微专题九 数学归纳法及图像法解决多次碰撞问题（复习讲义）（全国通用） 2027年高考物理二轮复习讲练测

微专题九 数学归纳法及图像法解决多次碰撞问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 碰撞的类型与守恒判据 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹性、非弹性与完全非弹性 知识点2 碰撞的“三个制约” 知识点3 多次碰撞中“哪些量不变” 知识单元02 多次碰撞与数学归纳 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 递推：写出第 次与第 次的关系 知识点2 等比数列与极限 知识点3 位置递推与“追及”判据 知识单元03 图像法：把多次碰撞画成一条折线 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 图上的“速度突变” 知识点2 面积与路程、位移 知识点3 冲量—动量图与能量折线 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 碰撞的类型与 守恒判据 碰撞只有三条守恒关系可选：动量守恒必成立；动能守恒→弹性碰撞；碰后共速→完全非弹性（动能损失最大）。多个质量相等的小球（轻杆连接的双球、同向追碰）要求判断“机械能是否守恒、某位置速度多大、杆的弹力做正功还是负功”，本质是把“碰撞的守恒判据”搬到连接体上。 碰撞还要受“三条制约”：①动量守恒；②动能不增加；③碰后速度符合实际（追者不能穿过被追者）。2025 甘肃武威高三月考（、 两球同向追碰）四个选项分别检验这三条。 失分点：只验动量守恒就下结论；忘记“碰后速度必须合理”这一条；把“弹性碰撞”与“完全非弹性碰撞”的末速度公式混用。 考向预测：①三类碰撞的判据；②碰后速度的合理性检验；③连接体中的“类碰撞”过程。 考法预测：①列动量守恒＋动能关系；②用“速度不能穿越”排除选项；③弹性碰撞公式直接代入。 情境载体：小球正碰、轻杆连接的双球、滑块追碰、分子碰撞。 知识单元02 多次碰撞与 数学归纳 多次碰撞的通用套路是“递推”：设第 次碰后速度为 ，写出第 次的表达式，观察规律后用数学归纳法给出通项。弹性小球与地面反复碰撞（每次碰后竖直速度按同一比例减小）就是典型的等比数列：，总路程为 。 “位置递推”常与追及结合：小球与空心管（管长 、球在管上方 ）要求判断“球能否穿过管”，本质是“相对位移与管长比较”，与板块、传送带的判据同源。 失分点：直接套等比求和公式却忘了“第一次下落”与“之后往返”的项数不同；把“速度按比例减小”写成“动能按比例减小”；忽略“碰撞时间极短、位移可忽略”。 考向预测：①弹性小球反复碰地的路程与时间；②多次碰撞后的速度通式；③多体反复碰撞的周期与极限。 考法预测：①写 求通项；②分“首次”与“往返”两段求和；③用极限判断最终状态。 情境载体：落球反弹、分子碰撞、多球摆、滑块在挡板间往复。 知识单元03 图像法： 把多次碰撞画成折线 每次碰撞在 图上就是一次“竖直跳变”：碰撞时间极短，速度瞬间改变而位置连续，所以图线是“折线＋跳变”。把多次碰撞画在同一张图上，规律一眼可见。电动窗帘的多个滑块（2023 广东卷）要求由“共同速度”反推碰撞次数与冲量分配。 面积与冲量各管一段： 图的面积给位移与路程， 图的面积给冲量。安全气囊的力—时间曲线（2022 重庆卷）就是由曲线面积求冲量、再由冲量求平均力。 失分点：把“速度跳变”画成“斜线”（误以为碰撞需要时间）；求路程时没有把“往返”的面积取绝对值；把 图的面积直接当成动量（还要看初动量）。 考向预测：①多次碰撞的 图；②由图像求冲量与平均力；③图像与递推的结合。 考法预测：①画折线图标出每次碰撞；②面积求位移、求冲量；③由图像反推碰撞次数。 情境载体：落球反弹、安全气囊、滑块在挡板间往复、多球碰撞。 知识单元01 碰撞的类型与守恒判据 知识点01 弹性、非弹性与完全非弹性 真·题·动·向 以“轻杆连接的双球沿杆滑动”为载体，考系统机械能守恒与杆的做功判断 1．(2024·黑龙江、吉林模拟)如图所示，两个质量相等且可视为质点的小球a、b通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N固定且不接触(a、b球均可无碰撞通过O点)，且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　) A.a、b两球组成的系统机械能不守恒 B.a球到达与b球等高位置时速度大小为 C.a球运动到最低点时，b球速度最大，最大值为 D.a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功 要·点·整·合 知识点01 弹性、非弹性与完全非弹性 类型 动量 动能 碰后速度 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 减少 介于弹性与共速之间 完全非弹性 守恒 损失最大 碰后共速 “动能不增加”是判断选项的利器：很多选择题给出一个“碰后速度”，只需验证“碰后总动能 ≤ 碰前总动能”就能排除。 三类碰撞的“能量账”：弹性碰撞动能守恒；完全非弹性碰撞损失 ；一般的非弹性碰撞介于两者之间。 知识点02 碰撞的“三个制约” 制约 表达式 作用 动量守恒 必满足 动能不增 排除“能量凭空增加”的选项 速度合理 碰后追者不快于被追者 排除“穿过”的选项 “速度合理”这一条最容易被忘：两球同向追碰后，后面的球速度不能大于前面的球（否则就“穿过去了”）；迎面碰撞后，两者必须反向或至少不再相互接近。把这句翻译成不等式，可以直接排除一批选项。 三条制约要一起用：只验动量守恒往往剩下两三个选项，再用“动能不增”与“速度合理”才能定出唯一答案。 知识点03 多次碰撞中“哪些量不变” 量 是否改变 说明 系统总动量 不变 无外力 系统总动能 逐次减少 非弹性碰撞 共同速度 首次碰撞后确定 之后不再改变 相对位移 逐次累积 求路程时相加 “动量守恒、动能递减”是多次碰撞的主线：每碰一次动能就少一块，最终所有物体共速、动能降到最小值。这条趋势能帮你判断“最终状态”。 碰撞时间极短，位移可忽略：所以在 图上碰撞表现为“竖直跳变”，在位移计算中“碰撞瞬间物体不动”。这两条是图像法的基础。 思·维·迁·移 考向01 同向追碰——三个制约的联合检验 2．(多选)(2025·甘肃武威高三月考)如图所示，光滑水平面上有一质量mA=1 kg的A球和一质量mB=1.5 kg的B球同向运动。已知A球的初速度v1=10 m/s，B球的初速度v2=5 m/s，运动一段时间后，两球发生对心正碰。下列说法正确的是(　　) A.当两球发生的碰撞是弹性碰撞时，A球对B球的冲量为7.5 N·s B.碰撞的过程中，系统损失的机械能可能为8 J C.碰撞后，A球的速度可能为5 m/s D.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时，A球对B球的冲量为3 N·s 知识单元02 多次碰撞与数学归纳 知识点01 递推：写通项、找规律 真·题·动·向 以“弹性小球与地面反复碰撞”为载体，考等比数列与总路程 3．(多选)(2025·河北保定高三期末)将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞(碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变)，反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25 m，与挡板的水平距离为6.5 m，挡板高度为0.8 m，g=10 m/s2，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是(　　) A.小球水平方向的速率为5 m/s B.小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30° C.小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1 D.小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.2 s 要·点·整·合 知识点01 递推：写出第 n 次与第 n+1 次的关系 碰撞类型 递推关系 通项 弹性（） 非弹性（恢复系数 ） 完全非弹性 碰后即停 与墙碰撞（质量悬殊） 同上 “写两项、找规律、验一项”是归纳法的三步：先算 、，猜出 ，再用“第 次到第 次”的递推验证。高考题不会要求严格证明，但要求“写出通项并代入”。 恢复系数 的定义： 碰后分离速度 ÷ 碰前接近速度。 为弹性碰撞， 为完全非弹性碰撞。题目若给“碰后速率是碰前的 倍”，则 。 知识点02 等比数列与极限 量 等比数列 求和结果（） 每次上升高度 总路程 总时间 第 次速度 趋于零 “首次下落”与“之后往返”要分开算：第一次下落只走 （不乘 2），之后每次都是“上去再下来”，所以要乘 2。漏掉这一条，答案会少一项。 总路程收敛的条件是 ：弹性碰撞（）时总路程发散（永远弹下去），这也是“弹性小球永不停息”的物理含义。 知识点03 位置递推与“追及”判据 情形 判据 结论 球能否穿过空心管 相对位移与管长比较 则穿过 多次碰后能否追上 速度关系与位移差 看是否“追者快于被追者” 滑块在挡板间往复 每次行程递减 总路程用等比求和 多球依次碰撞 动量逐次传递 末球获得最大速度 “能否穿过”本质是相对位移问题：与板块、传送带的判据完全一样——把两者的位移相减，与“长度”比较即可。 相对位移要选对参考系：小球与空心管这类题以“管”为参考系最方便，管的运动与球的运动一减，相对位移一目了然。 思·维·迁·移 考向01 小球与空心管的相对运动——能否穿过的判据 4．(多选)(2025·四川遂宁高三期中)如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上释放小球，小球可以无碰撞的穿过空心管，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　) A.两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，则小球穿过管的时间为 B.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为 C.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为 D.两者均无初速度释放，但小球提前了Δt时间释放，则小球穿过管的时间为 考向02 橡皮擦与桌面的碰撞——恢复系数与能量损失 5．(2025·广东东莞高三月考)某同学在距水平桌面一定高度处将一橡皮擦由静止释放，橡皮擦以3 m/s的速度与水平桌面发生碰撞，碰撞后以1 m/s的速度反向弹回，已知碰撞的时间为0.2 s，则橡皮擦与桌面发生碰撞过程中的平均加速度为(　　) A.10 m/s2，方向向上　　　B.10 m/s2，方向向下 C.20 m/s2，方向向上　　　D.20 m/s2，方向向下 知识单元03 图像法：把多次碰撞画成一条折线 知识点01 v-t 图上的“速度突变” 真·题·动·向 以“安全气囊的力—时间曲线”为载体，考冲量的图像求法与缓冲原理 6．在汽车相撞时，汽车的安全气囊可使头部受伤率减少约25%，面部受伤率减少80%左右。如图所示，某次汽车正面碰撞测试中，汽车以108 km/h的速度撞上测试台后停下，安全气囊在系有安全带的司机的正前方水平弹出，司机用时0.2 s停下。车内司机的质量为50 kg，则下列说法正确的是(　　) A.安全气囊的作用是减小碰撞前后司机动量的变化量 B.安全气囊对司机的作用力小于司机对安全气囊的作用力 C.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小为300 N·s D.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的平均作用力大小为7 500 N 要·点·整·合 知识点01 v-t 图上的“速度突变” 图像特征 物理含义 注意 竖直跳变 碰撞瞬间速度突变 时间极短，位移可忽略 折线斜率 各段的加速度 碰撞前后斜率不同 与 轴面积 位移（带符号） 往返时正负相消 面积绝对值之和 路程 往返时与位移不同 “跳变”是碰撞在图像上的签名：碰撞时间极短，图上表现为同一时刻速度的竖直跳变。若某段图线是斜线，那是有力持续作用（如重力、摩擦），不是碰撞。 多次碰撞就是多次跳变：把每次跳变的位置标出来，整个过程就变成若干段“匀变速”的拼接，每段都可以单独算。 知识点02 面积与路程、位移 图像 面积代表 用途 位移（带符号） 求位移、判断相遇 （取绝对值） 路程 求总路程、摩擦生热 冲量 求动量变化、平均力 功 求动能变化 “路程”与“位移”在图像上差一个绝对值：有往返时，位移是面积的代数和，路程是面积的绝对值之和。求摩擦生热必须用路程。 电动窗帘的多个滑块的题：由“碰后共同速度”可以反推“动量如何分配”，再用 或 的面积核对冲量。这类题的关键是“先算共同速度，再算冲量”。 知识点03 冲量—动量图与能量折线 图像 斜率 特征点 合外力 斜率突变＝碰撞 —— 每次碰撞后下台阶 合外力 分段直线 —— 累积冲量 图是“下楼梯”：每次非弹性碰撞后动能下降一个台阶，弹性碰撞则回到原高度。看图像的“台阶”就能判断碰撞类型。 图像法在多次碰撞中的价值：把“代数递推”变成“看图数台阶”，尤其在选项只问“趋势”“大小关系”时，比列式快得多。 思·维·迁·移 考向02 多个滑块的碰撞——共同速度与冲量分配 7．(多选)(2023·广东卷，10)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型，多个质量均为1 kg的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力F，推动滑块1以0.40 m/s的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为0.04 s，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为0.22 m/s，关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有(　　) A.该过程动量守恒 B.滑块1受到合外力的冲量大小为0.18 N·s C.滑块2受到合外力的冲量大小为0.40 N·s D.滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题九 数学归纳法及图像法解决多次碰撞问题（复习讲义） 考情分析·二轮定向 深挖命题规律，找准二轮备考落点 思维导图·体系构建 打破专题边界，搭建知识体系框架 专题精讲·知能进阶 三阶闭环导学，内化学科解题方法 知识单元01 碰撞的类型与守恒判据 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 弹性、非弹性与完全非弹性 知识点2 碰撞的“三个制约” 知识点3 多次碰撞中“哪些量不变” 知识单元02 多次碰撞与数学归纳 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 递推：写出第 次与第 次的关系 知识点2 等比数列与极限 知识点3 位置递推与“追及”判据 知识单元03 图像法：把多次碰撞画成一条折线 真题动向 要点整合 思维迁移 知识点1 图上的“速度突变” 知识点2 面积与路程、位移 知识点3 冲量—动量图与能量折线 知识单元 高考解读 命题预测 知识单元01 碰撞的类型与 守恒判据 碰撞只有三条守恒关系可选：动量守恒必成立；动能守恒→弹性碰撞；碰后共速→完全非弹性（动能损失最大）。多个质量相等的小球（轻杆连接的双球、同向追碰）要求判断“机械能是否守恒、某位置速度多大、杆的弹力做正功还是负功”，本质是把“碰撞的守恒判据”搬到连接体上。 碰撞还要受“三条制约”：①动量守恒；②动能不增加；③碰后速度符合实际（追者不能穿过被追者）。2025 甘肃武威高三月考（、 两球同向追碰）四个选项分别检验这三条。 失分点：只验动量守恒就下结论；忘记“碰后速度必须合理”这一条；把“弹性碰撞”与“完全非弹性碰撞”的末速度公式混用。 考向预测：①三类碰撞的判据；②碰后速度的合理性检验；③连接体中的“类碰撞”过程。 考法预测：①列动量守恒＋动能关系；②用“速度不能穿越”排除选项；③弹性碰撞公式直接代入。 情境载体：小球正碰、轻杆连接的双球、滑块追碰、分子碰撞。 知识单元02 多次碰撞与 数学归纳 多次碰撞的通用套路是“递推”：设第 次碰后速度为 ，写出第 次的表达式，观察规律后用数学归纳法给出通项。弹性小球与地面反复碰撞（每次碰后竖直速度按同一比例减小）就是典型的等比数列：，总路程为 。 “位置递推”常与追及结合：小球与空心管（管长 、球在管上方 ）要求判断“球能否穿过管”，本质是“相对位移与管长比较”，与板块、传送带的判据同源。 失分点：直接套等比求和公式却忘了“第一次下落”与“之后往返”的项数不同；把“速度按比例减小”写成“动能按比例减小”；忽略“碰撞时间极短、位移可忽略”。 考向预测：①弹性小球反复碰地的路程与时间；②多次碰撞后的速度通式；③多体反复碰撞的周期与极限。 考法预测：①写 求通项；②分“首次”与“往返”两段求和；③用极限判断最终状态。 情境载体：落球反弹、分子碰撞、多球摆、滑块在挡板间往复。 知识单元03 图像法： 把多次碰撞画成折线 每次碰撞在 图上就是一次“竖直跳变”：碰撞时间极短，速度瞬间改变而位置连续，所以图线是“折线＋跳变”。把多次碰撞画在同一张图上，规律一眼可见。电动窗帘的多个滑块（2023 广东卷）要求由“共同速度”反推碰撞次数与冲量分配。 面积与冲量各管一段： 图的面积给位移与路程， 图的面积给冲量。安全气囊的力—时间曲线（2022 重庆卷）就是由曲线面积求冲量、再由冲量求平均力。 失分点：把“速度跳变”画成“斜线”（误以为碰撞需要时间）；求路程时没有把“往返”的面积取绝对值；把 图的面积直接当成动量（还要看初动量）。 考向预测：①多次碰撞的 图；②由图像求冲量与平均力；③图像与递推的结合。 考法预测：①画折线图标出每次碰撞；②面积求位移、求冲量；③由图像反推碰撞次数。 情境载体：落球反弹、安全气囊、滑块在挡板间往复、多球碰撞。 知识单元01 碰撞的类型与守恒判据 知识点01 弹性、非弹性与完全非弹性 真·题·动·向 以“轻杆连接的双球沿杆滑动”为载体，考系统机械能守恒与杆的做功判断 1．(2024·黑龙江、吉林模拟)如图所示，两个质量相等且可视为质点的小球a、b通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N固定且不接触(a、b球均可无碰撞通过O点)，且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　) A.a、b两球组成的系统机械能不守恒 B.a球到达与b球等高位置时速度大小为 C.a球运动到最低点时，b球速度最大，最大值为 D.a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功 思路点拨： 获取信息：两球质量相等，用长 的刚性轻杆连接， 球套在竖直杆上、 球套在水平杆上，初始杆与竖直方向成 45°。整个装置无摩擦。 先判“守恒什么”：只有重力做功（杆的弹力是内力，且两球沿杆方向的速度分量相同、杆力做功之和为零），故系统机械能守恒。A 项说“不守恒”是错的。 用几何定位移：杆长 、与竖直方向成 45°，则初始时 、 到交点的距离都是 。当 落到最低点时， 到达交点、 再下降 ，故 下降的总高度为 。 逐项判断：B 项“等高位置”时 速度为零，由机械能守恒得 ，故 B 错；C 项最低点时 速度最大，，得 ，C 正确；D 项杆对 的弹力先做负功、后做正功、再做负功，故 D 错。 方法提炼：杆连接体的“类碰撞”处理——先用几何定出各物体的位移关系，再用机械能守恒列式。杆的弹力做功不必单独算，把它当内力即可。 易错提醒：“ 到最低点时 速度最大”这句话要会证： 到交点后无法继续向右（被杆约束），速度必然在该点取极值。凭直觉说“最低点速度为零”就错了。 【答案】　C 【解析】 　a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误;a球到达与b球等高位置时，b球速度为零，根据系统机械能守恒，则mgL=m，解得va=，故B错误;当a球运动到两杆的交点后再往下运动L，此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0，b球的速度达到最大，则mg(L+L)=m，所以vb=，故C正确;由于系统机械能守恒，a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功，故D错误。 要·点·整·合 知识点01 弹性、非弹性与完全非弹性 类型 动量 动能 碰后速度 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 减少 介于弹性与共速之间 完全非弹性 守恒 损失最大 碰后共速 “动能不增加”是判断选项的利器：很多选择题给出一个“碰后速度”，只需验证“碰后总动能 ≤ 碰前总动能”就能排除。 三类碰撞的“能量账”：弹性碰撞动能守恒；完全非弹性碰撞损失 ；一般的非弹性碰撞介于两者之间。 知识点02 碰撞的“三个制约” 制约 表达式 作用 动量守恒 必满足 动能不增 排除“能量凭空增加”的选项 速度合理 碰后追者不快于被追者 排除“穿过”的选项 “速度合理”这一条最容易被忘：两球同向追碰后，后面的球速度不能大于前面的球（否则就“穿过去了”）；迎面碰撞后，两者必须反向或至少不再相互接近。把这句翻译成不等式，可以直接排除一批选项。 三条制约要一起用：只验动量守恒往往剩下两三个选项，再用“动能不增”与“速度合理”才能定出唯一答案。 知识点03 多次碰撞中“哪些量不变” 量 是否改变 说明 系统总动量 不变 无外力 系统总动能 逐次减少 非弹性碰撞 共同速度 首次碰撞后确定 之后不再改变 相对位移 逐次累积 求路程时相加 “动量守恒、动能递减”是多次碰撞的主线：每碰一次动能就少一块，最终所有物体共速、动能降到最小值。这条趋势能帮你判断“最终状态”。 碰撞时间极短，位移可忽略：所以在 图上碰撞表现为“竖直跳变”，在位移计算中“碰撞瞬间物体不动”。这两条是图像法的基础。 思·维·迁·移 考向01 同向追碰——三个制约的联合检验 2．(多选)(2025·甘肃武威高三月考)如图所示，光滑水平面上有一质量mA=1 kg的A球和一质量mB=1.5 kg的B球同向运动。已知A球的初速度v1=10 m/s，B球的初速度v2=5 m/s，运动一段时间后，两球发生对心正碰。下列说法正确的是(　　) A.当两球发生的碰撞是弹性碰撞时，A球对B球的冲量为7.5 N·s B.碰撞的过程中，系统损失的机械能可能为8 J C.碰撞后，A球的速度可能为5 m/s D.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时，A球对B球的冲量为3 N·s 【答案】　CD 【解析】 　发生弹性碰撞时，根据动量守恒定律及机械能守恒定律有mAv1+mBv2=mAvA+mBvB，mA+mB=mA+mB，解得vA=4 m/s，vB=9 m/s，A球对B球的冲量为I=mBvB－mBv2=6 N·s，A错误;若发生完全非弹性碰撞，则mAv1+mBv2=v，解得v=7 m/s，则碰撞后A球的速度在4 m/s到7 m/s之间，完全非弹性碰撞的机械能损失最大，为ΔE=mA+mBv2=7.5 J，B错误，C正确;当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时，A球对B球的冲量为I'=mBv－mBv2=3 N·s，D正确。 对点练3　爆炸、反冲和人船模型 知识单元02 多次碰撞与数学归纳 知识点01 递推：写通项、找规律 真·题·动·向 以“弹性小球与地面反复碰撞”为载体，考等比数列与总路程 3．(多选)(2025·河北保定高三期末)将弹性小球以某初速度从O点水平抛出，与地面发生弹性碰撞(碰后竖直速度与碰前等大反向，水平速度不变)，反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端。已知O点高度为1.25 m，与挡板的水平距离为6.5 m，挡板高度为0.8 m，g=10 m/s2，不计空气阻力的影响。下列说法中正确的是(　　) A.小球水平方向的速率为5 m/s B.小球第一次落地时速度与水平方向的夹角为30° C.小球经过挡板上端时，速度与水平方向夹角的正切值为1 D.小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为0.2 s 思路点拨： 获取信息：小球从一定高度水平抛出，与地面发生弹性碰撞——“碰后竖直速度与碰前等大反向”，水平速度不变。 分解运动：水平方向匀速（碰撞不影响水平速度），竖直方向每次碰后“速率不变、方向反向”，相当于把竖直运动“翻折”回来。 递推的思路：设第 次碰前竖直分速度为 ，弹性碰撞给出 （大小不变），故竖直分速度的大小序列是常数——这不是衰减型等比数列，而是“等幅”往复。若是非弹性碰撞，则为 的等比数列。 判据：每次碰撞只改变竖直速度的方向，水平速度始终不变；因此水平位移随时间线性增加，总水平位移由总时间决定。 方法提炼：“弹性”与“非弹性”在递推上的区别就是“比值 是否等于 1”。弹性碰撞 （等幅），非弹性碰撞 （衰减，路程收敛于 ）。做题时先定 ，再套等比数列。 易错提醒：不要一见“多次碰撞”就套等比求和。本题是弹性碰撞，竖直速率不变，总时间要用“每段上升与下落时间相等”来累加。 【答案】　AD 【解析】 　反弹后在下降过程中恰好经过固定于水平面上的竖直挡板的顶端，则从O点抛出到反弹上升到最高点所用时间为t1=2=2× s=1 s，从最高点下降经过竖直挡板的顶端所用时间为t2== s=0.3 s，则小球水平方向的速率为v0== m/s=5 m/s，故A正确;小球第一次落地时竖直方向分速度为vy== m/s=5 m/s，则小球第一次落地时速度与水平方向的夹角满足tan θ==1，解得θ=45°，故B错误;小球经过挡板上端时，竖直方向分速度为vy'=gt2=3 m/s，则速度与水平方向夹角的正切值为tan θ'==，故C错误;小球从挡板上端运动到水平地面经历的时间为Δt=== s=0.2 s，故D正确。 要·点·整·合 知识点01 递推：写出第 n 次与第 n+1 次的关系 碰撞类型 递推关系 通项 弹性（） 非弹性（恢复系数 ） 完全非弹性 碰后即停 与墙碰撞（质量悬殊） 同上 “写两项、找规律、验一项”是归纳法的三步：先算 、，猜出 ，再用“第 次到第 次”的递推验证。高考题不会要求严格证明，但要求“写出通项并代入”。 恢复系数 的定义： 碰后分离速度 ÷ 碰前接近速度。 为弹性碰撞， 为完全非弹性碰撞。题目若给“碰后速率是碰前的 倍”，则 。 知识点02 等比数列与极限 量 等比数列 求和结果（） 每次上升高度 总路程 总时间 第 次速度 趋于零 “首次下落”与“之后往返”要分开算：第一次下落只走 （不乘 2），之后每次都是“上去再下来”，所以要乘 2。漏掉这一条，答案会少一项。 总路程收敛的条件是 ：弹性碰撞（）时总路程发散（永远弹下去），这也是“弹性小球永不停息”的物理含义。 知识点03 位置递推与“追及”判据 情形 判据 结论 球能否穿过空心管 相对位移与管长比较 则穿过 多次碰后能否追上 速度关系与位移差 看是否“追者快于被追者” 滑块在挡板间往复 每次行程递减 总路程用等比求和 多球依次碰撞 动量逐次传递 末球获得最大速度 “能否穿过”本质是相对位移问题：与板块、传送带的判据完全一样——把两者的位移相减，与“长度”比较即可。 相对位移要选对参考系：小球与空心管这类题以“管”为参考系最方便，管的运动与球的运动一减，相对位移一目了然。 思·维·迁·移 考向01 小球与空心管的相对运动——能否穿过的判据 4．(多选)(2025·四川遂宁高三期中)如图所示，在足够高的空间内，小球位于空心管的正上方h处，空心管长为L，小球球心与管的轴线重合，并在竖直线上释放小球，小球可以无碰撞的穿过空心管，不计空气阻力，则下列判断正确的是(　　) A.两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，则小球穿过管的时间为 B.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为 C.两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，则小球穿过管的时间为 D.两者均无初速度释放，但小球提前了Δt时间释放，则小球穿过管的时间为 【答案】　AD 【解析】 　两者同时释放，小球具有竖直向下的初速度v0，管无初速度，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有t=，故A正确;若两者均无初速度释放，但小球提前Δt时间释放，以管为参考系，小球相对管匀速运动，则有v=gΔt，L=vt，可知小球穿过管的时间为t=，故D正确;两者同时释放，管具有竖直向上的初速度v0，小球无初速度，以小球为参考系，管相对小球向上匀速运动，则有t=，故B、C错误。 考向02 橡皮擦与桌面的碰撞——恢复系数与能量损失 5．(2025·广东东莞高三月考)某同学在距水平桌面一定高度处将一橡皮擦由静止释放，橡皮擦以3 m/s的速度与水平桌面发生碰撞，碰撞后以1 m/s的速度反向弹回，已知碰撞的时间为0.2 s，则橡皮擦与桌面发生碰撞过程中的平均加速度为(　　) A.10 m/s2，方向向上　　　B.10 m/s2，方向向下 C.20 m/s2，方向向上　　　D.20 m/s2，方向向下 【答案】　C 【解析】 　取向下为正方向，则碰撞过程中橡皮擦的初速度为3 m/s，末速度为－1 m/s。根据加速度的定义式有a== m/s2=－20 m/s2，所以加速度大小为20 m/s2，方向竖直向上，故C正确。 知识单元03 图像法：把多次碰撞画成一条折线 知识点01 v-t 图上的“速度突变” 真·题·动·向 以“安全气囊的力—时间曲线”为载体，考冲量的图像求法与缓冲原理 6．在汽车相撞时，汽车的安全气囊可使头部受伤率减少约25%，面部受伤率减少80%左右。如图所示，某次汽车正面碰撞测试中，汽车以108 km/h的速度撞上测试台后停下，安全气囊在系有安全带的司机的正前方水平弹出，司机用时0.2 s停下。车内司机的质量为50 kg，则下列说法正确的是(　　) A.安全气囊的作用是减小碰撞前后司机动量的变化量 B.安全气囊对司机的作用力小于司机对安全气囊的作用力 C.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小为300 N·s D.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的平均作用力大小为7 500 N 思路点拨： 获取信息：题目给出假人头部所受作用力随时间变化的曲线，要求比较“有无气囊”两种情况下冲量、平均力、动量变化的大小。 图像给的是“力的时间累积”： 图线与横轴围成的面积就是冲量 。两种情况下头部的动量变化相同（初末速度一样），故冲量相同。 “缓冲”的本质是延长作用时间：， 不变而 变大，则平均力 变小。气囊把“硬碰”变成“软碰”，靠的就是这一条。 逐项判断：凡说“冲量变小”的选项都错（冲量由动量变化决定，与时间无关）；凡说“平均力变小”“作用时间变长”的选项都对。 方法提炼：“冲量不变、时间变长、力变小”是缓冲问题的三句话。安全气囊、缓冲弹簧、跳高垫、包装泡沫，全都是这个原理。 易错提醒：不要把“冲量”与“平均力”混为一谈。冲量由 决定，是“结果”；平均力是“冲量除以时间”，是“手段”。 【答案】　D 【解析】 　汽车剧烈碰撞瞬间，安全气囊弹出，立即跟司机身体接触。司机在很短时间内由运动到静止，动量的变化量是一定的，由于安全气囊的存在，作用时间变长，根据动量定理Δp=FΔt知，司机所受作用力减小，A错误;由牛顿第三定律知，B错误;碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小I=Δp=mΔv=50×30 N·s=1 500 N·s，对司机的平均作用力== N=7 500 N，C错误，D正确。 要·点·整·合 知识点01 v-t 图上的“速度突变” 图像特征 物理含义 注意 竖直跳变 碰撞瞬间速度突变 时间极短，位移可忽略 折线斜率 各段的加速度 碰撞前后斜率不同 与 轴面积 位移（带符号） 往返时正负相消 面积绝对值之和 路程 往返时与位移不同 “跳变”是碰撞在图像上的签名：碰撞时间极短，图上表现为同一时刻速度的竖直跳变。若某段图线是斜线，那是有力持续作用（如重力、摩擦），不是碰撞。 多次碰撞就是多次跳变：把每次跳变的位置标出来，整个过程就变成若干段“匀变速”的拼接，每段都可以单独算。 知识点02 面积与路程、位移 图像 面积代表 用途 位移（带符号） 求位移、判断相遇 （取绝对值） 路程 求总路程、摩擦生热 冲量 求动量变化、平均力 功 求动能变化 “路程”与“位移”在图像上差一个绝对值：有往返时，位移是面积的代数和，路程是面积的绝对值之和。求摩擦生热必须用路程。 电动窗帘的多个滑块的题：由“碰后共同速度”可以反推“动量如何分配”，再用 或 的面积核对冲量。这类题的关键是“先算共同速度，再算冲量”。 知识点03 冲量—动量图与能量折线 图像 斜率 特征点 合外力 斜率突变＝碰撞 —— 每次碰撞后下台阶 合外力 分段直线 —— 累积冲量 图是“下楼梯”：每次非弹性碰撞后动能下降一个台阶，弹性碰撞则回到原高度。看图像的“台阶”就能判断碰撞类型。 图像法在多次碰撞中的价值：把“代数递推”变成“看图数台阶”，尤其在选项只问“趋势”“大小关系”时，比列式快得多。 思·维·迁·移 考向02 多个滑块的碰撞——共同速度与冲量分配 7．(多选)(2023·广东卷，10)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型，多个质量均为1 kg的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力F，推动滑块1以0.40 m/s的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为0.04 s，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为0.22 m/s，关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有(　　) A.该过程动量守恒 B.滑块1受到合外力的冲量大小为0.18 N·s C.滑块2受到合外力的冲量大小为0.40 N·s D.滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N 【答案】　BD 【解析】 　取向右为正方向，滑块1和滑块2组成的系统的初动量为p1=mv1=1×0.40 kg·m/s=0.40 kg·m/s，碰撞后总的动量为p2=2mv2=2×1×0.22 kg·m/s=0.44 kg·m/s，p1≠p2，则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A错误;对滑块1，取向右为正方向，则有I1=mv2－mv1=1×0.22 kg·m/s－1×0.40 kg·m/s=－0.18 kg·m/s，负号表示方向水平向左，故B正确;对滑块2，取向右为正方向，则有I2=mv2=1×0.22 kg·m/s=0.22 kg·m/s，故C错误;对滑块2，根据F12Δt=I2，解得F12=5.5 N，则滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N，故D正确。 对点练3　应用动量定理处理流体类问题 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $