微专题三 万有引力与航天中的变轨、双星与估算问题（复习讲义）（全国通用） 2027年高考物理二轮复习讲练测

微专题三 万有引力与航天中的变轨、双星与估算问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 黄金代换与天体质量、密度的估算 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 黄金代换：把 GM 换成 gR² 知识点2 环绕法：由卫星运动反求中心天体 知识点3 估算题的“三步定式” 知识单元02 卫星变轨、能量与宇宙速度 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 变轨的“两次点火”与能量 知识点2 椭圆轨道与开普勒三定律 知识点3 宇宙速度与同步卫星 知识单元03 双星、多星与拉格朗日点 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 双星：同周期、共圆心 知识点2 多星系统：合力提供向心力 知识点3 拉格朗日点与“相对静止” 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 引力场中的“差值”与“等效” 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 引力场中的“差值”建模 知识点2 从 g 到 W、k、c 的跨模块迁移 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 黄金代换与天体 质量、密度的估算 黄金代换是万能桥梁： 把“天上的 ”换成“地面的 ”，凡给表面重力加速度而不给质量的，一律走这条路。2026 浙江卷（行星密度与表面卫星周期）把 与 联立，直接得出 为常量。 估算靠比例，不靠代入：2026 河南卷（土星环颗粒的周期）先从照片读出“环半径约为土星半径的 2 倍”，再把 整体代入，全程不出现天体质量的具体数值；2026 云南卷（由“天宫”16 次日出反求“吉林一号”周期）则用开普勒第三定律的比例式，把“日出次数”翻译成周期。 失分点：把 与 混为一谈（卫星轨道半径不等于天体半径）；求密度时把 错写成 ；比例式中漏掉立方或平方。 考向预测：①黄金代换 的三种用法；②环绕法测质量与密度；③由照片、比例尺作数量级估算。 考法预测：①先写 把 消掉；②比例式先约去 与中心天体质量；③估算题先定 再代数，只保留一位有效数字。 情境载体：北斗导航卫星、天宫空间站、土星环、小行星探测、海卫二。 知识单元02 卫星变轨、能量 与宇宙速度 变轨的实质是改变“所需向心力”：在同一点加速，所需向心力 变大而引力不变，供不应求，卫星做离心运动升到高轨；反之减速则降到低轨。2025 北京卷（嫦娥六号）把“动能如何变、加速度如何变、机械能是否相等、能否求出月球质量”四个判断压在同一条椭圆轨道上考。 能量是变轨题的主线：同一点两次点火，速度突变、机械能突变，但引力势能只由位置决定。2026 河北卷（太空碎片受径向冲量）把动量定理与圆轨道动能拼在一起，考“垂直于速度方向的冲量只负责改变速率的平方项”。 失分点：误认为“轨道越高速度越大”（实为高轨低速、大周期）；把第一宇宙速度当成“发射任何航天器的最小速度”；在椭圆轨道上套用圆轨道公式 。 考向预测：①变轨的两次点火与机械能变化；②椭圆轨道的近远地点与周期；③第一、二、三宇宙速度的辨析。 考法预测：①“加速→离心→升轨”的因果链；②开普勒第三定律求周期；③引力势能与机械能守恒联立求发射速度。 情境载体：嫦娥六号、神舟飞船、太空碎片清除、星际飞行器、同步卫星。 知识单元03 双星、多星与 拉格朗日点 双星只有三句话：同周期、共圆心、万有引力等于各自所需的向心力。由此立刻得 ——质量大的半径小。2023 福建卷（韦伯望远镜与日地 L2 点）先用双星条件求出公共角速度 ，再把 L2 点的航天器当作“第三体”单独列式。 多星看合力：2026 黑吉辽蒙卷（“羲和二号”部署 L5）用“三点构成等边三角形”给出几何，考“两引力的合力指向圆心 P 而不是连线中点”——这是最容易凭直觉答错的一问。 失分点：把双星之间的距离 当成某一颗星的轨道半径；多星系统里把合力方向想当然地取为几何中心；拉格朗日点上忘掉“与中心天体角速度相同”这一条件。 考向预测：①双星的质量比与总质量；②三星、四星的合力与向心力；③拉格朗日点与“相对静止”。 考法预测：① 与 联立；②合力必须指向公共圆心；③同角速度后用 、 比较。 情境载体：韦伯望远镜、羲和二号、地月系统、双星观测、引力波源。 跨模块融合 引力场中的“差值” 与“等效” “差值”是一种建模：2026 贵州卷（月球引潮力）把引潮力定义为“P 点海水所受月球引力减去地心处同质量物质所受月球引力”，考的不是某一个力，而是同一个力在两处的差；2026 江苏卷（地月远距离逆行轨道）则要求比较同一点上地球引力与月球引力的大小。 “等效”是一种迁移：2026 浙江卷（月球测力计）用 一条式子串起“月球质量、第一宇宙速度、弹簧劲度系数、光速不变”四个选项，把力学、引力与相对论装进同一道题。 失分点：把“重力加速度变小”等同于“弹簧劲度系数变小”；把速度叠加公式用到光速上；比较两处引力时只看距离、不看中心天体质量。 考向预测：①引力场中的“差值”与“等效”；②用测力计、单摆测重力加速度；③与光速不变、相对论的拼接。 考法预测：①两处引力直接相减；②由 反求天体质量；③辨析“劲度系数与 无关”。 情境载体：引潮力与潮汐、月球测力计、月球车、太空实验舱。 知识单元01 黄金代换与天体质量、密度的估算 知识点01 黄金代换：把 GM 换成 gR² 真·题·动·向 以“行星密度—表面卫星周期”为载体，考黄金代换的密度版本 1．