答题模板08 5类函数选填压轴题（对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线）有关的核心题型与解题技巧（方法+题型+实战 专项训练）（全国通用）2027年高考数学二轮复习讲练测

答题模板08 5类函数选填压轴题 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线） （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 利用对称性解决函数选填压轴题的应用及解题技巧 方法二 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 方法三 整数解的应用及解题技巧 方法四 零点的应用及解题技巧 方法五 切线与公切线的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】利用对称性解决函数选填压轴题 【题型02】解不等式（含分段函数） 【题型03】整数解的应用 【题型04】零点的应用 【题型05】切线与公切线的应用 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.函数选填压轴题是高考数学区分学生思维能力的重要载体，常涉及函数性质、图象分析、零点及参数问题，具有较强的综合性。 2.函数对称性与函数不等式是常见考查方向，常结合抽象函数、分段函数及函数图象，考查性质转化与数形结合能力。 3.整数解与零点问题常与参数范围、函数单调性及图象交点结合，重点考查分类讨论、数形结合及临界条件分析。 4.切线与公切线问题常与导数、函数图象及方程思想结合，注重切点设定、斜率关系及函数交点的综合分析。 考向结构图 一级版块 二级考向 函数对称性问题 函数轴对称与中心对称；抽象函数对称性；利用对称性求函数值；对称性与奇偶性、周期性结合；多个对称条件的综合转化 函数不等式问题 利用单调性解函数不等式；利用图象解不等式；抽象函数不等式；分段函数不等式；含参数函数不等式；多个函数交叉比较与不等式求解 整数解问题 函数不等式的整数解；含参数不等式的整数解；利用函数图象确定整数解个数；整数解存在性与范围问题；整数解个数的最值与参数求解 函数零点问题 零点个数与存在性；零点与方程根的关系；零点与图象交点；含参数函数零点问题；零点个数与单调性、极值的综合应用 切线与公切线问题 曲线上一点处的切线；过定点的切线；切点未知的切线问题；两曲线公切线；公切线的斜率与切点关系；切线条数与参数问题 重点结论 1. 函数对称性综合结论 （1）关于直线 对称： （2）关于点 中心对称： （3）两个对称轴推出周期，若函数关于直线 和 对称，则：是函数的一个周期。 （4）两个对称中心推出周期，若函数关于点 和 中心对称，且 ，则： 是函数的一个周期。 若两个中心的纵坐标不同，则连续进行两次中心对称得到的是函数图象的平移关系，而不一定是周期。 （5）轴对称与中心对称综合 若函数关于直线 对称，又关于点 中心对称，则函数还关于直线：对称。 由此可以进一步推出周期： （6）函数对称性的特殊转化 若：则： 若：则： 核心提醒：对称性问题一定要分清对称轴和对称中心，不能将函数值相等与函数值之和为常数混淆。 2. 函数不等式与分段函数解题结论 （1）同构转化，对于：，可以构造： 将原不等式转化为： （2）同一函数比较，若：，则需要根据 的单调性，确定自变量 与 的大小关系。 （3）分段函数不等式 若：，求解 时，必须分别在：，两个区间内求解，最后取对应解集的并集。 （4）复合分段函数 若出现：，不仅要考虑外层函数的分段条件，还必须先求出：，对应的自变量范围。 （5）绝对值不等式 当 时：，而：，等价于： （6）同向不等式的传递 若：，则：，对于具有严格单调性的函数，可以将函数值不等式转化为自变量不等式。 3. 整数解问题的核心结论 （1）整数解计数 若不等式的解集为：，则整数解的个数为： 若解集为：，则整数解的个数为： （2）整数解的本质 整数解问题可以分为两个阶段：第一阶段：先求实数范围。第二阶段：再筛选整数。不要一开始就逐个尝试整数。 （3）整数解个数与区间长度 若闭区间长度为： 则整数解个数与区间长度密切相关，但不能直接将区间长度当作整数解个数，必须考虑端点是否为整数。 （4）整数参数与整数自变量 若题目同时涉及整数参数 与整数自变量 ，应先根据参数条件确定实数解集，再结合整数条件进行分类。 4. 函数零点问题的核心结论 （1）零点定义 若：，则称 为函数 的零点。 （2）零点存在性 若函数 在闭区间 上连续，且：，则至少存在一个零点： （3）零点唯一性 若函数在区间内严格单调，则方程：，至多有一个零点。 （4）零点个数与导数 求：，将定义域划分为若干单调区间，再结合各区间端点函数值的正负判断零点个数。 （5）零点与函数图象 函数值变号，通常意味着图象穿过 轴； 函数值不变号，可能与 轴相切； 若 且 ，则 为重根的可能位置，但还需进一步判断。 （6）零点与参数 对于：，可以将参数问题转化为函数图象与横轴的位置关系，重点考查相切、相交及零点个数变化。 5. 切线与公切线的核心结论 （1）曲线在 处的切线方程，设：，则： （2）切线斜率： （3）切线方程的斜截式： （4）切线经过定点 ，满足： （5）切线过原点，满足： （6）水平切线，满足： （7）两条曲线存在公切线 设：，分别在 、 处相切，若公切线为： 则必须满足： 以及：，即：公切线的斜率相同，截距也相同。 解题方法 方法一 利用对称性解决函数选填压轴题的应用及解题技巧 函数的对称性是函数图象的重要特征，包括轴对称和中心对称。在高考中，对称性常与函数解析式、函数值计算、零点等问题结合。解题时，可利用对称性简化计算，或通过已知对称性反求参数。核心在于掌握对称性的代数表达形式，并能灵活进行“图象变换”与“解析式变换”之间的转换。 第一步：识别对称类型 根据条件判断对称性： 轴对称：若，则的对称轴为。 中心对称：，则的对称中心为。 反函数对称：函数与其反函数关于直线y=x 对称。 第二步：利用对称性简化问题 求值：利用对称点的函数值关系简化计算。 求零点：若零点唯一且函数有对称性，则零点必在对称轴或对称中心上。 求解析式：通过对称变换反解原函数解析式。 第三步：特殊技巧——反解变换 当图象关于直线 y=−x、y=x 等对称时，通过坐标代换反解解析式。例如：关于y=−x 对称，则将(x,y) 换为(−y,−x) 代入。 第四步：列方程求参数 利用对称性条件建立方程，求解参数。注意检验 例题1-1 （全国·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 反解的解析式，可得，即， 因为，所以，解得解得，故选C 例题1-2 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，函数是函数的反函数，求出，进而可得答案． 【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以函数是函数的反函数， 由得，∴，把互换得：，即， 因为，所以． 故选：B． 例题1-3 设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将两个方程分别变形，利用函数互为反函数，图像对称以及垂直条件进行求解。 【详解】方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标； 方程等价于，因此是函数与直线交点的横坐标. 函数与函数互为反函数，图像关于对称， 同时直线与直线互相垂直， 因此两个交点、关于直线对称， 则，即. 方法二 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 解函数不等式（特别是含抽象函数或分段函数）时，核心是利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质去掉对应法则，转化为普通不等式。对于分段函数，需结合分段讨论。特值法可快速排除错误选项，是选择题的利器。 第一步：分析函数性质 判断函数的奇偶性、单调性、周期性等。单调性是脱去 f 的关键。 第二步：转化为具体不等式 利用性质将f(g(x))>f(h(x)) 转化为g(x)>h(x) 或 g(x)<h(x)（注意单调性决定不等号方向）。若为偶函数，注意利用 ( f(x)=f()) 第三步：分段函数分段处理 对于分段函数，需根据自变量范围选择对应解析式，并注意分段点处的连续性。 第四步：特殊技巧——特值法 对于选择题，选取特殊值（如0、1、端点值等）代入验证，快速排除错误选项。所选值应能区分不同选项。 第五步：综合求解 结合函数性质、分段讨论结果，解不等式组，得到最终解集。 例题2-1 （全国·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【特值法】 当时，不成立，排除D，当时，则判断是否成立， 计算，，不成立，故排除B、C, 【答案】A 例题2-2 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数的图象关于点对称， 由，得， 即，又函数在上单调递减， 所以，即，解得或， 即. 例题2-3 设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、指数函数和对勾函数的性质可得函数在上单调递增，且有，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】当时， 单调递增，所以； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以当时，单调递增，且， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 例题2-4 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，画出图形，结合，分和进行讨论，解得的范围，从而即可得实数的取值范围． 【详解】解：作出函数的图象如图， 因为，若，由在上单调递增，且， 则，解得； 若，则，解得； 综上，，解得或. 所以实数的取值范围是． 故选：A. 方法三 整数解的应用及解题技巧 整数解问题通常指含参数的不等式（方程）有特定整数解的情况。解题关键在于“分离参数”后，利用函数的单调性分析整数点处的函数值关系，找到临界条件。常用“猜根法”确定整数解的可能取值，再通过边界条件求参数范围。注意区间端点开闭的取舍。 第一步：分离参数 将参数 k 分离到不等式的一边，另一边为关于x 的函数g(x)。问题转化为比较 k 与 g(x) 在整数点处的大小关系。 第二步：分析函数性质 分析g(x) 的单调性、极值等，画出大致图象，确定在整数点处的函数值变化趋势。 第三步：确定整数解的可能值 根据不等式成立的条件（如恰有一个整数解），结合图象，猜出整数解的可能值（如2、3等）。 第四步：建立临界条件 以猜得的整数解为中心，考虑其相邻整数。通常，不等式在目标整数处成立，在相邻整数处不成立，由此得到关于k 的不等式组。注意等号是否可取（开闭区间）。 第五步：解不等式组求范围 解出 k 的范围，并验证边界是否满足题意 例题3-1 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【猜根法，寻找临界条件】 由题知整数解不可能为1， 若整数解为2，则整数解3不可取，代入有， ，根据整数解问题区间为一开一闭，则选D. 例题3-2 设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题化为在上有且只有两个正整数解，利用导数研究的性质，结合的性质得，即可求参数范围. 【详解】由题设在上有且只有两个正整数解， 所以，在上有且只有两个正整数解， 令且，则， 当，，则递减；当，，则递增； 故极小值， 又恒过，只需， 故实数的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：问题化为在上有且只有两个正整数解为关键. 例题3-3 已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围. 【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时，即递增，值域为； 时，即递减，值域为； 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则， 所以，即. 故选：C 【点睛】关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围. 例题3-4 已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对不等式进行变形，构造函数，通过分析函数的单调性，结合不等式有且仅有3个整数解可得实数的取值范围. 【详解】由已知有意义，所以， 将不等式化简，，即，整理得， 若时，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递减，当，， 此时不等式有无穷多个整数解 ，不符合题意； 当，则，且，令， 所以，令，则， 所以，所以在单调递增，所以，即， 所以在单调递增， 因为，，，， 且不等式有且仅有3个整数解， 结合单调性可知这三个整数解为1,2,3，所以， 所以实数的取值范围为. 例题3-5 已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数的符号变化研究其单调性、极值，对分类讨论，分别利用一元二次不等式的解法，结合函数图象和不等式的整数解个数进行判定求解. 【详解】由得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，有最大值，且， 又当时，，且， 当时，，． 其图象如图所示： ①当，由，得， 即，则，此时不等式的整数解有无数多个，不合题意； ②当时，由得或． 当时，，有无数个整数解； 当时，其解集为(0,1)的子集，不含有整数解； 故不合题意； ③当时，由得或， 当时，其解集为(0,1)，不含有整数解； 当时，若不等式有且仅有四个整数解， 又，，，， 且， 因为在递增，在递减， 所以四个整数解只能为2、3、4、5， 所以， 即 所以实数的取值范围为． 故选：B. 方法四 零点的应用及解题技巧 函数零点问题主要涉及零点个数、零点范围、唯一零点等。解题方法主要有： 1. 图象法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题。 2. 性质分析法：利用函数单调性、极值、对称性等确定零点。 3. 特殊值法：对于唯一零点问题，可通过观察或对称性猜出零点，再代入验证求解参数。 第一步：问题转化 方程f(x)=0 的根 ⇔ 函数y=f(x) 图象与 x 轴交点 ⇔ 两个函数y=f(x) 与y=g(x) 图象交点。 第二步：分析函数性质 分析函数的定义域、单调性、极值、奇偶性、周期性、对称性等。 第三步：画图或计算 图象法：画出函数草图，观察交点个数。 计算法：利用零点存在定理，找到函数值异号的区间。 第四步：特殊技巧 对称性求唯一零点：若函数有对称性且零点唯一，则零点必在对称轴或对称中心上。 分离参数后画图：将参数分离，转化为两个函数图象交点问题。 第五步：综合结论 根据分析，确定零点个数、范围或参数值。注意检验 例题4-1 全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 通过观察发现关于对称，也关于对称， 则唯一零点为1，解得解得.故选：C. 例题4-2 已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过配方换元确定函数的对称轴；结合函数“仅有一个零点”的条件，利用对称性推出零点只能在对称轴上，代入求出参数，再借助基本不等式验证零点唯一性. 【详解】， 设，则，所以，. 因为，所以为偶函数，即为偶函数， 因此的图象关于直线对称. 由函数图象的对称性可知：若在处存在零点，则也一定是函数的零点， 此时函数至少有2个零点，与“有唯一零点”矛盾. 因此，函数唯一零点只能在对称轴处，即. 将代入函数：，解得． 验证：当 时，，由基本不等式，当且仅当时等号成立， ，仅时等号成立，此时仅有唯一零点，符合题意. 综上， . 例题4-3 已知函数有唯一零点，则负实数 A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】函数有唯一零点， 设 则函数有唯一零点， 则 设∴ 为偶函数， ∵函数 有唯一零点， ∴与有唯一的交点， ∴此交点的横坐标为0， 解得 或（舍去）， 故选A． 例题4-4 若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化成两图象的交点问题，利用导数分析单调性数形结合求解. 【详解】由题意可得在上有唯一解，即， 令，则，则， 令，则， 则， 当时，的，开口向上，恒大于零， 所以为递增函数，为递减函数， 因为，所以在上无解； 当时，必须成立，若，会出现图象的情况， 即在上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且）， 所以图象只能为，只需交点横坐标小于1即可，所以令可得， 又，所以的范围为. 故选：B 例题4-5 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围. 【详解】函数在上有两个不同零点， 等价于方程在有两个不同实根， 设，问题转化为求与的交点个数， 对求导，化简得： ， 因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以 在处取最小值： ， ​ 且：时，；时，， 则要使与有两个交点，需满足，即. 方法五 切线与公切线的应用及解题技巧 切线问题主要涉及求切线方程、判断切线个数、求参数范围等。公切线问题是两条曲线的切线是同一条直线，需要建立方程组求解。解题核心是：设切点，利用导数几何意义（切线的斜率等于切点处的导数值）和切点在切线上也满足曲线方程，建立方程（组）。数形结合可直观判断切线个数。 第一步：求导 对曲线函数求导，得到斜率表达式。 第二步：设切点 设切点坐标为，则切线斜率k=f′()。 第三步：写切线方程 利用点斜式写出切线方程：。 第四步：利用条件建立方程 • 过曲线外一点：将点坐标代入切线方程。 • 公切线：设两条曲线的切点分别为  和 ，利用斜率相等和切点都在切线上建立方程组。 • 切线个数问题：转化为方程根的个数问题，可利用导数研究或数形结合。 第五步：特殊技巧——数形结合 对于过一点作曲线的切线条数问题，可通过画出曲线和点的位置，直观判断。 第六步：求解方程 解方程（组）得到切点坐标或参数值。注意整体代换或巧妙变形 例题5-1 函数与函数公切线的斜率为_______． 【答案】1或 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】设公切线与函数的图象切点为，与函数的图象切点为， 求导得，因此公切线斜率为，即，， 显然，于是，整理得， 则，即，解得或， 所以所求公切线的斜率为或. 例题5-2 若直线是曲线与曲线的公切线，则________，________． 【答案】 【分析】首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线方程为，即. 令，解得，所以，解得． 例题5-3 已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【答案】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜率，再构造函数，求函数的最大值即可. 【详解】设公切线与的切点为，与的切点为. 因为，. 所以公切线方程为， 也可以写成. 由， 所以（）. 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即公切线的斜率. 例题5-4 已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设切点坐标，求导确定切线方程，代入，得到，由方程根的个数，转换成在上单调，进而可求解. 【详解】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 例题5-5 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义求出过原点的切线方程即可. 【详解】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 题型01利用对称性解决函数选填压轴题 1．已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用关于直线对称的两点横坐标之和为，把曲线上的点对称到曲线上，建立恒等关系；再比较两函数的值域确定，最后利用指数函数的性质求 【详解】依题意，曲线上任一点关于直线的对称点在曲线上， 即对任意实数，都有 曲线的值域为，关于直线对称后曲线的值域也应为 又非常函数，则，因的值域为，则的值域为，即 因此易得对任意实数恒成立. 比较的系数及常数项，得， 所以 2．已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由函数与的图象关于直线对称，并且也关于直线对称，得到两条直线的交点坐标为，进而得到答案. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 且直线也关于直线对称，且两条直线的交点坐标为， 所以直线与曲线的两交点关于点对称， 所以，可得． 故选：A． 题型02解不等式（含分段函数） 3．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的定义域为，利用对数的运算对函数进行化简，证明函数关于直线对称，利用复合函数的单调性说明函数在上单调递增，利用函数的对称性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】函数的定义域为， ， ， 则函数关于直线对称， 当时，令，函数在上单调递增，， 对勾函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 又为增函数， 根据复合函数的单调性可得在上单调递增， 因为， 所以，即 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 4．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数变形，令换元得到是偶函数且在 [0,+∞) 单调递增，再把不等式转化为两个函数值的大小关系，利用偶函数性质及单调性求解. 【详解】，令，则， 因为对任意，，且， 所以是偶函数，且当时，单调递增， 所以，即， 由，两边平方得，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故选：A. 5．若，且的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，由，得到，求导得到单调递增，从而求得的范围，再求得当时，的范围，再结合题意得到结果即可. 【详解】当时，，由，可得， 设，则，则在递增， 所以，即 当时，， 可得当时，的解集为 当时，的解集为，不满足题意，舍去 因为关于的不等式的解集为 当时，， 满足 当时，， 不满足 综上可得:的取值范围是 故选:B. 6．已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据函数的单调性，对进行四种情况的讨论，从而解不等式，即可得答案； 【详解】函数在区间是递增函数， 当时，即，成立， 当时，，得，即. 当时，，，解得， 当时，函数在区间是递增函数，所以成立. 综上所述：， 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数图象的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性. 题型03整数解的应用 7．设函数，若有且仅有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有两个点的横坐标为整数，分析函数的单调性，数形结合，可求的取值范围. 【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有两个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的最小值为． 又，，． 直线恒过定点且斜率为， 则①，，且，解得； ②，且，解得. 故选：D 8．已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先通过不等式分析，排除的可能性，对于,将不等式分离参数，得到，分析排除的情况，然后令，利用导数分析其单调性，结合函数的正负值和零点，极值点分析，得到函数的大致图象，然后观察图象分析，将问题要求等价转化为，进而求解. 【详解】当时，即为,即,不成立； 当时不等式等价于, 由于，故不成立； 当时，不等式等价于， 若，则不等式对于任意的恒成立，满足不等式的整数有无穷多个，不符合题意； 当时，令，则， 在上，∴单调递增，在上，∴单调递减，且在(上,在上, 又∵在趋近于时，趋近于0， ∴在上的图象如图所示： ∵，∴当时，不等式等价于有两个整数解，这两个整数解必然是和0，充分必要条件是,即,∴， 故选：C 【点睛】分类讨论是解决这类问题的重要方法，利用导数研究单调性后要结合函数的零点和极值，极限值进行分析，然后利用数形结合思想找到题设要求的充分必要条件，是问题解决的关键步骤. 9．若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可． 【详解】设，即有且只有三个整数解， 则，且， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 由于， ， 由于为单调递增函数，， 要使有且只有三个整数解，这三个整数解必然是， 所以，解得. 故选：A. 题型04零点的应用 10．已知函数有唯一零点，则实数（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】通过转化可知问题等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点求的值，分，，三种情况，结合函数的单调性分析可得结论. 【详解】函数有唯一零点，等价于函数的图象与函数的图象只有一个交点， 当时，，此时有两个零点，不满足题意； 当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，由于，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意； 当时，由于在上单调递减，在上单调递增，且在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，若两函数只有一个交点，则，即. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与划归的思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题. 11．已知函数有唯一零点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】把函数等价转化为偶函数，利用偶函数性质，有唯一零点，由得解. 【详解】因为， 令 则， 因为函数有唯一零点， 所以也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得，所以，解得， 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题. 12．已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 13．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 14．若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对时，由得，再结合函数的单调性可判断对任意a函数有唯一零点；再对时，将函数的零点转化为方程的根，进而转化为与有2个交点问题，用数形结合可得. 【详解】①当时，，令，得， 因为是上单调递增函数，所以，即， 设，显然在上单调递减，且. 所以对任意的a，方程在上有且仅有一个解. ②当时，，令，得， 即，， 令，函数是一个开口向上的二次函数的一部分，要使有三个零点， 则方程就有2个非正根，即函数与有两个交点，如图：    由图可知. 综合①②可知，要使有三个零点，a的取值范围为. 故选：A. 15．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的图象和性质，再令，得当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根；再将函数有5个零点转化为函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在，再由二次函数的零点分布可得结果. 【详解】由函数， 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递减； 当时，，所以函数在上单调递增；函数图象如下： 令，由函数的图象及性质可知， 当时，方程有两个不同的根；当时，方程有三个不同的根； 函数有且仅有5个不同零点， 就等价于函数有2个零点，且一个零点在，另一个零点在. 当时，只有一个零点，不符合题意； 所以，此时二次函数，且恒成立. 当时，对称轴，，，解得； 当时，此时对称轴，二次函数在上至多有一个根，故不符合题意. 综上可知，常数a的取值范围为. 故选：C. 题型05切线与公切线的应用 16．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 17．已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 18．若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 19．已知函数，，则与的公切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】通过导数的几何意义得出与的公切线方程，通过截距相等，斜率相等求解. 【详解】，， 设公切线在上的切点为，， 则公切线为：，即， 设公切线在上的切点为， 则公切线为：，即， 由，， 由单调递增，且可得存在使得， 则， 得，化简得， 令， ， ，令，， ，所以是增函数， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又，且或时，均有，所以有2个零点， 则有2个解， 所以与的公切线条数为2. 20．直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【答案】B 【分析】令，，由题意可得，结合计算可求得的最大值. 【详解】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即， 此时，所以，所以. 1．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：. 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 2．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 所以函数是奇函数， 由， 可知在上单调递增， 所以函数为R上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于 ， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 4．设函数，若任意使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析函数的性质，再根据函数性质化简不等式，最后根据不等式恒成立求解实数的取值范围即可. 【详解】函数的定义域为，即恒成立， 的定义域为，关于原点对称， 则 ， ，的图象关于点对称， 又函数和在上均为减函数， 函数在上为减函数， 不等式可化为，即， 恒成立， 当时，不等式化为，舍去； 当，要使恒成立，则需满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 5．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得到函数的图象关于直线对称，再求得，令，求得，结合基本不等式和余弦函数的性质，求得，得到单调递增，结合，得到函数单调性，把不等式转化为，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】由函数， 可得， 即，所以函数的图象关于直线对称， 又由， 令， 则，所以单调递增， 因为，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 由，可得，所以， 整理得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A． 6．设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得，构造函数，由，可得，利用导数分析函数的单调性，画出函数图象，解不等式组即可求解. 【详解】由已知得，即， 令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得， ，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象，由图可知3是唯一的正整数解， 故，解得. 7．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，∴在上单调递增，上单调递减，∴，又∵，，不等式只有两个整数解，∴，即实数的取值范围是故选C． 【考点】本题主要考查导数的运用． 8．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式可求的取值范围. 【详解】由题设，定义域为，则可得， 令，则， 所以时,，即递增， 时，，即递减， 当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，， 而恒过，函数图象如下： 要使有且只有两个整数解， 则与必有两个交点， 若交点的横坐标为，则，， 所以，即， 所以的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. （2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题. （4）考查数形结合思想的应用． 9．已知存在唯一零点，则实数的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性可确定唯一零点，将问题转化为在时无零点问题的求解；利用放缩法，令，利用导数可求得时，由此知满足题意；当，利用零点存在定理可确定在上存在零点，由此可确定存在时，，结合时，，可确定不合题意，由此得到结论. 【详解】定义域为且， 为定义在上的奇函数，的唯一零点为， 则只需时，无零点即可得到结论； 当时，令，则， 在上单调递减，，即， ， 令，则，， ，则，， 当时，，，， 满足当时，无零点； 当时，， ，， 在上存在最小零点，使得， 又为连续函数，则当时，； ，又时，， 在上必存在零点，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，涉及到函数奇偶性、零点存在定理的应用；关键是能够根据函数奇偶性确定零点位置，进而将问题转化为函数在时无零点问题的求解；难点在于通过放缩和零点存在定理确定符合题意的区间. 10．已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出. 【详解】有零点，则， 令，则上式可化为， 因为恒成立，所以， 令，则， 故为偶函数， 因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点， 结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故. 故选：D 11．已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 12．设，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围． 【详解】令得， 令，则， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 作出与的函数图象如图所示： 设直线与的图象相切，切点为， 则，解得或， 有两个不同的零点， 与的函数图象有两个交点， 或，即． 13．已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数得，再构造函数，结合图象即可得答案． 【详解】由，，知 故， 即 即 令则上述式子即为 由于，且， 故在是单调递增函数， 故由可得 即，令， ， 由，得， 当时，， 当时，， 故，，且当时，恒成立， 由此可得出的大致图象如下： 由题意要求函数存在两个零点，等价于函数与的图象有两个交点， 由图可得：． 故选：C． 14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【详解】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C 15．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据导数的几何意义列出和，然后联立这两个式子，进行化简得到，然后求导判断单调性，即可求出最大值. 【详解】因为直线既是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得①； 因为直线又是曲线的切线， 对函数求导得，设切点为， 则，化简得②， 联立①和②得，，化简得. 令，则，代入得，即. 所以，令， 对函数求导得，令得. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取最大值为，即的最大值是. 16．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到切线方程，然后联立，由代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与曲线相切于点， 则在点处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 又点在切线上，所以，解得或， 当时，由直线与曲线相切可得方程有两个相等的实数根， 此时且，解得； 当时，由直线与曲线相切， 联立直线方程和抛物线方程并消去，得， 此时，解得． 综上所述，或. 17．若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得，令，题意等价于与有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 18．过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 19．若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 20．与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义可得直线的方程为，再根据直线与圆相切，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则， 所以直线的方程为，即， 而圆，即的圆心为，半径， 由于直线与圆相切，则，即， 设， 则， 由于方程的根为，即一个根在内，另一个根在内， 因此，令，得，解得或， 令，得或，令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则，， 又时，，时，， 根据零点存在性定理，可知函数在，，上分别有一个零点， 所以满足条件的直线有3条. 21．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 22．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案. 【详解】设直线与相切于， 则直线：， 直线与相切于， 则直线：， 因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同， 故， 则. 令，， 则在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，于是有， 即. 故选：D. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板08 5类函数选填压轴题 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切线） （方法+题型+实战） 目 录 第一部分 考情破译 深挖命题意图，锁定备考中心 第二部分 方法铸模 梳理解题路径，固化思维工具 【结论背记清单】 方法一 利用对称性解决函数选填压轴题的应用及解题技巧 方法二 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 方法三 整数解的应用及解题技巧 方法四 零点的应用及解题技巧 方法五 切线与公切线的应用及解题技巧 第三部分 题型精研 针对高频题型，集中强化训练 【题型01】利用对称性解决函数选填压轴题 【题型02】解不等式（含分段函数） 【题型03】整数解的应用 【题型04】零点的应用 【题型05】切线与公切线的应用 第四部分 实战演练 检验学习成效，打磨答题规范 命题规律与预测 1.函数选填压轴题是高考数学区分学生思维能力的重要载体，常涉及函数性质、图象分析、零点及参数问题，具有较强的综合性。 2.函数对称性与函数不等式是常见考查方向，常结合抽象函数、分段函数及函数图象，考查性质转化与数形结合能力。 3.整数解与零点问题常与参数范围、函数单调性及图象交点结合，重点考查分类讨论、数形结合及临界条件分析。 4.切线与公切线问题常与导数、函数图象及方程思想结合，注重切点设定、斜率关系及函数交点的综合分析。 考向结构图 一级版块 二级考向 函数对称性问题 函数轴对称与中心对称；抽象函数对称性；利用对称性求函数值；对称性与奇偶性、周期性结合；多个对称条件的综合转化 函数不等式问题 利用单调性解函数不等式；利用图象解不等式；抽象函数不等式；分段函数不等式；含参数函数不等式；多个函数交叉比较与不等式求解 整数解问题 函数不等式的整数解；含参数不等式的整数解；利用函数图象确定整数解个数；整数解存在性与范围问题；整数解个数的最值与参数求解 函数零点问题 零点个数与存在性；零点与方程根的关系；零点与图象交点；含参数函数零点问题；零点个数与单调性、极值的综合应用 切线与公切线问题 曲线上一点处的切线；过定点的切线；切点未知的切线问题；两曲线公切线；公切线的斜率与切点关系；切线条数与参数问题 重点结论 1. 函数对称性综合结论 （1）关于直线 对称： （2）关于点 中心对称： （3）两个对称轴推出周期，若函数关于直线 和 对称，则：是函数的一个周期。 （4）两个对称中心推出周期，若函数关于点 和 中心对称，且 ，则： 是函数的一个周期。 若两个中心的纵坐标不同，则连续进行两次中心对称得到的是函数图象的平移关系，而不一定是周期。 （5）轴对称与中心对称综合 若函数关于直线 对称，又关于点 中心对称，则函数还关于直线：对称。 由此可以进一步推出周期： （6）函数对称性的特殊转化 若：则： 若：则： 核心提醒：对称性问题一定要分清对称轴和对称中心，不能将函数值相等与函数值之和为常数混淆。 2. 函数不等式与分段函数解题结论 （1）同构转化，对于：，可以构造： 将原不等式转化为： （2）同一函数比较，若：，则需要根据 的单调性，确定自变量 与 的大小关系。 （3）分段函数不等式 若：，求解 时，必须分别在：，两个区间内求解，最后取对应解集的并集。 （4）复合分段函数 若出现：，不仅要考虑外层函数的分段条件，还必须先求出：，对应的自变量范围。 （5）绝对值不等式 当 时：，而：，等价于： （6）同向不等式的传递 若：，则：，对于具有严格单调性的函数，可以将函数值不等式转化为自变量不等式。 3. 整数解问题的核心结论 （1）整数解计数 若不等式的解集为：，则整数解的个数为： 若解集为：，则整数解的个数为： （2）整数解的本质 整数解问题可以分为两个阶段：第一阶段：先求实数范围。第二阶段：再筛选整数。不要一开始就逐个尝试整数。 （3）整数解个数与区间长度 若闭区间长度为： 则整数解个数与区间长度密切相关，但不能直接将区间长度当作整数解个数，必须考虑端点是否为整数。 （4）整数参数与整数自变量 若题目同时涉及整数参数 与整数自变量 ，应先根据参数条件确定实数解集，再结合整数条件进行分类。 4. 函数零点问题的核心结论 （1）零点定义 若：，则称 为函数 的零点。 （2）零点存在性 若函数 在闭区间 上连续，且：，则至少存在一个零点： （3）零点唯一性 若函数在区间内严格单调，则方程：，至多有一个零点。 （4）零点个数与导数 求：，将定义域划分为若干单调区间，再结合各区间端点函数值的正负判断零点个数。 （5）零点与函数图象 函数值变号，通常意味着图象穿过 轴； 函数值不变号，可能与 轴相切； 若 且 ，则 为重根的可能位置，但还需进一步判断。 （6）零点与参数 对于：，可以将参数问题转化为函数图象与横轴的位置关系，重点考查相切、相交及零点个数变化。 5. 切线与公切线的核心结论 （1）曲线在 处的切线方程，设：，则： （2）切线斜率： （3）切线方程的斜截式： （4）切线经过定点 ，满足： （5）切线过原点，满足： （6）水平切线，满足： （7）两条曲线存在公切线 设：，分别在 、 处相切，若公切线为： 则必须满足： 以及：，即：公切线的斜率相同，截距也相同。 解题方法 方法一 利用对称性解决函数选填压轴题的应用及解题技巧 函数的对称性是函数图象的重要特征，包括轴对称和中心对称。在高考中，对称性常与函数解析式、函数值计算、零点等问题结合。解题时，可利用对称性简化计算，或通过已知对称性反求参数。核心在于掌握对称性的代数表达形式，并能灵活进行“图象变换”与“解析式变换”之间的转换。 第一步：识别对称类型 根据条件判断对称性： 轴对称：若，则的对称轴为。 中心对称：，则的对称中心为。 反函数对称：函数与其反函数关于直线y=x 对称。 第二步：利用对称性简化问题 求值：利用对称点的函数值关系简化计算。 求零点：若零点唯一且函数有对称性，则零点必在对称轴或对称中心上。 求解析式：通过对称变换反解原函数解析式。 第三步：特殊技巧——反解变换 当图象关于直线 y=−x、y=x 等对称时，通过坐标代换反解解析式。例如：关于y=−x 对称，则将(x,y) 换为(−y,−x) 代入。 第四步：列方程求参数 利用对称性条件建立方程，求解参数。注意检验 例题1-1 （全国·高考真题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则 A． B． C． D． 例题1-2 若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 例题1-3 设，分别是关于的方程和的根，则（   ） A．4 B．6 C．2 D．1 方法二 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 解函数不等式（特别是含抽象函数或分段函数）时，核心是利用函数的单调性、奇偶性、周期性等性质去掉对应法则，转化为普通不等式。对于分段函数，需结合分段讨论。特值法可快速排除错误选项，是选择题的利器。 第一步：分析函数性质 判断函数的奇偶性、单调性、周期性等。单调性是脱去 f 的关键。 第二步：转化为具体不等式 利用性质将f(g(x))>f(h(x)) 转化为g(x)>h(x) 或 g(x)<h(x)（注意单调性决定不等号方向）。若为偶函数，注意利用 ( f(x)=f()) 第三步：分段函数分段处理 对于分段函数，需根据自变量范围选择对应解析式，并注意分段点处的连续性。 第四步：特殊技巧——特值法 对于选择题，选取特殊值（如0、1、端点值等）代入验证，快速排除错误选项。所选值应能区分不同选项。 第五步：综合求解 结合函数性质、分段讨论结果，解不等式组，得到最终解集。 例题2-1 （全国·高考真题）设函数,则使成立的的取值范围是 A． B． C． D． 例题2-2 已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例题2-3 设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 例题2-4 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法三 整数解的应用及解题技巧 整数解问题通常指含参数的不等式（方程）有特定整数解的情况。解题关键在于“分离参数”后，利用函数的单调性分析整数点处的函数值关系，找到临界条件。常用“猜根法”确定整数解的可能取值，再通过边界条件求参数范围。注意区间端点开闭的取舍。 第一步：分离参数 将参数 k 分离到不等式的一边，另一边为关于x 的函数g(x)。问题转化为比较 k 与 g(x) 在整数点处的大小关系。 第二步：分析函数性质 分析g(x) 的单调性、极值等，画出大致图象，确定在整数点处的函数值变化趋势。 第三步：确定整数解的可能值 根据不等式成立的条件（如恰有一个整数解），结合图象，猜出整数解的可能值（如2、3等）。 第四步：建立临界条件 以猜得的整数解为中心，考虑其相邻整数。通常，不等式在目标整数处成立，在相邻整数处不成立，由此得到关于k 的不等式组。注意等号是否可取（开闭区间）。 第五步：解不等式组求范围 解出 k 的范围，并验证边界是否满足题意 例题3-1 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3-2 设函数（）（为自然对数的底数），若关于的不等式的正整数解有且只有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3-3 已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3-4 已知关于的不等式有且仅有3个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3-5 已知函数，关于x的不等式有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 方法四 零点的应用及解题技巧 函数零点问题主要涉及零点个数、零点范围、唯一零点等。解题方法主要有： 1. 图象法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题。 2. 性质分析法：利用函数单调性、极值、对称性等确定零点。 3. 特殊值法：对于唯一零点问题，可通过观察或对称性猜出零点，再代入验证求解参数。 第一步：问题转化 方程f(x)=根 的零点 ⇔ 函数y=f(x) 图象与 x 轴交点 ⇔ 两个函数y=f(x) 与y=g(x) 图象交点。 第二步：分析函数性质 分析函数的定义域、单调性、极值、奇偶性、周期性、对称性等。 第三步：画图或计算 图象法：画出函数草图，观察交点个数。 计算法：利用零点存在定理，找到函数值异号的区间。 第四步：特殊技巧 对称性求唯一零点：若函数有对称性且零点唯一，则零点必在对称轴或对称中心上。 分离参数后画图：将参数分离，转化为两个函数图象交点问题。 第五步：综合结论 根据分析，确定零点个数、范围或参数值。注意检验 例题4-1 全国·高考真题）已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 例题4-2 已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 例题4-3 已知函数有唯一零点，则负实数 A． B． C． D．或 例题4-4 若函数（且）在上有唯一零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题4-5 已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 方法五 切线与公切线的应用及解题技巧 切线问题主要涉及求切线方程、判断切线个数、求参数范围等。公切线问题是两条曲线的切线是同一条直线，需要建立方程组求解。解题核心是：设切点，利用导数几何意义（切线的斜率等于切点处的导数值）和切点在切线上也满足曲线方程，建立方程（组）。数形结合可直观判断切线个数。 第一步：求导 对曲线函数求导，得到斜率表达式。 第二步：设切点 设切点坐标为，则切线斜率k=f′()。 第三步：写切线方程 利用点斜式写出切线方程：。 第四步：利用条件建立方程 • 过曲线外一点：将点坐标代入切线方程。 • 公切线：设两条曲线的切点分别为  和 ，利用斜率相等和切点都在切线上建立方程组。 • 切线个数问题：转化为方程根的个数问题，可利用导数研究或数形结合。 第五步：特殊技巧——数形结合 对于过一点作曲线的切线条数问题，可通过画出曲线和点的位置，直观判断。 第六步：求解方程 解方程（组）得到切点坐标或参数值。注意整体代换或巧妙变形 例题5-1 函数与函数公切线的斜率为_______． 例题5-2 若直线是曲线与曲线的公切线，则________，________． 例题5-3 已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 例题5-4 已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 例题5-5 已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 题型01利用对称性解决函数选填压轴题 1．已知函数，若曲线与曲线关于直线对称，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知方程与的实数根分别为，则（   ） A．2 B．1 C． D． 题型02解不等式（含分段函数） 3．已知函数，若成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若，且的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型03整数解的应用 7．设函数，若有且仅有两个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知不等式恰有2个整数解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04零点的应用 10．已知函数有唯一零点，则实数（    ） A． B．2 C． D． 11．已知函数有唯一零点，则（    ） A．1 B． C． D． 12．已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 13．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，若有另一函数有且仅有5个不同零点，则常数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05切线与公切线的应用 16．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 17．已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 18．若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 19．已知函数，，则与的公切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 20．直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 1．已知，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．设函数，若任意使不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个正整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数，若有且只有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知存在唯一零点，则实数的取值范围（    ）. A． B． C． D． 10．已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．已知分别是函数，的零点，则的值为________. 12．设，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知，若函数存在两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 16．若存在过点的直线与曲线和都相切，则（   ） A．或 B． C．或 D． 17．若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 19．若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 20．与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 21．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 22．若曲线与有公共的切线，则的最大值为（   ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $