专题十 立体几何（综合测试卷）-职教高考数学《复习考点大串讲》（原卷版+解析版）

专题十 立体几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4 分，共 40分） 1．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【解析】根据线面垂直的判定定理，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直. 故选：A. 2．若三个球体的体积之比为，则半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】球的体积公式为，其中为球的半径， 因此球的体积之比等于半径的三次方之比， 设三个球体的半径分别为，对应体积分别为， 由题意得， 结合体积公式可得，即. 故选：D. 3．图中几何体的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】从左边侧面看，两层物体在左右方向完全重合，能看到一个完整的大矩形； 两层物体高度不同形成的分层分界线，是两个实体的交界棱， 该棱在左视视角下无遮挡、能直接看见，因此必须画实线，不能画虚线. 故选：D 4．直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为直线，均不在平面，内，若，，则，故①正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故②正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故③正确； 因为直线，均不在平面，内，若，，则，故④正确， 所以正确的个数为， 故选：. 5．在正方体中，直线与所成的角为θ，则（   ）．    A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】    如图所示，连接， 因为， 所以直线与所成的角为直线与所成的角， 因为，所以为等边三角形， 则，， 故选：. 6．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对①：由线面垂直性质定理可知：垂直于同一平面的两条直线相互平行，故①正确； 对②：两条直线与同一平面所成角相等，直线不一定平行， 例如：圆锥的两条母线，与底面夹角相同，但两母线相交，故②错误； 对 ③ ：无数条直线都平行另一平面，不能推出面面平行， 如下图：显然平面内有无数条直线都与平面平行但与相交，故③错误； 对④：若一条直线垂直平面内任意一条直线，说明这条直线垂直平面内两条相交直线， 符合线面垂直定义，故④正确； 综上所述：真命题的个数是2. 故选：B. 7．如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】原正方形的对角线的长度等于直观图中的长度，即， 设正方形的边长为，根据勾股定理，可得， 那么正方形的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 8．设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】充分性证明：若，由，可得. 又，因此，即，故充分性成立. 必要性证明：若，已知， 此时平面与可能相交，只要平行于与的交线，即可满足， 不一定有，因此必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．已知下列三个命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 ②有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 ③所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】仅“有两个面平行，其余各面是平行四边形”不足以保证是棱柱. 例如，可以将两个底面全等但旋转一定角度的棱柱“错位叠加”，此时所有侧面仍是平行四边形，但几何体不是棱柱，故命题①不成立； 有两个侧面与底面垂直，不能推出所有侧棱都垂直于底面. 例如，在一个斜棱柱中，若其底面是平行四边形（非矩形），前后两个相对的侧面与底面垂直，但此时侧棱不垂直于底面，它不是直棱柱.故命题②不成立； 正四棱柱要求：底面是正方形.即使所有侧面都是全等的矩形，底面仍可能是非正方形的菱形. 例如，一个直四棱柱，其底面是边长为a、内角不为的菱形，侧棱垂直底面，此时四个侧面都是边长为a和侧棱长的全等矩形，但底面不是正方形，此时该四棱柱不是正四棱柱，因此命题③不成立. 综上，三个命题均不正确. 故选：A 10．过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】    如图所示，过正方形的顶点作平面，，还原成正方体， 所以平面与平面所成的二面角即为平面与平面所成的二面角， 平面平面， 在正方体中，，，所以为二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成的二面角的大小为， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分） 11．如图，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成的角等于___________．    【答案】 【解析】 平面， 为与平面所成的角， 平面，平面， ， ， ， 故答案为：． 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于____________．    【答案】 【解析】由三视图可得，几何体为圆锥，    底面半径，高，母线， 所以表面积. 故答案为：. 13．已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____. 【答案】平行 【解析】由两个平面平行关系的判定可知， 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面互相平行， 即，且 ，则， 故答案为：平行. 14．如图所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，已知该圆锥的高为2，圆柱的高为3，底面直径为6，则该蒙古包的侧面积为_________． 【答案】 【解析】已知底面直径为，则底面半径，圆柱的高， 可得圆柱的侧面积为， 已知圆锥的高，底面半径， 则圆锥的母线长， 可得圆锥的侧面积为， 所以蒙古包的侧面积为. 故答案为：. 15．已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 【答案】必要不充分 【解析】若，， 由线面垂直性质可得，必要性成立. 若，， 不能推出，充分性不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 三、解答题（本题共8小题，16题8分，17-19题每题10分，20-21题每题12分，22-23题每题14分，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 16．一个圆柱的底面直径为，高为. (1)参照圆柱的主视图，画出其左视图和俯视图； (2)求圆柱的体积； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】（1）左视图是长方形（长，高），俯视图是直径为的圆， （2）已知圆柱底面直径为，高，则底面半径， 则圆柱的体积. 17．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为在正方体中，平面， ， 所以； （2）取的中点，连接， 由题，有，则， 由题，有，则， 则就是二面角的平面角， 在中，， 则． 18．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【解析】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 19．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）证明：在中，因为分别为的中点，所以∥． 又因为平面平面，所以∥平面． （2）证明：由（1）可知∥， 又因为，所以． 因为平面平面，所以． 又因为平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 20．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：面面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）连接，交于O，连接， 在中，， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2）∵底面，平面， ， 又∵底面是正方形， ， 且，平面， 平面， ∵平面， ∴平面⊥平面. 21．如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，分别是线段的中点.求证：    (1)； (2)平面. 【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）取的中点，连接，因为是的中点，所以. 因为是中点，四边形是矩形，则， 所以，所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，不在平面内，所以平面.    22．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在，点与点重合，证明见解析 (2) 【解析】（1） 存在，当点与点重合时平面. 证明如下：连接，，分别为，的中点， ，且，可得四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面，即平面； （2）平面平面，且平面平面， 又，平面， 平面，则为三棱锥的高， 在中，，，则， 为的中点，， . 即三棱锥的体积为. 23．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【解析】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十 立体几何 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4 分，共 40分） 1．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．若三个球体的体积之比为，则半径之比为（    ） A． B． C． D． 3．图中几何体的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．直线，均不在平面，内，给出下列说法： ①若，，则；②若，，则； ③若，，则；④若，，则． 其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在正方体中，直线与所成的角为θ，则（   ）．    A． B． C． D．1 6．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，四边形是正方形的直观图，且，则四边形的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 8．设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知下列三个命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 ②有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 ③所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分） 11．如图，在三棱锥中，平面，，则直线与平面所成的角等于___________．    12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于____________．    13．已知 ，且 ，则 与 的位置关系是_____. 14．如图所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，已知该圆锥的高为2，圆柱的高为3，底面直径为6，则该蒙古包的侧面积为_________． 15．已知直线和平面，且平面，则“”是“”的___________条件 三、解答题（本题共8小题，16题8分，17-19题每题10分，20-21题每题12分，22-23题每题14分，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 16．一个圆柱的底面直径为，高为. (1)参照圆柱的主视图，画出其左视图和俯视图； (2)求圆柱的体积； 17．如图所示，在边长为2的正方体中． (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的余弦值． 18．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 19．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．    (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 20．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：面面． 21．如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，分别是线段的中点.求证：    (1)； (2)平面. 22．如图所示，在三棱柱中，平面平面，，，，分别为，的中点，且. (1)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥的体积. 23．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $