1.3 三角函数的应用（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级下册

**北师大版数学九年级下册 1.5 三角函数的应用 专项练习**（沿用同一个模板：满分 60 分、16 题、约 1600 字） --- # 北师大版数学九年级下册 1.5 三角函数的应用 专项练习 （满分 60 分　建议用时 40 分钟　姓名＿＿＿　得分＿＿＿） ## 一、知识梳理 - 仰角与俯角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角叫仰角；视线在水平线下方时，这个夹角叫俯角。 - 坡度等于坡角的正切值；已知坡面长度时，铅直高度用正弦求，水平宽度用余弦求。 - 方位角：“北偏东 30°”指从正北方向向东转 30°；航行问题中，南北方向的分量用余弦表示，东西方向的分量用正弦表示。 - 解题三步：先画示意图，标出已知的角和边，再判断已知量是斜边、对边还是邻边，最后选函数列式。 - 两次观测：在同一侧先后测得仰角 α、β 时，两个直角三角形共用一条铅直边，两条水平距离相减即为走近的距离。 - 近似计算时中间多留一位，最后一步才四舍五入，长度单位写在结果后面。 ## 二、选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 某人站在距一棵树 12 m 处，测得树顶的仰角为 30°，则这棵树的高度为（　　） A. 4√3 m　　B. 6√3 m　　C. 24 m　　D. 12√3 m 2. 从 20 m 高的楼顶看地面上一辆汽车，俯角为 45°，则汽车到楼底的水平距离为（　　） A. 20√2 m　　B. 10 m　　C. 10√3 m　　D. 20 m 3. 某斜坡的坡度 i=1:√3，则该斜坡的坡角为（　　） A. 45°　　B. 60°　　C. 30°　　D. 15° 4. 点 A 在点 O 的北偏东 60° 方向上，且 OA=10 km，则点 A 到 O 的正东方向的距离为（　　） A. 5 km　　B. 5√3 km　　C. 10 km　　D. 10√3 km 5. 一段坡面的长为 100 m，坡角为 30°，则坡顶比坡底高出（　　） A. 25 m　　B. 25√3 m　　C. 50√3 m　　D. 50 m 6. 从 A 点看 B 点的仰角为 α，从 B 点看 A 点的俯角为 β，则 α 与 β 的关系是（　　） A. α+β=90°　　B. α=β　　C. α>β　　D. 无法确定 7. 测得某塔顶的仰角为 α，观测点到塔底的水平距离为 20√3 m，塔高为 20 m，则 α 的度数为（　　） A. 30°　　B. 45°　　C. 60°　　D. 15° ## 三、填空题（每题 3 分，共 15 分） 8. 在距旗杆底部 18 m 处测得杆顶的仰角为 30°，则旗杆的高为＿＿＿（保留根号）。 9. 一座楼高 60 m，从楼顶看地面一点，俯角为 60°，则该点到楼底的水平距离为＿＿＿（保留根号）。 10. 一段坡面长 20 m，坡角为 30°，则它的水平宽度为＿＿＿（保留根号）。 11. 在距塔底 9√3 m 处测得塔顶的仰角为 30°，则塔高为＿＿＿。 12. 某斜坡的坡度 i=1:1，则它的坡角为＿＿＿。 ## 四、解答题（每题 6 分，共 24 分） 13. 在 A 处测得塔顶的仰角为 30°，沿直线向塔前进 20 m 到达 B 处，测得塔顶的仰角为 45°。求塔高（结果保留根号）。 14. 一段斜坡的坡角为 30°，坡面长为 100 m。求这段斜坡的铅直高度与水平宽度（结果保留根号）。 15. 一艘轮船在 A 处测得灯塔在北偏东 45° 方向，向正东航行 20 km 到达 B 处，测得灯塔在北偏西 45° 方向。求灯塔到航线 AB 的距离以及 A 到灯塔的距离。 16. 热气球悬停在 P 处，A、B 是地面上同一条直线上的两点，A 离 P 的正下方较近。从 P 测得 A 的俯角为 60°、B 的俯角为 30°，A、B 相距 20 m。求热气球离地面的高度（结果保留根号）。 ## 五、参考答案与解析 1. A。树高是 30° 角的对边，12 m 是邻边，树高=12×tan30°=4√3（m）。求对边用正切，不能用正弦。 2. D。俯角 45°，楼高与水平距离是等腰直角三角形的两条直角边，所以距离=20×tan45°=20（m）。 3. C。tanα=1:√3=√3/3，所以坡角为 30°。i 越大坡越陡，i=1 时才为 45°。 4. B。北偏东 60°，正东分量=10×sin60°=5√3（km），正北分量则为 5 km，两者别表示反了。 5. D。高度=100×sin30°=50（m）。用余弦算出的 50√3 m 是水平宽度。 6. B。两条视线互为反向，与水平线的夹角大小相等，所以 α=β。 7. A。tanα=20/(20√3)=√3/3，所以 α=30°。见到“塔高与水平距离之比为 1:√3”就想到 30°。 8. 6√3。18×tan30°=18×√3/3=6√3（m）。 9. 20√3。距离=60÷tan60°=60/√3=20√3（m）。先判断该乘还是该除，是这类题的关键。 10. 10√3。宽度=20×cos30°=10√3（m），同时可求出高度为 10 m。 11. 9。9√3×tan30°=9√3×√3/3=9（m），数字是特意配好的。 12. 45°。坡度 i=1 即铅直高度与水平宽度相等，tanα=1。 13. 设塔高 h，塔底为 O。由 tan30°=h/AO 得 AO=h√3，由 tan45°=h/BO 得 BO=h。因 AO-BO=20，故 h(√3-1)=20，解得 h=10(√3+1)，约为 27.3 m。 14. 高度=100×sin30°=50（m）；宽度=100×cos30°=50√3（m）。检验：50²+(50√3)²=10000=100²，约为 86.6 m。 15. 两个 45° 说明灯塔到航线的垂足在 AB 的中点，灯塔与 A、B 之间的张角为 90°。距离=20÷2=10（km）；A 到灯塔=10÷sin45°=10√2（km），约为 14.1 km。 16. 设热气球高 h，A 到垂足的距离为 x，则 h/x=√3，h/(x+20)=√3/3。由 x=h/√3 代入得 h√3=h/√3+20，即 2h/√3=20，解得 h=10√3（m），约为 17.3 m。 ## 六、方法小结 应用题的第一关是画图：把视线、铅直线和水平线这三条线画清楚，仰角标在观测点上方，俯角标在下方，方位角从正北方向开始旋转；图上标清楚了，算式往往就能直接写出来。第二关是确定各边之间的关系：题目中的长度是斜边、对边还是邻边，这决定了该用正弦、余弦还是正切；求高度用正弦（已知坡面长）或正切（已知水平距离），求水平距离则反过来。第三关是处理两条观测线：同侧两次观测时，把两段水平距离相减，差值就是走近的距离，从而得到关于 h 的方程；两侧观测同一目标时，两个 45° 常常意味着垂足在中点。最后要验算并写清单位：用勾股定理或特殊值回代检验，近似值按要求取舍，长度单位写在结果后面。 --- 配分核对：21+15+24=60 分；题号 1—16 与答案 1—16 对应；全文不含“如图”“按图”等指代插图的表述，可直接复制打印。1.6 利用三角函数测高也在同一章，需要的话我接着做。 北师大版（新教材）数学九年级下册 1.3 三角函数的应用 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/11/10 第一章 直角三角形的边角关系 我命由我不由天，是魔是仙，我自己说了算。少年不必畏惧难题与非议，沉下心勤学笃行，不认命、不服输，用汗水改写前路，活出属于自己的光彩。 同学们，认真学习，不只是为了分数。认真听讲、踏实思考，能帮我们把知识学扎实，慢慢拥有分辨是非、独立思考的能力。现在的每一分专注，都会化作以后选择的底气，让我们有机会去奔赴喜欢的方向。静下心来，珍惜课堂时间，认真投入，收获更好的自己。 1.能够把实际问题转化为数学问题，能进行有关三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明。 2.会画示意图分析实际问题中的数量关系，积累三角函数解决实际问题的经验。 学习目标 2 问题 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10 n mile内有暗礁。一艘货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，向东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎么想的? 这船继续向东航行是否安全，取决于小岛A到航线BC的距离是否大于 10 n mile。 若这个距离大于10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险。 情境导入 过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，BD = ADtan 55°， 在Rt△ACD中，CD = ADtan 25°。 ∵BD − CD = BC = 20 n mile， 即ADtan 55° − ADtan 25° = 20 ， ∴AD ≈ 20.79 n mile>10 n mile， ∴货轮没有触礁的危险。 D 探究新知 实际问题中的常见术语： 方位角：指北或指南的方向线与目标线所成的小于90°的角 。 如右图所示，目标方向线OA，OB，OC的方位角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°。 其中南偏东45°习惯上又叫作东南方向，北偏西45°习惯上又叫作西北方向。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 思考 如图，小明想测量塔CD的高度。他在A处测得塔顶的仰角为30°，再朝塔的方向前进50 m至B处，测得塔顶的仰角为60°。如果不考虑测倾器的高度，请你帮他计算一下这座塔的高度(结果精确到1m)。 在Rt△BCD中， BC = 。 在Rt△ACD中， AC = 。 ∵AC − BC = AB， ∴ − = 50， ∴CD ≈ 43 m。 ∴这座塔的高度约为43 m。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 30° 60° 50m 探究新知 实际问题中的常见术语： 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 思考 如图，某博物馆准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知原有楼梯的长度为4 m，调整后的楼梯应加长多少?楼梯多占多长一段地面(结果精确到0.01m)? 知识点1 利用三角函数解决实际问题 A B D C ┌ 4m 35° 40° 探究新知 如图所示，AD为原楼梯长，且AD = 4 m，AB为改建后的楼梯长。 已知∠ADC = 40°，∠ABC = 35°， 在Rt△ADC中，AC = AD·sin40°≈ 2.571 m。 DC = AD·cos40°≈ 3.064 m。 在Rt△ABC中，AB = ≈ 4.482 m。 BC = ≈ 3.672 m。 ∴调整后的楼梯应加长AB − AD ≈ 4.482 − 4 ≈ 0.48(m)， 楼梯多占的一段地面的长度为BD = BC − DC ≈ 3.672 − 3.064 ≈ 0.61(m)。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 实际问题中的常见术语： 坡度：斜坡起止点的高度差与水平距离的比值。 坡度是坡角的正切。用i表示： i = tanα = 。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 湖中有两个小岛， 分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上。为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示。已知C，D间的距离为660 m，求A，B间的距离(精确到0.1 m)。 参考数据：sin56°≈ 0.83，cos56°≈ 0.56， sin53°≈ 0.80，cos53°≈ 0.60， sin37°≈ 0.60，cos37°≈ 0.80。 例1 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 解：由题意可得∠CAD = 90°，∠BAD = 90° − 37° = 53°， ∠BDA = 90° − 53° = 37°， ∴∠ABD = 180° − 37° − 53° = 90°。 在Rt△CAD中，∠ACD = 56°， ∴AD = CD·sin∠ACD = CD·sin56°≈ 660×0.83 = 547.8(m)。 在Rt△ABD中，∠BDA = 37°， ∴AB = AD·sin∠BDA = AD·sin37°≈ 547.8×0.60≈328.7(m)， ∴A，B间的距离约为328.7 m。 知识点1 利用三角函数解决实际问题 探究新知 利用三角函数解决实际问题的一般步骤 知识点1 利用三角函数解决实际问题 一审题：弄清题中的名词、术语（仰角、俯角、坡度、坡角、方位角等）的意义，根据题意画出示意图，建立数学模型； 二转化：将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； 三计算：构造和利用直角三角形，选择合适的三角函数进行计算； 四作答：按照题目要求的精确度确定答案（注意单位），并得到实际问题的答案。 探究新知 B 举一反三 14 举一反三 返回 举一反三 举一反三 17 举一反三 18 返回 举一反三 举一反三 20 【解】如图，由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°， ∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM. ∴∠BCM＝∠CBE＝60°， ∠ACM＝∠CAF＝30°. ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°. 举一反三 21 【解】∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由(1)得∠ACB＝30°.∴∠ABC＝∠ACB＝30°. 又∵AB＝800 m，∴AB＝AC＝800 m. 举一反三 返回 举一反三 举一反三 24 1500 举一反三 25 与坡度、坡角有关的实际问题； 与俯角、仰角有关的实际问题； 与方位角有关的实际问题； 其他有关的实际问题。 三角函数 的应用 问题类型 一般步骤 审题，画示意图； 将实际问题转化为解直角三角形问题； 根据条件构造直角三角形，选择合适的三角函数进行计算； 作答，得到实际问题的解。 课堂小结 谢谢观看 THANKS 1. 如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是(　　) A. 20海里 B. (20－20)海里 C. 20海里 D. (20－20)海里 【点拨】 如图，过点B作BH⊥AP，交AP的延长线于H，则∠AHB＝90°， 由题意可知，∠BAH＝90°－60°＝30°，AB＝40海里 ，∴BH＝AB＝20海里， ∠ABH＝90°－30°＝60°. 【点拨】 ∵∠ABP＝90°－75°＝15°，∴∠PBH＝60°－15°＝45°，∴∠HPB＝45°，∴PH＝BH＝20海里．∵cos∠BAH＝＝＝，∴AH＝20海里，∴AP＝AH－PH＝(20－20)海里． (20－20) 2. 如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B的仰角为60°，C的仰角为45°，点P到建筑物的距离PD＝20 m，则BC＝____________m. (结果保留根号) 20(－1) 3. 某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地. 如图所示，BC∥AD，斜坡AB＝40 m，坡角∠BAD＝60°，为防止夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC前进到E处，则BE至少 是__________m(结果保留根号). 【点拨】 作BG⊥AD于点G，作EF⊥AD于点F.在Rt△ABG中，∠BAD＝60°，AB＝40 m，∴BG＝AB·sin 60°＝20 m，AG＝AB·cos 60°＝20 m．在Rt△AEF中，∠EAF＝45°，∴易得AF＝EF＝BG＝20 m．∴BE＝FG＝AF－AG＝20(－1)m.∴BE至少是20(－1) m. 4. [2025长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上. 为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30° 方向上，景点B位于景点D的南偏西45° 方向上. 已知AB＝800 m. (1)求∠ACB的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离. (结果保留根号) 在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，cos∠ACM＝， ∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝800×＝400(m)， CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝800×＝400(m)． ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200(m)． ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1 200 m. ∴DC＝DM－CM＝(1 200－400) m. ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200－400)m. (3＋3) 5. 如图是实验室的单摆在左右摆动过程中选取的两个瞬时状态，从C处测得E，F两点的俯角α，β分别为60°和30°，这时点F相对于点E升高了3 cm，则该摆绳CD＝________cm. 6. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的小区M在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2 000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向. 当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到小区M铺设的管道最短时，AN的长为________米. $