（2026·浙江·高考真题）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（   ） A．　　　B． C．　　　D． 思路点拨： 获取信息：卫星“靠近行星表面运行”，即轨道半径 与行星半径 相等；给出密度 与周期 ，问四组量中哪一组与行星本身无关。 解题步骤：①表面卫星由万有引力提供向心力，，得 ；②代入密度定义 ， 恰好约去，得 ；③变形即 ，右边只含常量，故 B 正确。 方法提炼：这条式子是“黄金代换”的密度版。它的价值在于把天体的两个未知量 、 一次性消掉，只留下可观测的 与 。凡是问“对任何行星都相同的量”，答案一定是 的某种组合。 易错提醒： 只在“表面卫星”前提下成立。若卫星在离地高度 处，式中要出现 的因子，就不再是常量了。 【答案】B 【解析】 根据万有引力定律和圆周运动规律，卫星在行星表面附近运行时，万有引力提供向心力 行星平均密度 联立解得 A．，与 有关，非常量，故A错误； B． ，为常量，故B正确； C．，与 有关，非常量，故C错误； D．，与 有关，非常量，故D错误。 故选B。 要·点·整·合 知识点01 黄金代换：把 GM 换成 gR² 所求量 表达式 使用前提 天体质量 已知表面重力加速度 与半径 ，忽略自转 表面重力加速度 天体表面附近，忽略自转 高空重力加速度 距中心 处， 天体密度 由表面 与 反求 黄金代换的三种出场方式：①题目只给 与 而不给质量——直接写 ；②题目给“地球表面重力加速度”而卫星在高空——先换成 ，再代入卫星的方程；③比较两个天体——各自写一遍 ，作比时 自动约去。 “忽略自转”不是套话：若不忽略，赤道上的物体满足 ，此时 略小于 ，两式不再等价。题目写了这句话，才可以放心代换。 知识点02 环绕法：由卫星运动反求中心天体 已知量 可求 表达式 与 中心天体质量 与 中心天体质量 与 中心天体质量 与 ，且 中心天体密度 、 与 中心天体密度 一个环绕天体只能“称”出中心天体：只给一颗卫星的轨道参量，永远求不出卫星自身的质量——因为卫星质量 在方程两边被约掉了。这是选择题的固定陷阱。 同步卫星不能用 ：同步卫星的周期等于天体自转周期，由 定出的 约为 ，与半径相差很大，必须单独求 后再算别的量。 知识点03 估算题的“三步定式” 步骤 做法 注意事项 ①定位 判断是“表面”还是“高空” 决定用 还是 ②建模 只写那一条万有引力方程 不要多写，一条就够 ③做比 把未知量写成已知量的比值 与中心天体质量通常同时约去 估算法先“翻译几何”：土星环照片给的是“环半径约为土星半径的 2 倍”，天宫给的是“离地 400 km”，这些都必须先翻译成 ，否则方程里会同时出现两个未知的半径。 数量级估算不必精确：取 、，结果只保留一位有效数字。选项之间往往差一个数量级，粗算即可判别。 思·维·迁·移 考向01 由照片信息估算周期——“r/R”是唯一入口 2．（2026·河南·高考真题）“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（     ） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】B 【解析】 设土星半径为 ，质量为 ，土星环上颗粒的轨道半径为，周期为 。颗粒绕土星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有 其中土星质量 联立解得周期 的表达式 由照片信息可得 代入数据解得 故选B。 考向02 由“日出次数”反求周期——开普勒第三定律的比例式 3．（2026·云南·高考真题）我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h　　　B．1.5h　　　C．2.0h　　　D．2.4h 【答案】B 【解析】 由题知“天宫”空间站周期，运行半径r1 = 6800km “吉林一号”遥感卫星运行半径r2 = 6935km，根据开普勒第三定律有 解得T2 ≈ T1 = 1.5h 故选B。 考向03 同步轨道与表面轨道联立——双方程定 R 与 M 4．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 【答案】A 【解析】 根据题意，卫星在同步轨道和表面附近轨道运行时轨道半径分别为 设小行星和卫星的质量分别为 由开普勒第三定律有 解得 卫星绕小行星表面附近做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 解得 对应结果可得a为为为。 故选A。 考向04 跨中心天体迁移——同一规律在两套系统里作比 5．（2026·山东·高考真题）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】A 【解析】 地球绕太阳公转：设地球公转周期为​，日地距离，太阳质量为​，则 海卫二绕海王星公转：设海卫二公转周期为​，轨道半长轴为​，海王星质量为，则 已知，且则 整理得 故 故选A。 知识单元02 卫星变轨、能量与宇宙速度 知识点01 变轨的“两次点火”与能量 真·题·动·向 以太空碎片受径向冲量变轨为载体，考动量定理与圆轨道动能的拼接 6．（2026·河北·高考真题）为清除太空碎片对航天器的潜在威胁，某兴趣小组提出一种设想。如图所示，一质量为的太空碎片绕地球做半径为的匀速圆周运动，在点受到一个与其速度方向垂直且背离地心向外的瞬时冲量作用、变轨到图中的椭圆轨道，最终进入大气层而烧毁，设地球质量为，引力常量为、则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 思路点拨： 获取信息：碎片原在半径 的圆轨道上，速度 沿切向；在 点受到“与速度垂直、背离地心”的冲量 ，获得一个沿径向的分速度；问作用后瞬间的动能。 解题步骤：①圆轨道上 ，得 ，初动能 ；②冲量垂直于速度，只改变速度方向不改变大小——错！冲量是矢量，它沿径向新增了一个分速度 ；③合速度的平方 ，故 ，B 正确。 方法提炼：本题的关键是分清“冲量改变什么”。垂直于速度的冲量不改变速率的一阶量，但它确实增加了一个正交分量，速率的平方按勾股定理相加——这就是 这一项的来源。 易错提醒：C、D 项里的交叉项 来自“冲量与速度同向或反向”的情形；本题冲量垂直于速度，交叉项为零，故不含这一项。 【答案】B 【解析】 设太空碎片做匀速圆周运动的速度为，根据万有引力提供向心力有 解得 则碎片受到冲量前的初始动能为 碎片在Q点受到瞬时冲量I作用，获得一个垂直于原速度方向的分速度，根据动量定理 可得其大小为 由于冲量方向（背离地心向外，即径向）与原速度方向垂直，根据矢量合成法则（勾股定理），作用后的合速度v的平方为 则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为 故选B。 要·点·整·合 知识点01 变轨的“两次点火”与能量 操作 速度变化 轨道变化 在原轨道某点加速 增大，“需”大于“供” 做离心运动，进入更高的椭圆轨道 在远地点再次加速 增大 椭圆变为更高的圆轨道 在原轨道某点减速 减小，“需”小于“供” 做近心运动，进入更低的椭圆轨道 在同一位置比较 引力势能相同 速度大的机械能大 “供”与“需”的判据：卫星在半径 处做圆周运动“需要”的向心力是 ，万有引力“能提供”的是 。两者相等即圆轨道；“需大于供”则做离心运动（半径变大），“需小于供”则做近心运动（半径变小）。 机械能只由点火决定：从低轨到高轨要两次点火加速，机械能两次增加；同一轨道上从近地点到远地点，只有引力做功，机械能不变，动能与势能相互转化。圆轨道的总机械能为 ， 越大 越大（负得越少）。 知识点02 椭圆轨道与开普勒三定律 定律 内容 推论 第一定律 行星绕恒星沿椭圆运行，恒星在焦点上 近地点、远地点到焦点的距离之和等于长轴 第二定律 对中心天体的矢径在相等时间内扫过相等面积 近地点速率最大、远地点速率最小 第三定律 ， 只与中心天体有关 不同轨道之间可以直接作比 开普勒第三定律是“万能比例式”：只要中心天体相同， 就是同一个常数，圆轨道照样适用（此时 取 ）。求周期、求半长轴、求半径之比，都从这一条出来。 半长轴的算法：椭圆轨道上近地点距中心 、远地点距中心 ，则半长轴 。注意题给的往往是“到地心的距离”而不是“到地面的高度”，两者相差一个 。 知识点03 宇宙速度与同步卫星 名称 数值与含义 易错点 第一宇宙速度 km/s，近地圆轨道的环绕速度 它是“最大环绕速度”，也是“最小发射速度” 第二宇宙速度 km/s，脱离地球引力 达到后不再绕地球运行 第三宇宙速度 km/s，脱离太阳系 与地球公转方向有关 同步卫星 周期等于自转周期，定在赤道正上方 ， km/s “高轨低速长周期”：由 、、 看出， 越大，、、 越小而 越大。变轨进入更高轨道后速度反而变小，这与“点火加速”不矛盾——加速发生在同一点，之后沿椭圆上升、引力做负功，速率一路减小。 思·维·迁·移 考向01 同一条椭圆轨道上的四个判断——动能、加速度、机械能、能否求质量 7．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【解析】 A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 考向02 引力势能与机械能守恒——发射速度的求解 8．（2025·河北·高考真题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】B 【解析】 飞行器在轨道半径处的总机械能包括动能和势能。 引力势能为 根据万有引力提供向心力，在星球表面有，解得轨道速度满足，对应动能，总机械能 根据机械能守恒，初始动能，解得。 故选B。 考向03 近远地点引力比定半径——再用开普勒第三定律定周期 9．（2026·湖北·高考真题）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】B 【解析】 根据题意可知，对于地球表面的物体，由万有引力等于重力有 可得 由万有引力公式有 可知，近地点到焦点的距离为，远地点到焦点的距离为，则卫星椭圆轨道的半长轴为 设卫星在轨道半径为的圆周上做圆周运动的周期为，在椭圆轨道上的运动周期为，由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得 故选B。 知识单元03 双星、多星与拉格朗日点 知识点01 双星：同周期、共圆心 真·题·动·向 以日地 L5 点的“三等边三角形”为载体，考多星的合力方向与向心加速度 10．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）（多选）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点L5。研究表明，太阳中心、地球中心和的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在的卫星以相同周期绕日地连线上的点做圆周运动，如图所示，则（     ） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向、连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 思路点拨： 获取信息：太阳中心 、地球中心 、L5 构成等边三角形；三者以相同周期绕日地连线上的 点转动。“相同周期”是本题的第一个钥匙——三者角速度相等。 逐项判断：①同角速度、卫星半径最大，由 得卫星向心加速度最大，A 正确；②同理由 得卫星线速度大于地球，B 错。 C 项的陷阱：合力提供向心力，而向心力必须指向圆心，所以合力指向 点而不是 、 连线的中点。等边三角形只是给出“两段距离相等”，并不保证合力沿连线中点方向。 D 项的道理：等边三角形使卫星到太阳、到地球的距离相等，由 ，两引力之比就等于 ，D 正确。 【答案】AD 【解析】 A．根据题图可知卫星的运动半径大于地球的运动半径，卫星、太阳和地球周期相等，根据可知三者角速度相等，根据可知卫星的向心加速度比地球的大，故A正确； B．根据结合A选项分析可知卫星线速度大于地球的线速度，故B错误； C．根据题意可知太阳和地球对卫星引力的合力提供卫星做圆周运动的向心力，向心力一定指向圆心，即向心力一定指向点，故C错误； D．根据题意可知太阳和卫星的距离等于地球和卫星的距离，根据万有引力的表达式可知太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比，故D正确。 故选AD。 要·点·整·合 知识点01 双星：同周期、共圆心 关系 表达式 说明 轨道半径之和 为两星间距离，不是某一颗星的半径 质量与半径 质量大的半径小，圆心靠近重星 角速度 同周期是双星的定义性条件 总质量 只能求出总质量，求不出单个质量 双星的三句话：同周期、共圆心、万有引力提供各自所需的向心力。把这两条向心力方程并列写出，两式相除即得质量比与半径比互为反比。 与“行星绕恒星”的区别：普通环绕问题里中心天体近似不动， 就是轨道半径；双星里两颗星都在动，，若把 当成某一颗星的半径，整道题都会算错。 知识点02 多星系统：合力提供向心力 模型 几何关系 合力与向心力 三星（等边三角形） 三星位于边长为 的等边三角形顶点 每个星受另两星引力的合力指向三角形中心 三星（直线排列） 中央星静止，两星对称分布 两星的向心力由中央星与另一星的合力提供 四星（正方形） 四星位于边长 的正方形顶点 合力沿对角线指向中心 拉格朗日点 与两大天体构成等边三角形或共线 两天体引力的合力提供绕公共圆心的向心力 多星题的固定套路：①先由几何定出每个星到其他星的距离；②逐个写出引力并矢量合成，注意对称性使某些分量相互抵消；③令合力等于 ，其中 是该星到公共圆心的距离。 “合力方向”是最易错的一问：合力必须指向圆心，这是由“做匀速圆周运动”反推出来的，不能凭“几何中心”“连线中点”之类的直观去猜。2026 黑吉辽蒙卷的 C 项正是这样设的陷阱。 知识点03 拉格朗日点与“相对静止” 点 位置 特点 L1 两星连线上，靠近轻星一侧 始终位于两星之间，适合观测太阳 L2 两星连线上，轻星外侧 背对太阳，适合深空观测（韦伯望远镜） L4、L5 与两星构成等边三角形 稳定平衡点，可长期停留 “相对静止”就是“同角速度”：航天器与两大天体保持相对静止，意味着它们绕同一点、以同一周期转动，因此角速度相等。这一句话可以替代大量几何讨论。 列式的通用形式：。左边是两个引力的合力（注意方向可能相反），右边是绕公共圆心所需的向心力，半径 是航天器到公共圆心的距离，不是到某个天体的距离。 思·维·迁·移 考向01 双星系统与 L2 点——先求公共角速度，再列“第三体”方程 11．（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A．　　　B． C．　　　D． 【答案】BD 【解析】 AB．由题知，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统，则有 r1＋r2 = R 联立解得 故A错误、故B正确； CD．由题知，在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止，则有 再根据选项AB分析可知 Mr1 = mr2，r1＋r2 = R， 联立解得 故C错误、故D正确。 故选BD。 考向02 同心圆加椭圆转移——“第一次相遇”即半椭圆端点的几何 12．（2026·广西·高考真题）（多选）如图，两颗人造卫星的轨道可视为以地心为圆心的共面同心圆，卫星、卫星的轨道半径分别为、 。初始时刻，卫星位于点、卫星位于点，此时卫星沿自身轨道切线方向发射探测器，探测器沿椭圆轨道无动力飞行，第一次到达点时恰好与卫星相遇，且、、三点共线。已知地球质量为，引力常量为，图中箭头所示为卫星及探测器的绕行方向。若卫星发射探测器时自身的速度变化忽略不计，则（     ） A．卫星的运行速度大小 B．探测器沿椭圆轨道运动的周期 C．图中等于 D．两卫星从初始时刻到第一次相距最近时，历时 【答案】AC 【解析】 A．根据万有引力提供向心力有 解得，故A正确； B．由几何关系可知，椭圆轨道的半长轴为 由开普勒第三定律有 由万有引力提供向心力有 联立解得，故B错误； C．变轨卫星从P到K经过半个椭圆，则运动时间 卫星在高轨道2的角速度为 则高轨卫星从Q到K转过的角度 则有，故C正确； D．由上述分析同理可得，卫星在轨道1的角速度为 由于，则有 由几何关系可知，第一次相距最近时，相对转过的角度等于初始位置角度差，即 解得，故D错误。 故选AC。 跨模块融合 引力场中的“差值”与“等效” 知识点01 引力场中的“差值”建模 真·题·动·向 以月球引潮力为载体，考“同一个力在两处的差”的建模与量纲 13．（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 思路点拨： 获取信息：引潮力被定义为“P 点处质量为 的海水所受月球引力”减去“地心处同质量物质所受月球引力”。题目还特别说明 P 点背对月球，且 、、 共线。 解题步骤：①由“背对月球”得 到月心的距离为 ，故 P 点海水所受引力 ；②地心处同质量物质到月心的距离为 ，故 ；③引潮力为两者之差，D 正确。 方法提炼：这类“差值”题的唯一难点是把两个距离写对。画一条 —— 的直线，标出 与 ，距离就一目了然；若 P 点正对月球，距离应改为 ，差值也随之反号。 易错提醒：A、C 两项把分母写错成一次方——引力的分母永远是距离的平方，这一条可以直接排除两个选项。 【答案】D 【解析】 根据题图可知P点距月心的距离为，地心与月心间距为，月球质量为，根据万有引力公式结合月球引潮力的定义可得点处质量为的海水所受月球引潮力大小为 故选D。 要·点·整·合 知识点01 引力场中的“差值”建模 情境 两个位置 差值的意义 引潮力（背对月球） 与 两端海水被“拉离”地心，形成两处高潮 引潮力（正对月球） 与 差值反号，但大小量级相同 两引力比较 同一点到两个天体的距离 距离近、质量大者引力大 重力加速度随高度 与 “差值”题的三步：①定两个位置到中心天体的距离；②各写一次万有引力；③相减并判断正负号。距离写错是唯一可能的失分点，先画图再动笔。 为什么潮汐一天两次：正对月球与背对月球两侧的引潮力都指向“远离地心”的方向，海水在这两处同时隆起，地球自转一周便经过两次高潮。 知识点02 从 g 到 W、k、c 的跨模块迁移 物理量 与 的关系 是否随星球改变 重力 改变（ 变） 质量 与 无关 不变 弹簧劲度系数 与 无关 不变（由弹簧自身决定） 真空中光速 与参考系、与 均无关 不变 “随星球变的”与“不随星球变的”要分清：重力、重力加速度、单摆周期随 改变；质量、劲度系数、弹簧原长、光速都不变。选择题常把这两类混在一起设项。 由测力计读数求天体质量：，得 。再用 得第一宇宙速度 ——注意这里的根号内是 而不是 ，两者量纲不同，可以直接排除错误选项。 思·维·迁·移 考向01 由测力计读数串起四个物理量——引力、宇宙速度、弹簧、光速 14．（2026·浙江·高考真题）月球上的宇航员用测力计测得质量为的钩码重力为。已知月球绕地球做圆周运动的速度大小、月球半径、光速、引力常量。下列说法正确的是（     ） A．月球的质量为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球上测力计弹簧的劲度系数是地球上的 D．宇航员将激光射向地球，地球上测得激光速度大小为 【答案】A 【解析】 A． 钩码在月球表面的重力等于月球对它的万有引力，即 整理可得月球质量 ，故A正确； B． 月球的第一宇宙速度是近月卫星的环绕速度，满足 代入可得，故B错误； C．弹簧的劲度系数是弹簧本身的固有属性，由弹簧的材料、匝数、粗细等自身因素决定，和所处的星球环境无关，在地球和月球上劲度系数完全相同，故C错误； D． 根据狭义相对论的光速不变原理，任何惯性参考系中测得的真空中光速都为，不会因为月球的运动发生叠加，故D错误。 故选A 。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题三 万有引力与航天中的变轨、双星与估算问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 黄金代换与天体质量、密度的估算 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 黄金代换：把 GM 换成 gR² 知识点2 环绕法：由卫星运动反求中心天体 知识点3 估算题的“三步定式” 知识单元02 卫星变轨、能量与宇宙速度 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 变轨的“两次点火”与能量 知识点2 椭圆轨道与开普勒三定律 知识点3 宇宙速度与同步卫星 知识单元03 双星、多星与拉格朗日点 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 双星：同周期、共圆心 知识点2 多星系统：合力提供向心力 知识点3 拉格朗日点与“相对静止” 模块贯通·综合探析 知识融合贯通，拆解跨模块复合情境 跨模块融合 引力场中的“差值”与“等效” 知识串联 真题动向 思维迁移 知识点1 引力场中的“差值”建模 知识点2 从 g 到 W、k、c 的跨模块迁移 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 黄金代换与天体 质量、密度的估算 黄金代换是万能桥梁： 把“天上的 ”换成“地面的 ”，凡给表面重力加速度而不给质量的，一律走这条路。2026 浙江卷（行星密度与表面卫星周期）把 与 联立，直接得出 为常量。 估算靠比例，不靠代入：2026 河南卷（土星环颗粒的周期）先从照片读出“环半径约为土星半径的 2 倍”，再把 整体代入，全程不出现天体质量的具体数值；2026 云南卷（由“天宫”16 次日出反求“吉林一号”周期）则用开普勒第三定律的比例式，把“日出次数”翻译成周期。 失分点：把 与 混为一谈（卫星轨道半径不等于天体半径）；求密度时把 错写成 ；比例式中漏掉立方或平方。 考向预测：①黄金代换 的三种用法；②环绕法测质量与密度；③由照片、比例尺作数量级估算。 考法预测：①先写 把 消掉；②比例式先约去 与中心天体质量；③估算题先定 再代数，只保留一位有效数字。 情境载体：北斗导航卫星、天宫空间站、土星环、小行星探测、海卫二。 知识单元02 卫星变轨、能量 与宇宙速度 变轨的实质是改变“所需向心力”：在同一点加速，所需向心力 变大而引力不变，供不应求，卫星做离心运动升到高轨；反之减速则降到低轨。2025 北京卷（嫦娥六号）把“动能如何变、加速度如何变、机械能是否相等、能否求出月球质量”四个判断压在同一条椭圆轨道上考。 能量是变轨题的主线：同一点两次点火，速度突变、机械能突变，但引力势能只由位置决定。2026 河北卷（太空碎片受径向冲量）把动量定理与圆轨道动能拼在一起，考“垂直于速度方向的冲量只负责改变速率的平方项”。 失分点：误认为“轨道越高速度越大”（实为高轨低速、大周期）；把第一宇宙速度当成“发射任何航天器的最小速度”；在椭圆轨道上套用圆轨道公式 。 考向预测：①变轨的两次点火与机械能变化；②椭圆轨道的近远地点与周期；③第一、二、三宇宙速度的辨析。 考法预测：①“加速→离心→升轨”的因果链；②开普勒第三定律求周期；③引力势能与机械能守恒联立求发射速度。 情境载体：嫦娥六号、神舟飞船、太空碎片清除、星际飞行器、同步卫星。 知识单元03 双星、多星与 拉格朗日点 双星只有三句话：同周期、共圆心、万有引力等于各自所需的向心力。由此立刻得 ——质量大的半径小。2023 福建卷（韦伯望远镜与日地 L2 点）先用双星条件求出公共角速度 ，再把 L2 点的航天器当作“第三体”单独列式。 多星看合力：2026 黑吉辽蒙卷（“羲和二号”部署 L5）用“三点构成等边三角形”给出几何，考“两引力的合力指向圆心 P 而不是连线中点”——这是最容易凭直觉答错的一问。 失分点：把双星之间的距离 当成某一颗星的轨道半径；多星系统里把合力方向想当然地取为几何中心；拉格朗日点上忘掉“与中心天体角速度相同”这一条件。 考向预测：①双星的质量比与总质量；②三星、四星的合力与向心力；③拉格朗日点与“相对静止”。 考法预测：① 与 联立；②合力必须指向公共圆心；③同角速度后用 、 比较。 情境载体：韦伯望远镜、羲和二号、地月系统、双星观测、引力波源。 跨模块融合 引力场中的“差值” 与“等效” “差值”是一种建模：2026 贵州卷（月球引潮力）把引潮力定义为“P 点海水所受月球引力减去地心处同质量物质所受月球引力”，考的不是某一个力，而是同一个力在两处的差；2026 江苏卷（地月远距离逆行轨道）则要求比较同一点上地球引力与月球引力的大小。 “等效”是一种迁移：2026 浙江卷（月球测力计）用 一条式子串起“月球质量、第一宇宙速度、弹簧劲度系数、光速不变”四个选项，把力学、引力与相对论装进同一道题。 失分点：把“重力加速度变小”等同于“弹簧劲度系数变小”；把速度叠加公式用到光速上；比较两处引力时只看距离、不看中心天体质量。 考向预测：①引力场中的“差值”与“等效”；②用测力计、单摆测重力加速度；③与光速不变、相对论的拼接。 考法预测：①两处引力直接相减；②由 反求天体质量；③辨析“劲度系数与 无关”。 情境载体：引潮力与潮汐、月球测力计、月球车、太空实验舱。 知识单元01 黄金代换与天体质量、密度的估算 知识点01 黄金代换：把 GM 换成 gR² 真·题·动·向 以“行星密度—表面卫星周期”为载体，考黄金代换的密度版本 1．（2026·浙江·高考真题）已知行星的平均密度为，靠近行星表面运行的卫星做圆周运动的周期为T。对于任何行星均为同一常量的是（   ） A．　　　B． C．　　　D． 要·点·整·合 知识点01 黄金代换：把 GM 换成 gR² 所求量 表达式 使用前提 天体质量 已知表面重力加速度 与半径 ，忽略自转 表面重力加速度 天体表面附近，忽略自转 高空重力加速度 距中心 处， 天体密度 由表面 与 反求 黄金代换的三种出场方式：①题目只给 与 而不给质量——直接写 ；②题目给“地球表面重力加速度”而卫星在高空——先换成 ，再代入卫星的方程；③比较两个天体——各自写一遍 ，作比时 自动约去。 “忽略自转”不是套话：若不忽略，赤道上的物体满足 ，此时 略小于 ，两式不再等价。题目写了这句话，才可以放心代换。 知识点02 环绕法：由卫星运动反求中心天体 已知量 可求 表达式 与 中心天体质量 与 中心天体质量 与 中心天体质量 与 ，且 中心天体密度 、 与 中心天体密度 一个环绕天体只能“称”出中心天体：只给一颗卫星的轨道参量，永远求不出卫星自身的质量——因为卫星质量 在方程两边被约掉了。这是选择题的固定陷阱。 同步卫星不能用 ：同步卫星的周期等于天体自转周期，由 定出的 约为 ，与半径相差很大，必须单独求 后再算别的量。 知识点03 估算题的“三步定式” 步骤 做法 注意事项 ①定位 判断是“表面”还是“高空” 决定用 还是 ②建模 只写那一条万有引力方程 不要多写，一条就够 ③做比 把未知量写成已知量的比值 与中心天体质量通常同时约去 估算法先“翻译几何”：土星环照片给的是“环半径约为土星半径的 2 倍”，天宫给的是“离地 400 km”，这些都必须先翻译成 ，否则方程里会同时出现两个未知的半径。 数量级估算不必精确：取 、，结果只保留一位有效数字。选项之间往往差一个数量级，粗算即可判别。 思·维·迁·移 考向01 由照片信息估算周期——“r/R”是唯一入口 2．（2026·河南·高考真题）“土星环”是由绕土星运动的颗粒组成的带状薄圆环，图为拍摄的真实照片。已知土星的平均密度约为，引力常量，由照片信息估算位于“土星环”上的中间颗粒绕土星做圆周运动的周期是（     ） A．　　　B． C．　　　D． 考向02 由“日出次数”反求周期——开普勒第三定律的比例式 3．（2026·云南·高考真题）我国“天宫”空间站的轨道离地高度约为400km，空间站内的宇航员每24h能看到16次日出。“吉林一号”遥感卫星组网中的某颗卫星轨道离地高度约为535km。已知地球半径约为6400km，空间站与该卫星绕地球的运动均视为匀速圆周运动，则该卫星的周期约为（   ） A．1.0h　　　B．1.5h　　　C．2.0h　　　D．2.4h 考向03 同步轨道与表面轨道联立——双方程定 R 与 M 4．（2025·湖南·高考真题）我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到。下列选项正确的是（　　） A．a为为为 B．a为为为 C．a为为为 D．a为为为 考向04 跨中心天体迁移——同一规律在两套系统里作比 5．（2026·山东·高考真题）海王星的卫星海卫二绕海王星的公转周期与地球公转周期近似相等。若太阳与海王星的质量比为 ，定义地球与太阳间的距离为1个天文单位（1 AU），则海卫二公转轨道的半长轴约为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 知识单元02 卫星变轨、能量与宇宙速度 知识点01 变轨的“两次点火”与能量 真·题·动·向 以太空碎片受径向冲量变轨为载体，考动量定理与圆轨道动能的拼接 6．（2026·河北·高考真题）为清除太空碎片对航天器的潜在威胁，某兴趣小组提出一种设想。如图所示，一质量为的太空碎片绕地球做半径为的匀速圆周运动，在点受到一个与其速度方向垂直且背离地心向外的瞬时冲量作用、变轨到图中的椭圆轨道，最终进入大气层而烧毁，设地球质量为，引力常量为、则该太空碎片受到冲量作用后瞬间的动能为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 要·点·整·合 知识点01 变轨的“两次点火”与能量 操作 速度变化 轨道变化 在原轨道某点加速 增大，“需”大于“供” 做离心运动，进入更高的椭圆轨道 在远地点再次加速 增大 椭圆变为更高的圆轨道 在原轨道某点减速 减小，“需”小于“供” 做近心运动，进入更低的椭圆轨道 在同一位置比较 引力势能相同 速度大的机械能大 “供”与“需”的判据：卫星在半径 处做圆周运动“需要”的向心力是 ，万有引力“能提供”的是 。两者相等即圆轨道；“需大于供”则做离心运动（半径变大），“需小于供”则做近心运动（半径变小）。 机械能只由点火决定：从低轨到高轨要两次点火加速，机械能两次增加；同一轨道上从近地点到远地点，只有引力做功，机械能不变，动能与势能相互转化。圆轨道的总机械能为 ， 越大 越大（负得越少）。 知识点02 椭圆轨道与开普勒三定律 定律 内容 推论 第一定律 行星绕恒星沿椭圆运行，恒星在焦点上 近地点、远地点到焦点的距离之和等于长轴 第二定律 对中心天体的矢径在相等时间内扫过相等面积 近地点速率最大、远地点速率最小 第三定律 ， 只与中心天体有关 不同轨道之间可以直接作比 开普勒第三定律是“万能比例式”：只要中心天体相同， 就是同一个常数，圆轨道照样适用（此时 取 ）。求周期、求半长轴、求半径之比，都从这一条出来。 半长轴的算法：椭圆轨道上近地点距中心 、远地点距中心 ，则半长轴 。注意题给的往往是“到地心的距离”而不是“到地面的高度”，两者相差一个 。 知识点03 宇宙速度与同步卫星 名称 数值与含义 易错点 第一宇宙速度 km/s，近地圆轨道的环绕速度 它是“最大环绕速度”，也是“最小发射速度” 第二宇宙速度 km/s，脱离地球引力 达到后不再绕地球运行 第三宇宙速度 km/s，脱离太阳系 与地球公转方向有关 同步卫星 周期等于自转周期，定在赤道正上方 ， km/s “高轨低速长周期”：由 、、 看出， 越大，、、 越小而 越大。变轨进入更高轨道后速度反而变小，这与“点火加速”不矛盾——加速发生在同一点，之后沿椭圆上升、引力做负功，速率一路减小。 思·维·迁·移 考向01 同一条椭圆轨道上的四个判断——动能、加速度、机械能、能否求质量 7．（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 考向02 引力势能与机械能守恒——发射速度的求解 8．（2025·河北·高考真题）随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为，表面重力加速度为。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为。要使飞行器在距星球表面高度为的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为（　　） A．　　　B． C．　　　D． 考向03 近远地点引力比定半径——再用开普勒第三定律定周期 9．（2026·湖北·高考真题）已知某卫星绕地球做椭圆运动，在近地点所受的地球引力为其在地面附近的，在远地点所受的地球引力为其在地面附近的。地面附近的重力加速度大小为，地球半径为，该卫星的运动周期为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 知识单元03 双星、多星与拉格朗日点 知识点01 双星：同周期、共圆心 真·题·动·向 以日地 L5 点的“三等边三角形”为载体，考多星的合力方向与向心加速度 10．（2026·黑吉辽蒙卷·高考真题）（多选）我国计划将“羲和二号”太阳探测卫星部署至日地系统拉格朗日点L5。研究表明，太阳中心、地球中心和的连线构成稳定的等边三角形，太阳、地球和部署在的卫星以相同周期绕日地连线上的点做圆周运动，如图所示，则（     ） A．卫星的向心加速度比地球的大 B．卫星与地球的线速度大小相等 C．太阳和地球对卫星引力的合力指向、连线中点 D．太阳和地球对卫星的引力大小之比等于太阳和地球的质量之比 要·点·整·合 知识点01 双星：同周期、共圆心 关系 表达式 说明 轨道半径之和 为两星间距离，不是某一颗星的半径 质量与半径 质量大的半径小，圆心靠近重星 角速度 同周期是双星的定义性条件 总质量 只能求出总质量，求不出单个质量 双星的三句话：同周期、共圆心、万有引力提供各自所需的向心力。把这两条向心力方程并列写出，两式相除即得质量比与半径比互为反比。 与“行星绕恒星”的区别：普通环绕问题里中心天体近似不动， 就是轨道半径；双星里两颗星都在动，，若把 当成某一颗星的半径，整道题都会算错。 知识点02 多星系统：合力提供向心力 模型 几何关系 合力与向心力 三星（等边三角形） 三星位于边长为 的等边三角形顶点 每个星受另两星引力的合力指向三角形中心 三星（直线排列） 中央星静止，两星对称分布 两星的向心力由中央星与另一星的合力提供 四星（正方形） 四星位于边长 的正方形顶点 合力沿对角线指向中心 拉格朗日点 与两大天体构成等边三角形或共线 两天体引力的合力提供绕公共圆心的向心力 多星题的固定套路：①先由几何定出每个星到其他星的距离；②逐个写出引力并矢量合成，注意对称性使某些分量相互抵消；③令合力等于 ，其中 是该星到公共圆心的距离。 “合力方向”是最易错的一问：合力必须指向圆心，这是由“做匀速圆周运动”反推出来的，不能凭“几何中心”“连线中点”之类的直观去猜。2026 黑吉辽蒙卷的 C 项正是这样设的陷阱。 知识点03 拉格朗日点与“相对静止” 点 位置 特点 L1 两星连线上，靠近轻星一侧 始终位于两星之间，适合观测太阳 L2 两星连线上，轻星外侧 背对太阳，适合深空观测（韦伯望远镜） L4、L5 与两星构成等边三角形 稳定平衡点，可长期停留 “相对静止”就是“同角速度”：航天器与两大天体保持相对静止，意味着它们绕同一点、以同一周期转动，因此角速度相等。这一句话可以替代大量几何讨论。 列式的通用形式：。左边是两个引力的合力（注意方向可能相反），右边是绕公共圆心所需的向心力，半径 是航天器到公共圆心的距离，不是到某个天体的距离。 思·维·迁·移 考向01 双星系统与 L2 点——先求公共角速度，再列“第三体”方程 11．（2023·福建·高考真题）人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O（图中未标出）转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，万有引力常数为G，L2点到地心的距离记为r（r << R），在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是（   ）[可能用到的近似] A．　　　B． C．　　　D． 考向02 同心圆加椭圆转移——“第一次相遇”即半椭圆端点的几何 12．（2026·广西·高考真题）（多选）如图，两颗人造卫星的轨道可视为以地心为圆心的共面同心圆，卫星、卫星的轨道半径分别为、 。初始时刻，卫星位于点、卫星位于点，此时卫星沿自身轨道切线方向发射探测器，探测器沿椭圆轨道无动力飞行，第一次到达点时恰好与卫星相遇，且、、三点共线。已知地球质量为，引力常量为，图中箭头所示为卫星及探测器的绕行方向。若卫星发射探测器时自身的速度变化忽略不计，则（     ） A．卫星的运行速度大小 B．探测器沿椭圆轨道运动的周期 C．图中等于 D．两卫星从初始时刻到第一次相距最近时，历时 跨模块融合 引力场中的“差值”与“等效” 知识点01 引力场中的“差值”建模 真·题·动·向 以月球引潮力为载体，考“同一个力在两处的差”的建模与量纲 13．（2026·贵州·高考真题）月球引潮力是引起海洋潮汐的主要原因，可等效为地表某点处质量为的海水所受月球引力减去地心处相同质量的物质所受月球引力。已知地球半径为，地心与月心间距为，月球质量为，引力常量为，地表点背对月球，P、O和在同一直线上，如图所示，则点处质量为的海水所受月球引潮力大小为（     ） A．　　　B． C．　　　D． 要·点·整·合 知识点01 引力场中的“差值”建模 情境 两个位置 差值的意义 引潮力（背对月球） 与 两端海水被“拉离”地心，形成两处高潮 引潮力（正对月球） 与 差值反号，但大小量级相同 两引力比较 同一点到两个天体的距离 距离近、质量大者引力大 重力加速度随高度 与 “差值”题的三步：①定两个位置到中心天体的距离；②各写一次万有引力；③相减并判断正负号。距离写错是唯一可能的失分点，先画图再动笔。 为什么潮汐一天两次：正对月球与背对月球两侧的引潮力都指向“远离地心”的方向，海水在这两处同时隆起，地球自转一周便经过两次高潮。 知识点02 从 g 到 W、k、c 的跨模块迁移 物理量 与 的关系 是否随星球改变 重力 改变（ 变） 质量 与 无关 不变 弹簧劲度系数 与 无关 不变（由弹簧自身决定） 真空中光速 与参考系、与 均无关 不变 “随星球变的”与“不随星球变的”要分清：重力、重力加速度、单摆周期随 改变；质量、劲度系数、弹簧原长、光速都不变。选择题常把这两类混在一起设项。 由测力计读数求天体质量：，得 。再用 得第一宇宙速度 ——注意这里的根号内是 而不是 ，两者量纲不同，可以直接排除错误选项。 思·维·迁·移 考向01 由测力计读数串起四个物理量——引力、宇宙速度、弹簧、光速 14．（2026·浙江·高考真题）月球上的宇航员用测力计测得质量为的钩码重力为。已知月球绕地球做圆周运动的速度大小、月球半径、光速、引力常量。下列说法正确的是（     ） A．月球的质量为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球上测力计弹簧的劲度系数是地球上的 D．宇航员将激光射向地球，地球上测得激光速度大小为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $