专题6.2.2 线段的比较与运算（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

专题6.2.2 线段的比较与运算 教学目标 1. 知识与技能：掌握线段长短比较的两种方法（度量法、叠合法）；理解线段的和、差的意义，会用式子表示线段和差；理解线段中点、等分点的定义，掌握中点的数量关系，能进行简单线段计算。 2. 过程与方法：经历叠合、画图、观察、推理的过程，发展几何直观、简单的几何推理能力，学会用几何语言表达数量关系。 3. 情感态度：规范几何书写，体会数形结合思想，养成严谨的几何解题习惯。 教学重难点 1.重点 线段中点的定义及数量关系；线段的和、差运算；线段长短的比较方法。 2.难点 （1）叠合法比较线段的规范理解（端点重合、同侧）； （2）在图形中准确识别线段的和差关系； （3）利用中点性质进行线段的推理计算（分类讨论题型）。 知识点01 线段的比较 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点重合，另一个端点朝同一侧，另一个端点离重合端点越远线段越长。 【即学即练】 小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（     ） A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短 C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：如图，最短路径是③的理由是：两点之间线段最短． 知识点02 线段的和与差 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练】 已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当点C在线段上时，， 当点C在线段的延长线上时，． 知识点03 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成相等的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成相等的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成相等的四部分的点； 以此类推。 【即学即练】 已知线段，直线上有一点C，且，点D是线段的中点，则线段的长（     ）． A．3 B．6 C．3或7 D．3或6 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论. 当点C在线段上时， ∵，点D是的中点， ∴. ∵， ∴． 当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴． 综上，线段DC的长为或． 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 【变式1】生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 【变式2】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 【变式3】数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 【答案】A 【详解】解：只有选项A直接将数学领域的几何知识应用于解决生活中的土地面积计算问题，B选项造纸技术，C选项文学创作，D选项文化传播，均不涉及数学知识的直接应用． 【变式4】彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 题型02 线段长度的计算 【典例1】如图，线段，M是线段的中点． (1)求线段、线段的长度； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2)20 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵M是线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）得 ∴． 1. 看图标已知：把题目给的长度，直接标注在图上线段旁边 2. 判断点的位置 点在线段上：用减法 点在线段延长线上：用加法 题目没有给图：必须分类讨论 3.锁定中点：看到 “中点” 立刻写出=的等量关系 4.列式计算；几何简答尽量带上简单推理，不要直接写得数 5.检验：结果符合图形长短逻辑 【变式1】如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】C 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 故选C． 【变式2】如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 【变式3】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【答案】(1)如图， (2) 【详解】（1）略 （2）解：如图， ，， ， ， ， D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点， ， ， ， ． 【变式4】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 题型03 与线段相关的动点问题 【典例1】如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由题意可知， ∵点在线段上运动， ∴， ∴点到，，三点的距离之和为， 当点与点重合时，取得最小值，此时距离之和最小，即， 当点运动到点时，取得最大值，此时距离之和最大，即，． 本质：把运动的点，用时间 t 表示出线段长度，再转化成普通线段和差、中点计算题 核心思想：以静制动，t 秒后定格瞬间，画出静态图，套用线段和差、中点公式 【变式1】已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 【变式2】如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2)解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 【变式3】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 【变式4】如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 【答案】或或或 【详解】解：设经过秒时，线段的长为． 已知，，点的速度为，点的速度为，则，． 以点为原点，为单位长度，向右为正方向，则点的位置为． ①当点、均向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ②当点向左运动，点向右运动时，点的位置为，点的位置为， ∵， ∴，解得，(舍去)；； ③当点向右运动，点向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，，解得； 当时，(舍去)； ④当点、均向左运动时，点的位置为，点的位置为， ∵，且， ∴， 当时，解得； 当时，(舍去)； 综上，满足条件的的值为或或或． 故答案为：或或或． 题型04 最短路径问题 【典例1】操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1) 如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． (2) 如图，即为所求最短路线． 或 或或 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1) 下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： (2) (3) 它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 【详解】（1）略 （2）； 故答案为：； （3）略 【变式2】七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 【答案】 如图，小明的位置用点B表示用，点即为所求作的位置． 【详解】 略 1．如图，点A，B，C在直线上，以下说法正确的个数是（     ） ①图中共有3条线段； ②射线与射线是同一条射线； ③点C在线段的延长线上； ④线段表示点A与点C之间的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：图中有，，共3条线段，故说法①正确； 射线与射线是同一条射线，故说法②正确； 点C在线段的延长线上，不是的延长线，故说法③错误； 线段的长度表示点A与点C之间的距离，故说法④错误； 综上可知，说法正确的个数是2个． 2．如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵M是的中点，N是的中点，，， ∴， ∴． 3．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是线段的一个三等分点，， ∴． 4．已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①∵，，在同一直线上，且， ∴点C在线段上，且为线段的中点，符合条件； ②当点C在的延长线上时，可满足，但点C不在线段上，不是线段的中点，不符合条件； ③∵， ∴，且， 即点C在线段上， ∴点C是线段的中点，符合条件； ④当点C为线段上任意一点时，都满足，无法确定，不符合条件； 综上，符合条件的有2个． 5．如图，，，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， ∵点，，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的长为． 6．线段，点在线段上，且，则___________． 【答案】 【详解】，， ， ， ． 7．每年的秋分日是“中国农民丰收节”．晓彬用3D打印机制作了一个如图①所示的圆柱形粮仓模型，现要在此模型的侧面从点绕到点贴一圈彩色装饰带，装饰带的最短长度如图②所示，其中蕴含的数学道理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由于两点之间线段最短， ∴装饰带的最短长度如图②所示， 即其中蕴含的数学原理是两点之间线段最短． 8．如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 【答案】(1)如图点即为所求 (2) 【详解】（1）略 （2） 因为， 所以， 所以， 又因为线段的中点为M， 所以， 所以． 9．如图，点C在线段上，点M，N分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为 ； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为． 10．如图，点在线段上，点在线段外，完成以下问题： (1)尺规作图：作直线，作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不写结论）； (2)根据（1）所画图形，图中共有线段________条． 【答案】(1)如图，直线，射线，以及线段即为所求作； (2)8 【详解】（1）略 （2）解：线段上的线段：、、，共3条；直线上新增的线段：、、，共3条；连接点C形成的线段：，共1条；还有线段，一条．将所有线段相加：条． 1．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 3．银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆柱的侧面展开图是长方形，点C是展开的长方形的边的中点， ∵侧面镶嵌最短金属箍， ∴展开后A与C的金属箍应是两条线段． 故选：A． 4．如图，在四边形中，点E在线段上，连接．已知，，的周长为17，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知，的周长为17， 所以，， 又因为，且， 所以，， 所以，， 所以，， 故选项A正确； 没有合适的条件使选项B，C，D成立． 5．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 6．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 7．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 【答案】 【详解】解：设，，的长度分别为，，， 点是的中点，点是的中点， ，， , , , ，解得, ． 8．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 【答案】(1)线段的长为3 (2)的长为23或31 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． ∵点为线段的中点， ∴， ∴． （2）由（1）得， 点在线段上，且，分两种情况： 情况一：当F在点E左侧时，； 情况二：当F在点E右侧时，； 综上，的长为23或31． 9．【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：，两点间的距离________．线段的中点表示的数为________． 用含的代数式表示：秒后，________．________． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1)，，， (2)， (3)或 【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为， ∴，两点间的距离． 线段的中点表示的数，利用中点公式． 点从点出发，以每秒个单位长度向右匀速运动，运动时间为秒， ∴． 点从点出发，以每秒个单位长度向左匀速运动，运动时间为秒， ∴． （2）解：表示出秒后和在数轴上对应的坐标， 点从点出发，所以点表示的数为， 点从点出发，所以点表示的数为， 当、两点相遇时，即它们在数轴上的位置相同，即坐标相等， ， ， ， ∴点表示的数为． （3）解：由（1）可知，，即， ∴， 由（2）可知点表示的数为，点表示的数为， ， ∴， 当时，， 解得． 当时，， 解得． ∵， ∴或，均符合题意． 10．如图 ，数轴上点 A 表示的数是，点 B 表示的数是． 点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动；点 R 从原点出发，以每秒 3 个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为 t 秒． (1)用含 t 的式子表示点 P，Q，R 所表示的数； (2)当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时，求 t 的值； (3)是否存在某一时刻，使点 R 恰好是线段的中点？若存在，求出 t 的值及此时点 R 表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)P：，Q：，R： (2)或 (3)存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是 6 【详解】（1）解：根据题意得，点P运动的路程为个单位长度，点Q运动的路程为个单位长度，点R运动的路程为个单位长度， 根据出发点与运动方向可得：P 表示，Q 表示，R 表示； （2）解：当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时， 根据题意，得， 整理，得， 故或， 解得或； （3）解：根据题意，得P 表示，Q 表示，R 表示． 点 R 恰好是线段 的中点, 或 解得或； 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，此时点P，点Q重合，线段不存在，舍去． 当时，P 表示，Q 表示，R 表示，符合要求， 故存在某一时刻，使点 R 恰好是线段 PQ 的中点，此时，点R 表示的数是6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2.2 线段的比较与运算 教学目标 1. 知识与技能：掌握线段长短比较的两种方法（度量法、叠合法）；理解线段的和、差的意义，会用式子表示线段和差；理解线段中点、等分点的定义，掌握中点的数量关系，能进行简单线段计算。 2. 过程与方法：经历叠合、画图、观察、推理的过程，发展几何直观、简单的几何推理能力，学会用几何语言表达数量关系。 3. 情感态度：规范几何书写，体会数形结合思想，养成严谨的几何解题习惯。 教学重难点 1.重点 线段中点的定义及数量关系；线段的和、差运算；线段长短的比较方法。 2.难点 （1）叠合法比较线段的规范理解（端点重合、同侧）； （2）在图形中准确识别线段的和差关系； （3）利用中点性质进行线段的推理计算（分类讨论题型）。 知识点01 线段的比较 线段的长度比较方法： ①度量法：即用直尺度量比较。 ②叠合法：即将两条线段的其中一个端点 ，另一个端点朝 ，另一个端点离重合端点越远线段越 。 【即学即练】 小蕊认为从A地到B地，第③条路径最短，理由是（     ） A．直线比曲线短 B．两点之间线段最短 C．两点之间直线最短 D．两点确定一条直线 知识点02 线段的和与差 名称 定义 图示 线段的和 在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作 AC=a+b 线段的差 在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作 BC=a－b 【即学即练】 已知线段，在直线上画线段，使，则线段的长度为（   ） A．或 B． C． D． 知识点03 线段的中点 1. 线段的中点的定义： 线段上把线段分成 的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。 即：如图，若点P是线段AB的中点， 则或 2. 线段的其他等分点： 三等分点：线段上把线段分成 的三部分的点； 四等分点：线段上把线段分成 的四部分的点； 以此类推。 【即学即练】 已知线段，直线上有一点C，且，点D是线段的中点，则线段的长（     ）． A．3 B．6 C．3或7 D．3或6 题型01 判断生活现象的数学原理 【典例1】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【变式1】生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【变式2】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【变式3】数学在生活中有着广泛应用．下列最能直接体现数学应用的是（     ） A．我国自古代起就开始使用数学中的几何知识计算土地面积 B．宋朝的人们已经掌握了先进的造纸技术 C．先秦时期的人们通过观察生活现象写下优美的诗篇 D．如今我们可以通过书籍传播文化知识 【变式4】彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 题型02 线段长度的计算 【典例1】如图，线段，M是线段的中点． (1)求线段、线段的长度； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 1. 看图标已知：把题目给的长度，直接标注在图上线段旁边 2. 判断点的位置 点在线段上：用减法 点在线段延长线上：用加法 题目没有给图：必须分类讨论 3.锁定中点：看到 “中点” 立刻写出=的等量关系 4.列式计算；几何简答尽量带上简单推理，不要直接写得数 5.检验：结果符合图形长短逻辑 【变式1】如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【变式2】如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【变式3】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【变式4】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 题型03 与线段相关的动点问题 【典例1】如图，数轴上两点之间的距离为1个单位长度，两点之间的距离为3个单位长度．现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动，到达点C停止．若运动过程中，点P到三点的距离之和的最大值为x，最小值为y，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 本质：把运动的点，用时间 t 表示出线段长度，再转化成普通线段和差、中点计算题 核心思想：以静制动，t 秒后定格瞬间，画出静态图，套用线段和差、中点公式 【变式1】已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【变式2】如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【变式3】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式4】如图，点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点、点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点，同时出发沿某一方向在直线上运动，则经过______时，线段的长为． 题型04 最短路径问题 【典例1】操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 故答案为：两点之间线段最短． 或或 【变式1】如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【变式2】七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A? 1．如图，点A，B，C在直线上，以下说法正确的个数是（     ） ①图中共有3条线段； ②射线与射线是同一条射线； ③点C在线段的延长线上； ④线段表示点A与点C之间的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，点A、B、C在同一直线上，B在A、C之间，M是的中点，N是的中点，，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 3．如图，点是线段的一个三等分点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，是同一直线上的三个点，则下列条件中，能判断点是线段的中点的有（   ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，，，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是______． 6．线段，点在线段上，且，则___________． 7．每年的秋分日是“中国农民丰收节”．晓彬用3D打印机制作了一个如图①所示的圆柱形粮仓模型，现要在此模型的侧面从点绕到点贴一圈彩色装饰带，装饰带的最短长度如图②所示，其中蕴含的数学道理是________． 8．如图，已知线段． (1)尺规作图：延长线段到．使得，延长线段到．使得（不写作法，保留作图痕迹） (2)如果，设线段的中点为，求的长． 9．如图，点C在线段上，点M，N分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 10．如图，点在线段上，点在线段外，完成以下问题： (1)尺规作图：作直线，作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不写结论）； (2)根据（1）所画图形，图中共有线段________条． 1．如图，，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 3．银川葡萄酒储存使用圆柱形酒桶，侧面镶嵌最短金属箍，沿母线剪开侧面，展开图正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，点E在线段上，连接．已知，，的周长为17，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 6．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 7．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 8．如图，已知点，，都是线段上的点，线段，，点为线段的中点． (1)若，求线段的长； (2)在（1）的条件下，点在线段上，且，求的长． 9．【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：，两点间的距离________．线段的中点表示的数为________． 用含的代数式表示：秒后，________．________． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 10．如图 ，数轴上点 A 表示的数是，点 B 表示的数是． 点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向右运动；点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度向左运动；点 R 从原点出发，以每秒 3 个单位长度的速度向右运动．三点同时出发，设运动时间为 t 秒． (1)用含 t 的式子表示点 P，Q，R 所表示的数； (2)当点 P，Q 之间的距离为 15 个单位长度时，求 t 的值； (3)是否存在某一时刻，使点 R 恰好是线段的中点？若存在，求出 t 的值及此时点 R 表示的数；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 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