向量， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的特征，结合选项逐一验证即可. 【详解】由图可知，函数定义域为，是奇函数，且没有零点； 对于A，的定义域为，不合题意，A不正确； 对于B，，，有零点，不合题意，B不正确； 对于C，，，是偶函数，不合题意，C不正确； 对于D，定义域为，，是奇函数，符合题意. 故选：D 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数单调性比较与中间量的大小，根据角所在象限判断正弦函数值的符号得，进而可判断的大小关系. 【详解】因为在上单调递增，所以， 因为在上单调递减， 所以，且. 由，则， 综上可知. 故选：D. 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 所以函数至多有一个零点， 又因为，， 所以函数有且仅有一个零点，且零点所在区间是. 6. 已知，计算（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 7. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量坐标是 D. 向量与向量的夹角是135° 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂直关系的坐标表示求出，再结合模的坐标表示、投影向量的意义及向量夹角的计算逐项判断即得. 【详解】由，得，因为，所以， 即，解得，所以，A错误； ，所以，B错误； ，， 所以向量在向量上的投影向量为，C正确； ，所以， 又，所以，D错误 8. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（ ） A. 100 B. 80 C. 50 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到关于的方程组，求出，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为，因为且成等比， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：D 9. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确. 【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得， 其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，， 解得，，由可知当时，符合题意； 由可得； 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④共2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确. Ⅱ卷（非选择题，满分105分） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 的虚部是______. 【答案】 【解析】 【详解】 所以的虚部是 11. 已知角的终边过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合诱导公式求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 可得， 所以. 故答案为：. 12. 若平面向量，，其中，，且满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为平面向量，，且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 13. 已知数列的通项公式为，令数列的前n项和为，则当取到最小值时，________；数列的前n项和________． 【答案】 ①. 6； ②. . 【解析】 【详解】对于第一空，， 从而时取到最小值，又因为，且， 故时取到最小值； 对于第二空，易知时，，时，， 当时，， 当时，. 所以. 14. 已知平面向量，满足，，，若当时，则的最小值为______；若，则的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先由 的模长计算的值，第一问将代入后把转化为关于的二次函数求最小值；第二问将平方得到的关系式，结合基本不等式求的最大值. 【详解】对两边平方，得， 代入，得，解得. 当时，， 所以， 则关于的二次函数开口向上，对称轴为， 当时取最小值，故. 由得，展开得：， 设，则， 将代入得. 由基本不等式可得：，即， 当且仅当时等号成立. 代入的表达式得，整理得， 即，当时等号成立， 故的最大值为. 15. 已知函数当时，方程的解是________；若关于x的方程恰有三个实数解，则实数a的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合绝对值函数以及一元二次函数的图象和性质，利用数形结合进行讨论分析求解即可． 【详解】当时，， 当时，由得， 若，方程等价于，解得， 若时，方程等价于，解得， 当时，由得，得， 解得或，此时无解， 综上方程的解集为； 当时，的最小值为， 在上的最大值为， 当时，函数的图象是开口向下的抛物线，抛物线的对称轴为，顶点为， 当时，最多有两个零点， 当时，最多有两个零点， 则要使恰有三个实根， 则当时，有两个零点，时有一个零点， 或当时，有一个零点，时有两个零点， ①若当时，有两个零点，则，得，即， 此时当时只能有一个零点，若对称轴满足，此时当时，必有一个零点， 则只需要当时，， 即，得，此时， 若对称轴满足，此时在上为减函数， 要使此时只有一个零点，则， 即，得，此时， ②若当时，有一个零点，此时，即时， 此时当时， 函数的对称轴为，，要使时有两个零点，则， 即，得（舍去）或，此时， 综上实数的取值范围是或， 故答案为：①，②． 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，约去 得 ，即 ，结合 得 . （2）（i）先利用面积公式 得 ，再由余弦定理 求解即可. （ii）解法一：由正弦定理得 ，根据边的大小关系判断 为锐角后求出 ，进而得到 ，代入 的展开式即得 . 解法二：由余弦定理得求出 ，进而得到 ，代入 的展开式即得 . 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 又因为是的内角，所以，则. 所以，又因为，所以. 【小问2详解】 （i）因为的面积为. 所以，所以， 根据余弦定理， 所以. （ii）解法一：由正弦定理，得， 因为所以，所以是锐角，所以， ，， . 解法二：由余弦定理可得：， 是的内角，所以， ，， . 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1） 最小正周期为；单调递增区间为 （2） 当时，取最大值3；当时，取最小值0 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式、辅助角公式将化简为正弦型函数，令，即可求单调增区间； （2）计算的范围，结合正弦函数的值域可得最值. （3）根据题意求出，再结合三角恒等变换公式求出即可. 【小问1详解】 ， 最小正周期， 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题知，此时，故， 因此. 当，解得时，取最大值1，此时； 当，解得时，取最小值， 此时. 【小问3详解】  ，整理得， 已知，故， 又， 因此， 可得， ， 代入数值计算得. 18. 在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：取棱的中点，连接. 因为为的中点，所以∥，且. 因为，且，所以∥. 所以四边形是平行四边形，所以∥. 因为平面，平面 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求解； （3）根据点到平面距离的向量求法求解 . 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面是边长为2的正方形，平面， 所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题可知，. 则. 所以. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得. 设平面的法向量为，则. 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以点到平面的距离为. 19. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，，数列是递增的等比数列，若，， （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用前n项和与通项的关系求出等差数列通项，由等比数列两项求公比，结合递增条件确定通项； （2）通项为等差乘等比结构，采用错位相减法，作差后套用等比求和公式，整理得到前n项和； （3）将前项按奇偶分组，奇数项通过裂项相消求和，偶数项按等比数列求和，最后合并得到结果． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 上式中当时，， 所以数列的通项公式为， 设的公比为q，，，所以， 数列为递增的等比数列，所以，， ． 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以， 即， ， 两式相减得：， 则 整理得． 【小问3详解】 由，，得， 所以， 设， 则， 设， 则， 所以． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，求函数的极值； （3）若，证明对任意恒成立． 【答案】（1）； （2）极大值为，极小值为； （3），在内是减函数， 又，不妨设，则， 于是等价于， 即， 令， 在内是减函数， 故， 从而在内是减函数， 对任意，有， 即， 当，对任意恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线在点处的导数值，再求出，代入直线方程的点斜式，求切线方程； （2）求函数的导函数，得到导函数的零点，利用导函数在各个区间段内的符号，判断原函数的单调性； （3）当，在内是减函数，又，不妨设，则，于是等价于，即，构造，利用导数证明其为减函数得到答案. 【小问1详解】 当时，，， ，， 故切线方程为：，整理得； 【小问2详解】 令，解得或， 又，， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故当时，取极大值为， 当时，取极小值为. 【小问3详解】 略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度高三年级第一学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2、答Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上，只交答题卡，试卷学生带走，以备讲评. 第Ⅰ卷（选择题 满分45） 一、单选题（本大题共9小题，共45分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，计算（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量坐标是 D. 向量与向量的夹角是135° 8. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前5项和（ ） A. 100 B. 80 C. 50 D. 30 9. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Ⅱ卷（非选择题，满分105分） 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 的虚部是______. 11. 已知角的终边过点，则______． 12. 若平面向量，，其中，，且满足，则的最小值为_________． 13. 已知数列的通项公式为，令数列的前n项和为，则当取到最小值时，________；数列的前n项和________． 14. 已知平面向量，满足，，，若当时，则的最小值为______；若，则的最大值为______． 15. 已知函数当时，方程的解是________；若关于x的方程恰有三个实数解，则实数a的取值范围是________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 在中，角所对的边分别为.已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为. （i）求的值； （ii）求的值. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值、最小值及相应的x的值； （3）已知，且，求的值． 18. 在如图所示的多面体中，底面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，，数列是递增的等比数列，若，， （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，求函数的极值； （3）若，证明对任意恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $