精品解析：湖南省怀化市2026-2027学年九年级上学期数学期中考试卷

2026年下期九年级期中质量监测 数 学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ） A. 对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 2. 如图，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 45 D. 5. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在矩形中，E、F分别是上的点，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 8. 如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为和．若此观测点离地面的高度为30米，A，B两点在的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（　　）米． A.                                    B.                                    C. 45                          D. 9. （2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. _________． 12. 若，则的值是______． 13. 已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 14. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为______． 15. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是______.（参考数据：，） 16. 如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，与关于原点位似，点，，的对应点分别为点，，，其中点的坐标是． （1）与的相似比是__________． （2）请在图中画出，并求出的面积为__________． 18. 计算：． 19. 已知如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2． （1）求AE：DC的值． （2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． （3）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． （1）求点M的坐标． （2）求的值． 21. 如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 22. 如图是一种平板支架的示意图，放置在水平桌面上，底座的高为，为，连杆长为，，且连杆、与始终在同一平面内．（参考数据：，，） （1）如图，求点到水平桌面的距离； （2）如图，若只转动连杆到水平位置时，恰有，求连杆的长． 23. 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． （1）如图3，，，若，则______，______； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 24. 在平行四边形中，，，点、分别为、的两点． （1）如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，求证：； （3）如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期九年级期中质量监测 数 学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0．5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这两张图片之间的关系是（ ） A. 对称 B. 平移 C. 旋转 D. 位似 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、对称、平移和旋转，掌握它们的概念是解题的关键． 根据位似变换、对称、平移和旋转的概念判断即可． 【详解】解：图片可以看作图片A按一定的比例放大得到的， 所以这两张图片之间的关系是位似， 故选：D． 2. 如图，在中，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在中，若，，， ∴． 3. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，一条直线上的三个点都在五线谱的线上，若的长为3，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】解：五条平行横线的距离都相等， ， 的长为3， ， 故选：C． 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 45 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦三角函数的定义：是解题的关键． 5. 河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键． 根据坡度的定义列式计算即可． 【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为， ， ， 故选：D． 6. 黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割比的定义，用线段总长乘以可求出线段的长度． 【详解】解：点恰好是线段的黄金分割点，且， ， ， ． 7. 如图，在矩形中，E、F分别是上的点，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，先根据矩形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，选项C正确； 与、与、与都是只有一对相等的直角，所以都不是相似三角形， 故选：C． 8. 如图，从位于六和塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为和．若此观测点离地面的高度为30米，A，B两点在的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，则A，B之间的距离为（　　）米． A.                                    B.                                    C. 45                          D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得， ∵， ∵， ∴米， 在中, 米， 米 9. （2015黔西南州）在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m=时，n的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：设平移后的等边三角形为△PDE，DE交y轴于F． ∵AB=3，△PDE是等边三角形， ∴PD=PE=DE=1， ∵△PDE关于y轴对称， ∴PF⊥DE，DF=EF，DE∥x轴， ∴PF=， ∴△PFM∽△PON， ∵m=， ∴FM=-， ∴，即， 解得：ON=4-2． 故选A． 10. 如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴ ∴ ∴ ∴直线l与x轴夹角为， ∵为x轴上一点，且，，轴 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 同理， … ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 12. 若，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 先根据比例的性质得出，故，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 则， ， 故答案为：3． 13. 已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 【答案】 直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 14. 两个相似三角形的对应边上中线之比为，它们的周长之和为，那么较大的三角形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的中线比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上中线之比为， ∴两个三角形的相似比为：， ∴两个三角形的周长比为：； ∴设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 则：， 解得：， ∴较大的三角形的周长为； 故答案为：． 15. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是______.（参考数据：，） 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可． 【详解】如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴， 故答案为：30． 16. 如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过_____ 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，与关于原点位似，点，，的对应点分别为点，，，其中点的坐标是． （1）与的相似比是__________． （2）请在图中画出，并求出的面积为__________． 【答案】（1） （2）即为所求， 【解析】 【分析】（1）位似图形中，对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （2）先求出点、的坐标，再描点、连线即可，最后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标是，与关于原点位似， ∴横坐标比为，纵坐标比为，即与的相似比是； 【小问2详解】 解：∵与的相似比是，，， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即， 图略， 由图可得，， ∴的面积为． 18. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 19. 已知如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2． （1）求AE：DC的值． （2）△AEF与△CDF相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． （3）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF． 【答案】（1）；（2）相似，相似比为；（3）S△CDF=54cm2 【解析】 【分析】（1）已知AE：EB=1：2从而可得到AE：AB的值，根据平行四边形的性质可得到AB=CD，从而得到了AE：DC的值； （2）根据平行四边形的性质可得到∠DCF=∠EAF，∠FDC=∠EFA，从而推出△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可求得相似比． （3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方从而不难求得S△CDF 【详解】（1）∵平行四边形ABCD， ∴DC=AB ∵ ∴ ∴ ∴． （2）相似． ∵平行四边形ABCD ∴DC∥AB ∴∠DCF=∠EAF，∠FDC=∠EFA ∴△AEF∽△CDF ∴相似比为：． （3）∵△AEF∽△CDF ∴ ∵S△AEF=6cm2 ∴S△CDF=54cm2 【点睛】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 20. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． （1）求点M的坐标． （2）求的值． 【答案】（1）的坐标是 （2）的值为 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义． (1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标； (2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， 由，， ， ， 故点的坐标是； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． 21. 如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】要想求出地上阴影部分的面积，只需求出底面圆的直径，首先画出该立体图形主视图，不难发现线段即为底面圆的直径，根据题目已知数据可以得到，，．由“”字型相似容易得到，通过相似三角形对应线段成比例可以求出，最后代入圆的面积公式即可求出阴影部分面积． 【详解】解：如图，依题意知，，，， 由得，即， 故． 22. 如图是一种平板支架的示意图，放置在水平桌面上，底座的高为，为，连杆长为，，且连杆、与始终在同一平面内．（参考数据：，，） （1）如图，求点到水平桌面的距离； （2）如图，若只转动连杆到水平位置时，恰有，求连杆的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作交于点G，作交于点H，可知四边形是矩形，进而可得，解求出，则； （2）延长交于点M， 解求出，进而求出，再证四边形是平行四边形，可得． 【小问1详解】 解：如图，作交于点G，作交于点H， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 即点C到水平桌面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点M， ， ， 在中，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 即连杆的长是． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 23. 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． （1）如图3，，，若，则______，______； （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可； （2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：， 故答案为：， 【小问2详解】 解：取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形． 24. 在平行四边形中，，，点、分别为、的两点． （1）如图1，若，且，连接、，判断和的数量关系及位置关系，并说明理由； （2）如图2，，，求证：； （3）如图3，若，点关于的对称点为点，点为平行四边形对角线的中点，连接交于点，求的长． 【答案】（1） ，； 理由如下： 四边形为平行四边形，， ． ，，， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ，即． （2） 证明：如图2，在上取点，使，连接，则为等边三角形， ， ． 四边形为平行四边形，， ， ． ，， ， ， ， ，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合、、、的长度，即可证出，利用全等三角形的性质可得出、，再通过角的计算即可找出，即； （2）在上取点，使，连接，则为等边三角形，根据平行四边形的性质结合角的计算可找出、，进而可证出，根据相似三角形的性质可得出，等量替换后可得出； （3）连接、、，设交于点，利用面积法及勾股定理可求出的长度，易知为中位线，根据中位线的性质可得出的长度及，进而可得出，利用相似三角形的性质可得出，结合的长度即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接、、，设交于点，如图3所示，则为线段的垂直平分线． ， 平行四边形为矩形， ，，， ． 点为的中点，点为的中点， ，且， ， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形的面积以及勾股定理，解题的关键是灵活运用一线三等角模型，构造全等三角形与相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $