福建省泉州第一中学2026-2027学年高三上学期适应性综合训练二（11月）数学试题

泉州一中2027届高三毕业班适应性综合训练二(2026.11) 一、单选题：本题共8小题，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目的要求. 1.下列向量中，可以和a=4,1)组成平面向量基底的是() A.(0,0) B.1,0) C.(-1,-1) D.(2,2) 2.已知a为锐角，且tana=2,则sina+cosa=() A.35 B.5 5 5 D. 3.已知e,,e2是不共线的两个向量，a=e-2e2,b=3e+ke2,若al/b,则k的值为() A.6 B.-6 C.3 D.-3 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,并且A=60°，a=25,b=2,则B=() A.30°或150° B.60° C.30° D.60°或120° 5.若函数f(x)=tan 'ax+(o>0)的最小正周期为分，则曲线v=f()的对称中心可以是（） 6 A B. c. D. 6.已知△ABC的三个内角A,B,C满足sinC=sin2A+sin(A-B),则△ABC的形状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7.已知函数f(x)=sinx+(x+a)(x+1),若3x∈(-2,0)，f(-x)=-f(x),则a的值可以是() A.-5 B.-3 C.3 D.5 8.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边在第三象限.则() A.sina-cosa≤tana B.sina-cosa≥tana C.sin a.cos a<tana D.sin a.cosa>tan a 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列关于平面向量的说法正确的是() A.零向量没有方向 B.平行向量一定是共线向量 C.两个单位向量的和一定不是单位向量 试卷第1页（共4页） D.若a,b是不共线向量，则向量a,b都是非零向量 10.己知函数f(x)=sin2x-2sinx,则() A.∫(x)的最小正周期为2 B.曲线？-f关于直线=号对称 C.f(x)在区间[-2π，2π]上有4个零点 D.f(x)在区间 π2r 33 内单调递减 l1.如图，函数y=e-e+1与y=h(x+e-1)互为反函数，由二者的部分图象可得一条封闭曲线r,则 () A.T有对称轴 B.T的弦长的最大值为2√2 C.y=e-e+1与y=hn(x+e-1)第三象限的交点横坐标在区间(-2,1)内 D.直线x+y=t被r截得弦长的最大值为V√2(e-2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量a,b,若园=1,1b卡2,1a+b=3,则1a-五= 13.函数y=si血(@x+p0>0,4<的图象如图所示，则f()在区间元，]上的零点之和为一 11元 14.在平面直角坐标系x0y中，将曲线∫y)=ana>0)绕坐标原点0逆时针旋转3后，所得曲线是某 4 个函数的图象，则实数α的取值范围是 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知C-b_sm(M-B） c sinc (1)求A: (2)若∠BAC的角平分线与BC交于点D,AD=2,AC=2√3，求a+c, 16已如运颈)=m日)-2，与通数y)关于原点对将 (1)求函数y=f(x)的解析式 (2)已知y=f(),x∈[1，]，求y=[f(x)]+f(2)的最大值及y取最大值时x的值. 17.已知函数f(x)=(x+a)e, (1)当a=1时，求函数∫(x)的极值： (2)若函数∫(x)有两条过坐标原点的切线，求实数a的取值范围. 试卷第3页（共4页） 18.如图，四边形ABCD中，AB=4,AD=2,△BCD是等边三角形. B )当∠BAD=2时，求四，边形ABCD的面积： 3 (2)若E,G分别是边AB,BD的中点，连接CE,EG,CG,设∠BAD=a. ①试用a表示CG: ②求CE长的最大值. 19.己知函数f(x)=xcOSx+ksinx-x2+l(k∈R),8(x)=(x-D)cosx+1+sinx)lh(L-x). (1)当k=0时，求f(,)在区间[5，可上的最大值： (2)当x∈0，孕时，f)<L,求k的取值范围： (6)当k=1时，是否存在e(0孕，。e(号0，使得心)=8)=0，若存在，试比较+与元的大小 关系；若不存在，请说明理由. 试卷第4页（共4页） 《泉州一中2027届高三毕业班适应性综合训练二(2026.11)》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 夕 A B Q 0 D B c BD AD 题号 11 答案 ACD 1.B 【详解】A选项：因为零向量(0,0)和任意向量共线，即零向量(0,0)与=1，)共线，它们不能组成基 底，故A不正确： B选项：因为1×0-1×1=-1≠0，所以向量1,0)与a=1,1)不共线，它们可以组成基底，故B正确： C选项：因为(-1，-)=-a,所以，向量(1，-1)与a=Q,1)共线，它们不能组成基底，故C不正确： D选项：因为2,2)=2a,所以，向量(2,2)与a=1,1)共线，它们不能组成基底，故D不正确. 2.A sina=2V5 5 【分析】由同角三角函数的关系，求得 再代入计算即可. cos a= 【详解】己知a为锐角，且tanc=2, ∴.sina>0,cosa>0, 2W5 sin a sin a tan a= =2 cosa,解得 5 (负值已舍去)， sin2 a+cos2a=1 5 5 .∴.sina+cosa= 35 故选：A. 3.B 【详解】：a与b共线，则存在唯一实数，使得ā=b, .e-2e2=3e+ke2)=3e+ke, 32=1 1 元= 由于e,e,是两个不共线的向量，. k=-2'得 3 k=-6 4.C 【详解】因为在△ABC中，A=60°，a=2V3,b=2, 由正弦定理，得simB= 2 -.sin A=- sin60° a 2W5 2,且0°<B<180°， 答案第1页（共11页） 所以B=30°或B=150°. 当B=30°时，A+B=90°<180°，符合题意； 当B=150°时，A+B=210°>180°，不符合题意，舍去： 因此B=30° 5.D 【分析】由∫(x)最小正周期可得0=2，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因)最小正周期为经，则日2，结合@>0，可得0=2 兀兀 则f(x)=tan2x+ 6 其对私由、必标满足2x+石=2一2十五，k∈2 1241 所以对称中心可为： π，π ,0,kEZ (124 7 选项A:令《-)=江，得k=Z,不符合： 6 选项B:令如x.7元 41212,得k=Z,不符合 3 选项c:令红8日得=c2,不箱合 2 3 选项D:令k红-π- 4126 ,得k=1∈Z,符合要求. 6.D 【分析】根据两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，结合二倍角的正弦公式、正弦定理进行运算判 断即可 【详解】sinC=sin2A+sim(A-B)→sinπ-（A+B)]=sin2A+sin Acos B-cos Asin B sin(A+B)=sin 2A+sin Acos B-cos Asin B sin Acos B+cos Asin B=sin 2A+sin Acos B-cos Asin B →2 cos Asin B=sin2A→2 cos Asin B=2 sin AcosA→cosA(sinB-simA)=0, →cosA=0,或sinB-sinA=0, 当csA=0时，因为A∈(0，网，所以A=行，因此该三角形是直角三角形： 当sinB-sinA=0时，可得sinB=sinA, 由正弦定理可得：品A。·所以由血8=6血A,可得a=,因此该三角形是度三角形 综上所述：该三角形是等腰或直角三角形 故选D 答案第2页（共11页） 7.B 【分析】根据f(-x)=-f(x)得到a=-x,然后根据x的范围求a的范围即可. 【详解】由题意得，sin(-x)+(-x+a(-x+1)=-sinx-(x+ad)(x+1), 整理得a=-x2, 因为x∈(-2,0)，则-x2∈(-4,0)，a∈(-4,0) 故选：B. 8.C 【分析】对A、B:举出反例即可得：对C、D:借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得 【详解】由题意可得sin a<0、cosa<0,tana>0, 对A:当sina→0时，cosa→-1，则sina-cosa→1，tana→0， 此时sina-cosa>tana,故A错误； 对B:当au-5亚时，ina-cosa=$in5死-cos5亚-0<tan5亚-1，故B错误： 4 4 4 4 对C、D:sina.cosa=cos2u.sinc=co92a.tana,由-1<cosa<0, cos a 故cos2au∈(0,1)，则cos2u.tana<tana,即sina&.cosa<tana, 故C正确，D错误 故选：C 9.BD 【分析】应用向量的定义判断A,应用平行向量的定义判断B,D,应用特殊向量的加法及单位向量判断 C. 【详解】由向量的定义可知A错误： 由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B正确： 当两个单位向量的夹角为120°时，这两个单位向量的和还是单位向量，C错误： 因为零向量与任何向量平行，所以当ā，b是不共线向量时，向量ā，b都是非零向量，D正确 10.AD 【分析】A选项，y=sin2x和y=sinx的最小正周期，得到∫(x)的最小正周期；B选项， f(π-x)≠f(x),B错误；C选项，变形得到f(x)=2sinx(cosx-1),令f(x)=0得sinx=0或 cosx=1,从而得到f(x)在区间[-2π，2π]上有5个零点，C错误；D选项，求导，得到 )=ox}0在（任9）上恒成立，DE编 答案第3页（共11页） 【详解】A选项，y=sin2x的最小正周期为兀，y=sinx的最小正周期为2π， 两者的最小公倍数为2π，故f(x)的最小正周期为2π，A正确： B选项，f(π-x)=sin(2π-2x)-2sin(-x)=-sin2x-2sinx≠f(x), 故曲线y=x)不关于直线x=匹对称，B错误； C选项，f(x)=sin2x-2sinx=2 sinx cosx-2sinx=2sinx(cosx-1), 令f(x)=0得2sinx(cosx-1)=0,故sinx=0或cosx=1, 因为x∈[-2元，2，所以sinx=0的解为31=-2，x3=-π，x3=0,x4=兀，x=2元， c0sx=1的解为x1=-2兀，x3=0,x,=2兀， 综上，f(x)在区间[-2m,2元]上有5个零点，C错误： D准项网=2o2x-2=4or-22c=4cox-} 当e到时，ox(5》4eo是小 即了)4〔ox?0,所以)在区间（昏智）内单调运减，D正确 故选：AD 11.ACD 【分析】对于A:分析可知y=e-e+1的反函数为y=ln(x+e-1),结合反函数的对称性即可判断：对于 BC:可知函数y=e-e+l与y=n(x+e-1)的交点在直线y=x上，可得e-x-e+1=0,令 h(x)=e-x-e+1,利用导数分析零点，进而分析判断；对于D:找出过P与曲线相切且与AB平行的点 即可判断 【详解】对于选项A:因为y=e-e+l,即e=y+e-l,可得x=h(y+e-1), 可知y=e-e+1的反函数为y=n(x+e-1), 所以封闭曲线T关于y=x对称，故A正确： 对于选项BC:因为函数y=e-e+l与y=ln(x+e-1)的交点在直线y=x上， v=e*-e+1 联立方程 ,可得ex-x-e+1=0, V=x 答案第4页（共11页） 令h(x)=e-x-e+1,则i(x)=e"-1, 当x>0时，h(x)>0;当x<0时，h(x)<0; 可知(x)在(-m,0)上单调递减：在(0，+∞)上单调递增， 且4(-2)>0，M-)-=。+2-e<0h0=0, 则h(x)在(-2,1)有一个零点∈(2，-1)，另一个零点为1， 可知y=e-e+1与y=h(x+e-1)第三象限的交点横坐标在区间(-2，-1)内，故C正确： 设A(1,1),B(,%),所以AB=√2(1-x)>2W2,且故B错误 x+y=t与曲线T对称轴AB垂直， 如图，只需考察曲线y=e-e+l上P到y=x距离最大值即可， 找出过P与曲线相切且与AB平行的点B即可， 令f(x)=e-e+1,令f'(x)=ex=1,解得x=0, 此时B(Q,2-e)到y=x的距离d=e-2 所以直线x+y=t被T截得弦长最大值为√2(e-2),故D正确. 12.√万 【详解】分析：首先利用向量的模的平方和向量的平方是相等的，将ā+=√3两边平方，借助于题中所 给的向量的模，求得2ā.五=-2，之后再借助于向量的模的平方等于向量的平方，得到 a-=Va-b列=+2+4=√万，从而求得结果 详解：根据园=1，=2，a+=V5,可以求得(a+b2=d+2a.6+2=1+4+2a万=3，从而求得 2ab=-2,所以a-=√(a-b=+2+4=√万，故答案是√万. 点睛：该题考查的是有关向量的模的问题，在求解的过程中，需要明确向量的模的平方等于向量的平方 答案第5页（共11页） 求得结果，对应的解题思想就是见模就平方，需要明确向量数量积的运算法则， 13. 2π 3 【分析】先求出周期，确定ω，再由点（匹，）确定p,得函数解析式，然后可求出[元，列上的所有零点。 【样解1由g87=手告百=，0经-2，又m2君+0-1且子9君 π π f()=sin(2x+). 由si(2x+=0得2x+一=kπ，x三212，keZ, 6 在x利内有：臣后吾晋它们的和为号 3 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程f(x)=0得出零点，就 可确定在己知范围内的零点.本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[-兀，含有两个周期，而区 间端点不是函数零点，因此f)在[元，刀上有4个零点，它们关于直线x=严对称，由此可得4个零点的 6 和. 14.(0,2e3] 【分析】先根据题意得到直线y=-x+b(b∈R)与y=f(x)的图象至多只有一个交点，从而转化为方程 b=血x+x至多一解，构造函数g(x)=x+xa>0,结合趋势分析可得g()为单调增函数，从而转化 为8'(x)≥0恒成立，进而利用导数即可求其范围. 【详解】由题意可知，直线y=-x+b(b∈R)与y=f(x)的图象至多只有一个交点， 即对任意的∈R,方程x+b至多一解。即b=+x至多一解， 令g)=al血r+xa>0,则g(y)=b至多有一解，且gx)=at-ln+1, 由a>0,则x→0+时，8(x)→-0，x→+0时，8(x)→+∞， 因为8(x)=b至多有一解，则8(x)为单调增函数，故g(x)≥0恒成立， 仰≥nx1对任意的x>0恒成立 a 令h(x)=lnr-l x2，其中x>0,则(x)=3-2m x3 由)>0，得0<x<:由y)<0,得x>e, 答案第6页（共11页） 所以上1 a22e'解得0<as2e3. 综上所述，实数a的取值范围是(0,2e]· 15.04=号 (2)a+c=3+√5 【分析】(1)利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； (2)利用等面积法以及余弦定理即可求解 【详解】(1)依题意，由正弦定理可得sinC-sinB_sin(A-B sinc sinC 所以sinC-sinB=sin(A-B), 2分 又sinC=sin兀-(A+B)=sin(A+B),…3分 所以sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2 cosAsinB,…4分 因为B∈(0，，所以sinB≠0，所以cos1=2 1 …5分 又A∈(0，)，所以A= 3 6分 (2)解法一：如图，由题意得，S6D+S。c=S。Ac,…8分 D 所以2 eDsin).ADsin 1 62 6=2 b.csm3,即b=2c,…10分 又b=AC=2W3,所以c=√3， 所以d-b+c2-2bcos=9,即a=3, 12分 3 所以a+c=3+V3.… 13分 解法二：如图，△4CD中，因为AD=2,AC=2√5，∠CAD= 6 由余弦定理得，CD2=2+(2√3}2-2×2x25c0=4,…8分 6 所以CD=AD=2,所以C=∠CAD= 6, …9分 所以B=π-A-C= 2· …l0分 答案第7页（共11页） 所以a=bc0s=3,c=bsin=5,12分 6 6 所以a+C=3+√3.…l3分 16.(1)f(x)=2+log3x(x>0): (2)x=3时，y取得最大值13 【分析】(1)在y=f()任取一点(，h),则(-，-)在函数8()=log 2上，代入化简后即得 函数y=f(x)的解析式： (2)由题可得y=[f(x)订+f(x2)=(1ogx+3)}-3,结合题意可得0≤1ogx≤1，利用二次函数的性质即 可求得函数最大值. 【详解】(1)由题可得函数y=f(x)与函数8(c)=1og 2关于原点对称， 则在y=f(x)任取一点()，则(，-)在函数(x)=1og 2上， …3分 则得%=l0g妇十2，…5分 故f(x)=log3x+2(x>0). 。。。。 6分 (2)y=[f(x)+f(x2)=(2+l0gax)+(2+l0gx2)=logx+6logx+6=(logx+3)-3 …9分 函数f(x)的定义域为[1,9]，要使函数y=[f(x)门+f(x2)有意义， [1≤x≤9 需使 1≤2≤9解得1≤x≤3，即0≤1ogx≤1，…12分 所以6≤y=(1ogx+3)2-3≤13，… …14分 当log2x=1,即x=3时，y=13 故当x=3时，函数y=[f(x)]+f(x2)取得最大值13.…15分 1 17.(1)极小值为-。，无极大值 (2)(-0,-4)U(0,+0) 【分析】(1)当a=1时，利用导数分析函数f(x)的单调性，可求出函数∫(x)的极值： (2)设切点为(，∫()，利用导数的几何意义写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，可得出关于 的二次方程，根据题意得出△>0，由此可解得实数a的取值范围. 答案第8页（共11页） 【详解】(1)当a=1时，f(x)=(x+1)e的定义域为R,则f'(x)=(x+2)e,…2分 由f(x)>0可得x>-2,由f'(x)<0可得x<-2,…4分 所以函数f(x)的单调递增区间为(-2，+∞)，单调递减区间为（仁w,-2),…5分 所以函数∫（国）的极小值为f2)=-,无极大值.…6分 (2)因为f(x)=(x+d)e,则f(x)=(x+a+1)e*,… …8分 设切点为(，f()》,则f()=(+a)e,切线斜率k=(+1+a)e,…9分 切线方程为：y-(+e=(+1+aeo(x-x),… …10分 因为切线过原点，则-(x+adeo=(x+1+a)e(-),整理得：x+-a=0,…12分 因为满足条件的切线有两条，所以△=a2+4a>0,…14分 解得a<-4或a>0,所以，a的取值范围是(-0，-4)U(0,+∞）.…15分 18.(1)9√5 (2)①CG=15-12c0su;②2+2W5 【分析】(1)首先利用余弦定理求出BD,然后把四边形面积转化为△ABD和△BCD的面积之和，利用三 角形面积公式即可求解： (2)①首先利用余弦定理求出BD,然后在△BCD中利用三角函数表示CG; 4sina ②首先根据正弦定理和余弦定理结合平面几何知识可得cos∠CGE=- 然后根据余弦定理表示出 BD C2,最后利用辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解 【详解】(1)在△ABD中，由余弦定理： BD2=AB2+AD2-2AB.ADcos.∠BAD=42+2-2×4×2×coS 2元 =28, 3 得BD=2√7，… 2分 四边形面积SAECD=S。ABD十SBCD,· …3分 8m-4840m2F-42*5-2i, 32 2 △BcD是等边三角形，Sn=5: 2×28=7√5， 因此SABCD=23+75=9V5. …5分 (2)①在△ABD中，由余弦定理：BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0sa=20-16coSa, …7分 答案第9页（共11页） 因为G是BD中点，△BCD为等边三角形，故C0是BD边上的高，CG=5BD,8分 因此：CG2=3BD2=3（20-16c0s=15-12c0su,10分 41 ②E是AB中点，G是BD中点，故EG是△ABD的中位线，EG=二AD=1,且EG/IAD, …11分 AB BD 在△ABD中，由正弦定理 →sin∠ADB=AB-sima_4sina BD …12分 sin∠ADB sin a BD cos∠CGE=cos 4sin a +∠BGE =-sin∠BGE=-sin∠ADB= …13分 BD 在△CEG中，由余弦定理得： CE-CG+EG-2CG.EGCOSCGE-15-12c+1-2BD- 4sina =16-12cosa+4v3sina, BD …14分 因为-12cosa445sma-85sma-5到）月 ae(0,m,故a-e 兀2元 33’3 .…15分 所以-12cosu+4W5sina的最大值为8√5， …16分 代入得CE品x=16+8V3,故CE=2+2W5 17分 19.①-元+1 4 (2)(-0,-1] (3)存在，x1+x2>π 【分析】(1)把k=0代入，利用导数确定单调性求出最大值. (2)等价变形不等式并构造函数，利用导数并按k≤-1，k>-1分段确定单调性，进而求出范围 (3)把k=1代入，由(2)的信息确定f(x)的零点，再利用换元法确定函数8(x)的零点范围即可比较大 小 【详解】(1)当k=0时，函数f(x)=XCOSx-x2+1,求导得f"(x)=cosx-xsinx-2x, …1分 当x∈（兮网时，f()<0,函数f()在区间[5，上单调递减， …2分 所以)在区间民网上的最大值为f孕=一工+1.一 。。。。。。。。。。。。。。 …3分 (2)不等式f(x)<1一xCOSx+sinx-x2<0,令p(x)=xcOSx+sinr-x2, 求导得p(x)=cosx-xsinx+kcosx--2x,令函数F(x)=p'(x), 求导得F'(x)=-2sinx-xcOSx--sinx-2,…4分 答案第10页（共11页） ①当k≤-1时，p(x)=XCOSX+sinr-x2≤XCOSX-sinx-x2=T(x), T)=-xsix-2x<0,函数T)在区间O,孕上单调递减， 因此Tx)<T(O)=0,即(x)<0恒成立，符合题意； …6分 ②当k>-1时，-ksix-2<0,则F'(x)<0,函数(x)在区间(0，上单调递减， 又90=140,9-0，因光在在啡一的=0孕.使得%)=0 当x∈(0，)时，p(x)>0,(x)单调递增，则p()>p(0)=0,不符合题意，…8分 所以k的取值范围为(-叨，].……9分 (3)存在且x1+x2>兀，理由如下， 一方面：由(2)知f(x)=px)+1,求导得f'(x)=(x), 当k=1时，函数fx)在区间(0,6)上单调递增，f)在区间(6，上单调递减， 又f0=1>0,f)>0,f<0,因此存在唯一的5e(6孕，使得)=0：11分 另一方面：当x∈G网时，令1=元-x∈(0受， g(x)=Gt)=fcost+A+sit)nt,…l2分 令h0)=cod+hnm,teo,2.则G0=a+s0. 1+sint 求导得H0=t(cost-)+1+simt ，显然ht)= f(t) i(1+sint) t(1+sint) 因此存在唯一的6=x∈(0，，使得h,)=, f(to) =0 …14分 (1+sint) 当1e0,6)时，h0>0,0单调递增：当1c,孕时，0<0，h0单调递减。 又Ih=-0,h(5>0,则，)>0， 于是存在唯一的=兀-x3∈(0，)，使得h(任)=G(t2)=8(x2)=0,…16分 此时3=兀-x2<=x1,所以书+x2>兀.… …17分 答案第11页（共11页）