3.7 二元一次方程组的应用（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册
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内容正文：
第三章 一次方程（组）
07讲 二元一次方程组的应用
目录
【知识点1. 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 1】
【题型1. 行程问题 4】
【题型2. 销售、利润问题 7】
【题型3. 方案问题 11】
【题型4. 工程问题 19】
【题型5. 数字与年龄问题 20】
【题型6. 分配问题 23】
【题型7. 几何问题 25】
【题型8. 古代问题 30】
【题型9. 其他问题 32】
【课后作业 37】
知识清单
1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤
巩固基础
1．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船顺利发射．为弘扬航天精神，某校航天社团拟采购一批航天纪念徽章和纪念摆件．已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜4元，购买5枚徽章和3个摆件，一共需要108元．设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题目给出的两个等量关系，分别列出方程即可得到正确方程组．
【详解】解：∵设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜元，
∴；
∵购买枚徽章和个摆件一共需要元，
∴总花费满足；
因此所列方程组为．
2．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
【答案】(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
(2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案．
【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可；
（2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可．
【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台．
则有： ，解得：，
所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．
②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台．
则有： ，解得：，（不符合题意舍去）．
③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台．
则有： ，解得：．
所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台．
（2）解：方案一获利为：（元）；
方案二获利为：（元）．
因为，
所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多．
3．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？
【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只
(2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只
【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可；
（2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得．
【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B，
设竖式做个，横式做个，
则，解得：，
答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只；
（2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型，
设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），
已知竖式箱子做20只，总板材需求满足：
A型总数：，整理得：，即；
B型总数：，整理得：，
将代入，得：，
因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）；
代入得：，，是最小的正整数，
即的最小值为，此时能制作横式箱子只．
直击考点
题型1. 行程问题
【例1】甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙．设甲、乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题是追及问题，等量关系是：甲的行程=乙的行程．应该注意的是：如甲用s就追上了乙，则乙也同时跑了s.
此题是追及问题，等量关系是：甲的行程=乙的行程．乙比甲先跑m，那么甲跑s就能追上乙，则；甲让乙先跑s，那么甲跑s就能追上乙，则
【详解】解：设甲，乙每秒分别跑m和m，
则可列出的方程组是．
故选：A．
【例2】小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？
【答案】小华家离学校
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长，
根据等量关系，得：，
解得，
于是，上坡路与平路的长度之和为，
答：小华家离学校．
【变式1】从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是________．
【答案】
【分析】 设飞机的平均速度为km/h，风速为km/h，根据航行问题的数量关系建立方程组求出其解即可.
【详解】解：设风速为km/h，飞机无风时的平均速度为km/h．
根据题意，得
解得
∴飞机无风时的平均速度为km/h，风速为km/h．
故答案为：km/h．
【点睛】本题考查了根据题意列二元一次方程组求解的问题，熟练掌握是解决本题的关键．
【变式2】新情境 高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？
【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可.
【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，
根据题意，得，
解得，
答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米．
【变式3】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
(2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．
（1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可．
【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒
由题意可得
解得
答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒；
（2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步
由题意可得
因为m、n为正整数，n为15的整数倍，
，，
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
当时，完成接力任务的时间为（秒）
答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒．
题型2. 销售、利润问题
【例1】某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A服装和2件B服装，需元；购进3件A服装和4件B服装，需元．A、B两种服装的进货单价分别是多少？
【答案】A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件
【分析】设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可．
【详解】解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件
由题意得：，
解得，
∴A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件．
【变式1】某商店销售、、三种型号的饮料，随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元，已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元．问：、两种饮料调价前的单价各为多少？设、两种饮料调价前的单价分别为元，元，则根据题意可列方程为___________；
【答案】
【分析】根据题干给出的两个等量关系，分别列出方程，组成方程组即可，第一个等量关系为调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元．
【详解】解：设、两种饮料调价前的单价分别为元，元，
根据题意可得，
故答案为：．
【变式2】七年级（1）班的部分同学去某航天科技馆参加科技体验活动，第一组有2人选择“VR星际漫游”项目，3人选择“火箭发射模拟”项目，共花费190元；第二组有4人选择“VR星际漫游”项目，2人选择“火箭发射模拟”项目，共花费220元．求“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目的单次体验价格各为多少元？
【答案】“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元
【详解】解：设“VR星际漫游”项目的单次体验价格为元，“火箭发射模拟”项目的单次体验价格为元．
由题意可列方程组
解得
答：“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目单次体验价格分别为35元和40元．
【变式3】暑假即将来临，某学校为确保学生暑期安全，购买了《交通安全》和《防溺水安全》两种宣传手册，发放给学生进行安全宣传教育．九年级（1）班购买了20本《交通安全》手册和30本《防溺水安全》手册，共花费130元，九年级（2）班购买了25本《交通安全》手册和27本《防溺水安全》手册，共花费131元．求每本《交通安全》手册和《防溺水安全》手册各多少元？
【答案】每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元
【详解】解：设每本《交通安全》手册元，每本《防溺水安全》手册元．
由题意得，
解得：．
答：每本《交通安全》手册2元，每本《防溺水安全》手册3元．
【变式4】
背景
为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果．
素材
已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题：
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价；
(2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱．
【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元
(2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱
【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元，列出方程组，解方程组即可；
（2）设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据购买甲、乙两种苹果，恰好花费600元，列出二元一次方程，根据方程的解为正整数，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元；
（2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得：
，
∵m、n为正整数，
∴，
答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱．
【变式5】某早餐店出售肉粽、蜜枣粽两种食品，已知购买2个肉粽、3个蜜枣粽需44元，购买3个肉粽，5个蜜枣粽需70元．
(1)肉粽，蜜枣粽的单价各为多少元？
(2)应顾客要求，店里新增八宝粥，单价为5元/份．除了单卖三种食品，店里新增A套餐：一个肉粽与一份八宝粥，售价为12元/套；B套餐：一个蜜枣粽与一份八宝粥，售价为10元/套．
①若某公司需购买20个肉粽，30个蜜枣粽，40份八宝粥，则至少需要多少元？
②若该早餐店某天共售出肉粽140个，蜜枣粽110个，八宝粥180份，总销售额（含单一品种食品与套餐的销售额）共为2760元，则其中A，B套餐共售出多少套？
【答案】(1)肉粽单价为10元，蜜枣粽单价为8元
(2)①至少需要520元；②A，B套餐共售出140套
【分析】（1）设肉粽的单价为元，蜜枣棕的单价为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）①根据题意，为了花费最少，优先把肉粽、蜜枣与八宝粥组合成套餐，可知购买20份肉粽配20份八宝粥；购买20份蜜枣粽配20份八宝粥；单独购买10份蜜枣粽时花费为最少，然后根据单价，列式计算最少花费即可；
②设A套餐共售出套，B套餐共售出套，则可得到肉粽单卖个，蜜枣粽单卖个，八宝粥单卖个，根据题意得到，化简计算得到．
【详解】（1）解：设肉粽的单价为元，蜜枣棕的单价为元，
根据题意得，
解得，
答：肉粽单价为10元，蜜枣粽单价为8元；
（2）解：①∵肉粽单价为10元，蜜枣粽单价为8元，八宝粥单价为5元，且A套餐：一个肉粽与一份八宝粥，售价为12元/套；B套餐：一个蜜枣粽与一份八宝粥，售价为10元/套，
需要购买20个肉粽，30个蜜枣粽，40份八宝粥，
∴为了花费最少，优先把肉粽、蜜枣与八宝粥组合成套餐，
∴购买20份肉粽配20份八宝粥；购买20份蜜枣粽配20份八宝粥；单独购买10份蜜枣粽；
∴（元），
∴至少需要520元；
②设A套餐共售出套，B套餐共售出套，则肉粽单卖个，蜜枣粽单卖
个，八宝粥单卖个，
∴由题意可知，，
，
，
，
，
∴，
答：A、B套餐共售出140套．
题型3. 方案问题
【例1】在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟．
(1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？
(2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？
【答案】(1)大号钟振动频率为，小号钟振动频率为
(2)共有三种采购方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与二元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题目信息建立等式．
（1）设小号钟振动频率为，通过建立方程求解即可；
（2）通过列二元一次方程并寻找正整数解得到方案即可．
【详解】（1）解：设小号钟振动频率为，则大号钟振动频率为，
根据题意，，
即，
解得，
∴大号钟振动频率为HZ，
∴大号钟振动频率为，小号钟振动频率为．
（2）解：设采购A材料张，B材料桶，其中和均为正整数，
根据题意，，
简化得，
即，
由于为正整数，必须为整数，故为3的倍数，
尝试值：
当时，；
当时，；
当时，；
当时，（无效），
因此共有三种方案：①采购A材料12张、B材料3桶；②采购A材料8张、B材料6桶；③采购A材料4张、B材料9桶．
【变式1】“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表：
购买服装的套数
每套服装的价格/元
70
60
50
如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元．
(1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？
(2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？
(3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案．
【答案】(1)5100元
(2)甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛
(3)甲、乙两班联合购买101套服装
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）若甲、乙两个班级联合起来购买服装，则每套是50元，计算出总价即可；
（2）设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（3）此题中主要是应注意联合购买时，仍然达不到101人，因此可以考虑买101套，计算其价钱然后与单独购买、联合购买的价钱进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得（元），
所以如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付5100元．
（2）解：设甲班有x名学生报名参加比赛，乙班有y名学生报名参加比赛．
由题意，得，
解得，
所以甲班有56名学生报名参加比赛，乙班有46名学生报名参加比赛．
（3）解：（名），（名），
所以甲班有51名学生参加比赛，甲、乙两班共有97名学生参加比赛．
方案一：甲、乙两班联合购买97套服装，则需要（元）．
方案二：甲、乙两班各自购买服装，则需要（元）
方案三：甲、乙两班联合购买101套服装，则需要（元）．
因为，所以最省钱的购买服装方案是甲、乙两班联合购买101套服装．
【变式2】暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务．
调研一
租用型客车数量
租用型客车数量
租金总费用
调研二
型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位；
调研三
七年级师生共人前往外地研学；
(1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元；
(2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适．
【答案】(1)元，元
(2)两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适
【分析】（1）设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设租用型客车辆，型客车辆，根据题意得出，求出的非负整数解，即可解答；
【详解】（1）解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，
由题意得，，
解得，
答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元；
（2）解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆，
由题意得，，
整理得，，
∵为非负整数，
，或，，
∴有两种方案：方案：型辆，型辆；
方案：型辆，型辆；
方案的费用：元；
方案的费用：元，
∵两种方案费用相同，
∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保，
∴选用方案更合适．
【变式3】长治市太行山区盛产优质山野菜，某文旅公司计划收购本地山野菜，开发特色农旅产品，助力乡村振兴．已知该公司一次性收购了23吨山野菜，经市场调研，产品销售与加工情况如下：
直接销售：每吨可获利500元；
粗加工包装（制作即食野菜包）：每吨可获利2500元，每天可加工4吨；
精加工制罐（制作山野菜罐头）：每吨可获利4000元，每天可加工吨．
同一时间两种加工方式不能同时进行，且所有原料必须在7天内全部销售或加工完毕．为了实现收益最大化，公司研究了以下三种方案：（1）方案一：全部进行粗加工并包装；（2）方案二：尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）方案三：部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成．
请你帮助公司分析计算，完成以下任务：
(1)分别计算方案一、方案二的总获利；
(2)求方案三中粗加工和制作罐头的天数，并计算方案三的总获利；
(3)比较三种方案的总获利，为公司推荐最优方案，并结合长治文旅产业发展，说说该方案对农旅融合的意义．
【答案】(1)方案一总获利57500元，方案二总获利48250元
(2)方案三中粗加工的天数为5天，制作罐头的天数为2天，方案三总获利62000元
(3)推荐方案三，该方案可提升农产品附加值，带动本地就业增收，打造特色农旅产品，助力长治农旅融合发展与乡村振兴
【分析】（1）根据题意直接计算两种方案的总获利即可；
（2）设方案三中粗加工的天数为x天，制作罐头的天数为y天，根据7天一共要加工23吨建立方程组求解，再计算方案三的总获利即可；
（3）根据（1）（2）所求比较三种方案的总获利，推荐总获利最高的方案，再结合实际分析意义即可．
【详解】（1）解：，
则方案一的总获利元，
，
则方案二的总获利为元，
答：方案一总获利57500元，方案二总获利48250元；
（2）解：设方案三中粗加工的天数为x天，制作罐头的天数为y天，
由题意得，，
解得，
∴方案三中粗加工的天数为5天，制作罐头的天数为2天，
∴方案三的总获利为元．
（3）解：∵，
∴方案三的总获利最多，
∴推荐方案三，
该方案可提升农产品附加值，带动本地就业增收，打造特色农旅产品，助力长治农旅融合发展与乡村振兴．
【变式4】恰逢各大商家年中大促，胡老师准备购买一批文具用于班级期末奖励．已知某品牌的盒笔和套笔记本共元，盒笔与套笔记本共元．
大促期间，该品牌的线上，线下门店分别有如下优惠：
(1)求每盒笔及每套笔记本的销售单价；
(2)若在线下店铺购买元的商品（件数超过件），则实际享受的折扣率是多少？
（折扣率（原价现价）原价）
(3)若胡老师预算元（含，）用于购买笔，笔记本这两款文具，如何购买享受的折扣率最大？并求出此时的两款文具各自的购买数量（两款文具均有购买）．
【答案】(1)每盒笔单价为30元，每套笔记本单价为25元；
(2)实际享受的折扣率是；
(3)线上使用满480减60优惠券，总原价480元时折扣率最大．此时，购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本．
【分析】（1）设笔单价元，笔记本单价元，根据两组总价条件列二元一次方程组，求解得到单价；
（2）先算出九六折后的金额，再算出积分返现金额，代入折扣率定义公式计算折扣率；
（3）先对比线上、线下优惠力度，分别写出线上三类满减券的实付、线下九六折积分返现的实付，结合预算，列出总原价，分别计算两种渠道折扣率，找出折扣率最大的方案，再求对应采购数量．
【详解】（1）解：设每盒笔单价元，每套笔记本单价元．则
，
解得，
∴每盒笔单价为30元，每套笔记本单价为25元；
（2）解：∵原价元，件数超3件，享96折．
∴现价（元），
∵获得积分分，
∴返现10元，
∴折扣率，
答：实际享受的折扣率是；
（3）解：设总原价为，，购买盒笔，套笔记本，则，，．
①线下优惠计算：付款，积分，返现金额，
：
当时，返现（元），实际支出（元），
当时，返现（元），实际支出（元），
∴当时，线下折扣率为，
当时，线下折扣率为；
②线上三类优惠券：
券1：满1500减220，，不可用；
券2：满480减60，适用，
当时，折扣率为，
当时，折扣率为，
券3：满200减25，适用，
当时，折扣率为，
对比折扣率：
线上满480减60最高折扣率（），高于线下最高、满200券．
∴线上使用满480减60优惠券，总原价480元时折扣率为最大，
令，，，
∴，
∴，
∵为整数，
∴为5的倍数，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，（舍去，无笔记本）．
∴满足两款都购买的组合为：购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本．
答：线上使用满480减60优惠券，总原价480元时折扣率最大．此时，购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本；或购买盒笔，套笔记本．
题型4. 工程问题
【例1】某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答）
【答案】天中有天不下雨，有天下雨
【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组；
根据天共修建了可列方程组求解即可．
【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨，
根据题意，得
解得，
答：这天中有天不下雨，有天下雨．
【变式1】某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？
【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键．
设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解．
【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元．
根据题意，得，
解得，
答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元．
【变式2】某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
【答案】
A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒．
【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，
由题意得，
解得，
答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒．
题型5. 数字与年龄问题
【例1】一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____．
【答案】47
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故这个两位数为47；
故答案为：47．
【变式1】算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______．
【答案】615
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设个位数字为，十位数字为，根据个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，
由题意，得：，
解得：，
∴这个三位数为．
故答案为：．
【变式2】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．
【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键．
设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答．
【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，
根据题意，得
解得
答：小明现在8岁，小亮现在12岁．
【变式3】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．
(1)求这个两位数．
(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？
(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)35
(2)大18
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案．
（2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案．
（3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意，
【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得
解得，
∴这个两位数是．
（2）解：对调后的新两位数为53，
答：新两位数比原两位数大18．
（3）解：不存在
理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，
根据题意得
整理方程②： ，即 ．
∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，
此时（不是个位数），不符合题意，
故不存在这样的两位数．
题型6. 分配问题
【例1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人．
(1)请根据题意，列出二元一次方程组；
(2)宿舍有多少间？学生有多少人？
【答案】(1)
(2)宿舍有11间，学生有45人
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．
（1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可；
（2）利用代入消元法解答即可．
【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人．
根据题意，列出二元一次方程组：；
（2）解：由（1）得
把②代入①，可得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴二元一次方程组的解为，
答：宿舍有11间，学生有45人．
【变式1】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答）
【答案】应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮
【分析】设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，根据等量关系列出方程，再进行求解即可．
【详解】解：设应该分配名工人负责生产大齿轮，分配名工人负责生产小齿轮，
由题意可得，
解得，
答：应该分配25名工人负责生产大齿轮，分配60名工人负责生产小齿轮．
【变式2】综合与实践：设计制作纸盒方案
如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片．
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
①
n个竖式无盖纸盒
n
②
(1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示）
(2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数；
(3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？
【答案】(1)；
(2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个．
(3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套．
【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可．
（2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可．
（3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，
则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片，
∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片．
则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片，
故答案为：，．
（2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，
，
解得：，
答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个．
（3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，
则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，
设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，
根据题意得：，
∵，
∴原式变成，
解得：，
∴，
答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套．
题型7. 几何问题
【例1】如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为
∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为
∴ 可得方程：，即
∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为
∴可得方程：，即
∴ 联立可得方程组：．
【变式1】将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________．
【答案】
【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可．
【详解】解：设长方体木块的长为，
由题意可知木块的宽为，
根据图和图可得方程：，即，
，得，
解得．
【变式2】问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
【答案】(1)①484；②立方厘米；
(2)4厘米，或7厘米，或8厘米
【分析】本题考查展开图折叠成几何体，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，长方体的底面积，长方形的体积等知识点，运用了分类讨论的思想．解题的关键根据展开图得出长方体长宽高．
（1）①根据题意，首先求得长方体纸盒底的长与宽，再根据长方形面积公式计算即可；
②设，，根据长方体展开图的性质，列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）长方体展开图的性质，分5种情况分析，列一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：①结合题意，得长方体纸盒底的长宽均为（厘米），
∴长方体纸盒的底面积（平方厘米）；
故答案为：484；
②如图，设，，
∵能折成一个无盖长方体纸盒，且，
∴，
∴，，
即，
∴，
∴，
∴该长方体纸盒的体积为立方厘米；
（2）解：设小明剪去的小正方形的边长为m厘米，
展开方式1如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
该方程无解；
展开方式2如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴；
展开方式3如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
展开方式4如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
展开方式5如下图：
∵无盖长方体展开图的外围周长为156厘米，
∴，
∴，
综上所述，小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长为4厘米，或7厘米，或8厘米．
题型8. 古代问题
【例1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少？”若设每只雀，燕的重量各为x两，y两，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两．
∵五只雀、六只燕共重16两，
∴可得第一个方程 ．
∵互换其中一只后， 4只雀加1只燕的重量等于剩余5只燕加1只雀的重量，
∴可得第二个方程 ．
因此符合题意的方程组为．
【例2】二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
【答案】甜果657个，总价803文；苦果343个，总价196文
【分析】设甜果有x个，苦果有y个，根据题意列方程组求出，然后计算总价即可．
【详解】解：设甜果有x个，苦果有y个，
根据题意得，
解得
∴（文），（文），
答：甜果657个，总价803文；苦果343个，总价196文．
【变式1】清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题：“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数是乙数四倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百枚，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲采果数是乙采果数的四倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，
∵甲乙二人共采果300枚，
∴，
又∵甲采果数加600，乙采果数加200后，新甲采果数是新乙采果数的四倍，
∴，
∴可得方程组．
【变式2】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________．
【答案】
【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示的方程组的解．
【详解】解：依题意得：图2所表示的方程组为，
解得：．
【变式3】《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为，“”的值为，则“天”与“地”的和为________．
【答案】
【分析】根据题干给出的对应关系，设“天”为，“地”为，根据已知条件列出二元一次方程组，整体计算即可．
【详解】解：设“天”为，“地”为，
根据题干给出的代数式对应规则，可得方程组：，
整理得：，
得：，
两边同除以得：．
【变式4】我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？
【答案】甜果买了657个，苦果买了343个
【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系．
设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可．
【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个．
列方程组得，，
解得，
答：甜果买了657个，苦果买了343个．
题型9. 其他问题
【例1】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（ ）
A．20分 B．22分 C．23分 D．25分
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设投中外环得分分，投中内环得分，根据小虎得19分和明明得21分，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：设投中外环得分分，投中内环得分，
依题意，得：，
解得：，
∴．
故选：D．
【例2】如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳．
【答案】6
【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，
由题意得：，
解得，
则，
解得，
所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳．
【例3】篮球比赛中投进一个球，所得分值有3种：3分，2分和1分．一名篮球队员在一场比赛中15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍．求投进三分球的个数．
【答案】投进3分球2个
【详解】解：设投进3分球x个，2分球个，1分球y个，
，
解得，
答：投进3分球2个．
【变式1】王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（ ）
A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g
【答案】B
【分析】设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g，根据配成了含糖8%的混合饮料240g列出方程组解答即可．
【详解】解: 设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g,
由题意得
解得:
∴含糖6%的饮料用了160g，含糖12%的饮料用了80g．
故选: B
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【变式2】加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设明文为，由加密规则得方程组，解此方程组即可得明文，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设明文为，由加密规则得方程组：
，
解得：，
∴明文为：，
故答案为：
【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元．
阶梯
电量
电价
一档
电量
元/度
二档
电量
二档电价
三档
电量
三档电价
请解答下列问题：
(1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？
(2)求二档电价和三档电价分别为多少？
(3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？
【答案】(1)96元
(2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度
(3)442元
【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可；
（2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可；
（3）根据所给收费标准列式求解即可．
【详解】（1）解：（元）．
答：王先生家5月份应交电费96元．
（2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，
依题意，得，
解得．
答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度．
（3）解：（元）．
答：何女士家5月份应交电费442元．
【变式4】丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表：
食品种类营养成分
一盒牛奶
一袋坚果
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质．
(1)求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量；
(2)初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由．
【答案】(1)1盒牛奶，2袋坚果
(2)这天小畅脂肪摄入量没有超标
【分析】（1）根据题干给出的总能量和总蛋白质摄入量，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两种食品的数量；
（2）先计算出早餐摄入的脂肪量，加上其他时间段摄入的脂肪量得到总脂肪量，再和标准范围比较即可判断是否超标．
【详解】（1）解：设这天小畅早餐食用了盒牛奶，袋坚果，
根据题意列方程组，
化简方程组得
解得
即这天小畅早餐吃了1盒牛奶，2袋坚果；
（2）解：
∵初中生每日脂肪摄入量的标准约为，且
∴总脂肪摄入量在标准摄入量范围内
这天小畅脂肪摄入量没有超标．
课后作业
1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可．
【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得
．
2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设书架上数学书有本，语文书有本，
．
3．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________．
【答案】62
【分析】设原两位数的个位数字为，十位数字为，根据数位数字之和、新数与原数的数量关系列方程组求解.
【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为，
根据题意列方程组：
，
整理第二个方程得 ，
解得 ，
因此原来的两位数为 .
4．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
【答案】一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨
【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨，
根据题意得，，
解得，
答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨．
5．（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题：
电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？
【答案】实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张．
【分析】本题根据总票数和总花费两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，求解方程组即可得到结果．
【详解】解：设实践小组买了星光厅票张，银河厅票张，
根据题意可得，
解得，
即实践小组买了星光厅票5张，银河厅票15张．
6．（25-26七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．”
小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有________人；
(2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
【答案】(1)
(2)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元．
【分析】（1）根据“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车可少租2辆，且正好坐满”，可得出关于a的一元一次方程，解方程得到a的值，再将其代入中，即可解答；
（2）设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，根据“60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元，租用4辆60座和2辆45座的客车，一天的租金共计5100元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
，
参加此次活动的七年级师生共有420人．
（2）解：设客运公司60座客车每辆每天的租金是x元，45座客车每辆每天的租金是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：客运公司60座客车每辆每天的租金是900元，45座客车每辆每天的租金是750元．
7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图1中与的值．
(2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)，
(2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个
【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得：；
（2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，
将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个），
∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；
∴，
解得，
∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个．
8．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？
【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车
【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可．
【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．
由题意得．
解得．
一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．
9．（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表．
姓名：小亮 家庭人数：4人
月份
家庭用电消耗量（度）
天然气消耗量（）
总碳足迹（）
月
月
（家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量）
设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值．
【答案】
【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为．
根据题意得
化简整理得
用得，
解得，
将代入中得，
解得，
∴方程组的解为，
答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为．
10．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件
(2)快递车的总配送路程是330千米
【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得：
，
解得：，
每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件；
（2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得：
解得：，
快递车的总配送路程是330千米．
11．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）项目化学习
校园社团器材采购规划
素材一
学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表：
器材类型
每套需管理志愿者人数
单套采购费用（元）
科创套装
2
800
美术套装
3
1100
素材二
本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元．
(1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？
(2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？
【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套
(2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低
【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解；
（2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案．
【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套，
根据题意得：，
解得：，
答：采购科创套装套，采购美术套装套；
（2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套，
根据题意得：，
整理可得：，
又，均为非负整数，且，
或，
共有种采购方案，
方案1：采购总成本为（元）
方案2：采购总成本为（元）；
，
当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低．
12．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）根据以下素材，完成任务．
如何生产纸盒
素材1
工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）
素材2
工厂仓库内现存有的正方形纸板300张，的长方形纸板600张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
(1)若做2个竖式无盖纸盒和1个横式无盖纸盒，则需正方形纸板________张，长方形纸板_______张．
(2)根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完．
【答案】(1)4，11
(2)竖式60个，横式120个
【分析】（1）先确定单个竖式、横式纸盒消耗的正方形、长方形纸板数量，再分别计算2个竖式+1个横式所需纸板总和；
（2）设两种纸盒数量为未知数，依据正方形纸板总300张、长方形纸板总600张列二元一次方程组，解方程组得到纸盒个数．
【详解】（1）解：单个竖式纸盒：正方形1张，长方形4张；
单个横式纸盒：正方形2张，长方形3张．
正方形纸板：张，
长方形纸板：张．
（2）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个．依题意得：
，
，
所以竖式无盖纸盒做60个，横式无盖纸盒做120个，恰好将库存纸板用完．
13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用）
【任务一】拟定裁切方式
(1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块；
(2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）；
【任务二】确定搭配数量
(3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得．
要求：
①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）；
②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材；
请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材．
【答案】(1)
(2)解：∵，
∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板，
∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为，
∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，
∴板材最多可以切出四块桌面，
∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料，
∴满足条件的裁切方案：
方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块；
方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块；
方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块；
方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块；
(3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材
【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解；
（2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可；
（3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸，
∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块；
（2）略
（3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，
∴还需要块桌面，块桌腿挡板，
①选择方案一和方案二，
设方案一和方案二用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得，
此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；
②选择方案一和方案三，
设方案一和方案三用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得，
此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材；
③选择方案一和方案四，
设方案一和方案四用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得不是整数，不合题意；
④选择方案二和方案三，
设方案二和方案三用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得，不合题意；
⑤选择方案二和方案四，
设方案二和方案四用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得，不合题意；
⑥选择方案三和方案四，
设方案三和方案四用到的板材分别为张和张，
由题意可得：，
解得，不合题意；
综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材．
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第三章 一次方程（组）
07讲 二元一次方程组的应用
目录
【知识点1. 用二元一次方程组解决实际问题的步骤 1】
【题型1. 行程问题 3】
【题型2. 销售、利润问题 4】
【题型3. 方案问题 7】
【题型4. 工程问题 10】
【题型5. 数字与年龄问题 11】
【题型6. 分配问题 12】
【题型7. 几何问题 13】
【题型8. 古代问题 15】
【题型9. 其他问题 16】
【课后作业 18】
知识清单
1、用二元一次方程组解决实际问题的步骤
巩固基础
1．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船顺利发射．为弘扬航天精神，某校航天社团拟采购一批航天纪念徽章和纪念摆件．已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜4元，购买5枚徽章和3个摆件，一共需要108元．设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．
(1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案．
(2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？
3．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．
(2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？
直击考点
题型1. 行程问题
【例1】甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙．设甲、乙每秒分别跑xm和ym，则可列出的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？
【变式1】从A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，逆风飞行同样的航线需13h，则飞机在无风时的平均速度是________．
【变式2】新情境 高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？
【变式3】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒．
(1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？
(2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？
题型2. 销售、利润问题
【例1】某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A服装和2件B服装，需元；购进3件A服装和4件B服装，需元．A、B两种服装的进货单价分别是多少？
【变式1】某商店销售、、三种型号的饮料，随着夏季来临，天气逐渐炎热，该商店决定从今年月日起将饮料每瓶的价格上调，将饮料每瓶的价格下调，饮料价格不变，是每瓶元，已知调价前、、三种饮料各买一瓶共花费元，调价后买饮料瓶、饮料瓶共花费元．问：、两种饮料调价前的单价各为多少？设、两种饮料调价前的单价分别为元，元，则根据题意可列方程为___________；
【变式2】七年级（1）班的部分同学去某航天科技馆参加科技体验活动，第一组有2人选择“VR星际漫游”项目，3人选择“火箭发射模拟”项目，共花费190元；第二组有4人选择“VR星际漫游”项目，2人选择“火箭发射模拟”项目，共花费220元．求“VR星际漫游”和“火箭发射模拟”项目的单次体验价格各为多少元？
【变式3】暑假即将来临，某学校为确保学生暑期安全，购买了《交通安全》和《防溺水安全》两种宣传手册，发放给学生进行安全宣传教育．九年级（1）班购买了20本《交通安全》手册和30本《防溺水安全》手册，共花费130元，九年级（2）班购买了25本《交通安全》手册和27本《防溺水安全》手册，共花费131元．求每本《交通安全》手册和《防溺水安全》手册各多少元？
【变式4】
背景
为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果．
素材
已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元．
请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题：
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价；
(2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱．
【变式5】某早餐店出售肉粽、蜜枣粽两种食品，已知购买2个肉粽、3个蜜枣粽需44元，购买3个肉粽，5个蜜枣粽需70元．
(1)肉粽，蜜枣粽的单价各为多少元？
(2)应顾客要求，店里新增八宝粥，单价为5元/份．除了单卖三种食品，店里新增A套餐：一个肉粽与一份八宝粥，售价为12元/套；B套餐：一个蜜枣粽与一份八宝粥，售价为10元/套．
①若某公司需购买20个肉粽，30个蜜枣粽，40份八宝粥，则至少需要多少元？
②若该早餐店某天共售出肉粽140个，蜜枣粽110个，八宝粥180份，总销售额（含单一品种食品与套餐的销售额）共为2760元，则其中A，B套餐共售出多少套？
题型3. 方案问题
【例1】在“古编钟非遗技艺传承基地”的修复工作中，传承人需根据古编钟的声学标准调整钟体，同时采购传统工艺材料修复编钟．
(1)修复一套战国编钟时，大号钟的振动频率是小号钟的，经声学检测，两者频率之和为（赫兹，频率的单位）、求这套编钟里大号钟和小号钟的振动频率分别是多少？
(2)为保证修复后编钟的音质与耐久性，需采购A、B两种传统工艺材料：A材料（青铜合金片）每张45元，用于加固钟体：B材料（天然漆料）每桶60元，用于钟体髹（xiū）漆（非遗髹漆工艺）、传承人提供的材料经费共720元，要求经费全部用完且两种材料都必须采购（缺一不可），共有哪几种采购方案？
【变式1】“元旦”期间，某校组织开展班级歌咏比赛，甲、乙两班共有学生102人（其中甲班人数多于乙班人数，且甲班人数不足100人）报名购买服装参加比赛．下面是某服装厂给出的服装的价格表：
购买服装的套数
每套服装的价格/元
70
60
50
如果两班分别单独购买服装，总共要付款6580元．
(1)如果甲、乙两班联合起来购买服装，那么共需付多少钱？
(2)甲、乙两班各有多少名学生报名参加比赛？
(3)如果甲班有5名学生因特殊情况不能参加比赛，请你为两班设计一种省钱的购买服装的方案．
【变式2】暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务．
调研一
租用型客车数量
租用型客车数量
租金总费用
调研二
型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位；
调研三
七年级师生共人前往外地研学；
(1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元；
(2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适．
【变式3】长治市太行山区盛产优质山野菜，某文旅公司计划收购本地山野菜，开发特色农旅产品，助力乡村振兴．已知该公司一次性收购了23吨山野菜，经市场调研，产品销售与加工情况如下：
直接销售：每吨可获利500元；
粗加工包装（制作即食野菜包）：每吨可获利2500元，每天可加工4吨；
精加工制罐（制作山野菜罐头）：每吨可获利4000元，每天可加工吨．
同一时间两种加工方式不能同时进行，且所有原料必须在7天内全部销售或加工完毕．为了实现收益最大化，公司研究了以下三种方案：（1）方案一：全部进行粗加工并包装；（2）方案二：尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）方案三：部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成．
请你帮助公司分析计算，完成以下任务：
(1)分别计算方案一、方案二的总获利；
(2)求方案三中粗加工和制作罐头的天数，并计算方案三的总获利；
(3)比较三种方案的总获利，为公司推荐最优方案，并结合长治文旅产业发展，说说该方案对农旅融合的意义．
【变式4】恰逢各大商家年中大促，胡老师准备购买一批文具用于班级期末奖励．已知某品牌的盒笔和套笔记本共元，盒笔与套笔记本共元．
大促期间，该品牌的线上，线下门店分别有如下优惠：
(1)求每盒笔及每套笔记本的销售单价；
(2)若在线下店铺购买元的商品（件数超过件），则实际享受的折扣率是多少？
（折扣率（原价现价）原价）
(3)若胡老师预算元（含，）用于购买笔，笔记本这两款文具，如何购买享受的折扣率最大？并求出此时的两款文具各自的购买数量（两款文具均有购买）．
题型4. 工程问题
【例1】某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答）
【变式1】某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？
【变式2】某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
题型5. 数字与年龄问题
【例1】一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____．
【变式1】算盘起源于中国，是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次可代表十进位值制的个位、十位、百位……，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，且个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字比十位数字多4，则小华要表示的这个三位数是______．
【变式2】小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．
【变式3】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数．
(1)求这个两位数．
(2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？
(3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由．
题型6. 分配问题
【例1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人．
(1)请根据题意，列出二元一次方程组；
(2)宿舍有多少间？学生有多少人？
【变式1】工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个．已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为了使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少名工人负责生产大齿轮，多少名工人负责生产小齿轮？（使用二元一次方程组的知识解答）
【变式2】综合与实践：设计制作纸盒方案
如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片．
纸盒类型
正方形（张数）
长方形（张数）
m个横式无盖纸盒
①
n个竖式无盖纸盒
n
②
(1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示）
(2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数；
(3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？
题型7. 几何问题
【例1】如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________．
【变式2】问题情景：某数学兴趣小组开展了“无盖长方体纸盒的制作”实践活动．
(1)综合实践小组利用边长为30厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子．
①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为______平方厘米；
②根据图2方式制作一个无盖的长方体纸盒，先在纸板上剪去一个小长方形，再沿虚线折合起来，已知，求该长方体纸盒的体积；
(2)小明按照图1的方式用边长为30厘米的正方形纸片制作了一个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子研究无盖长方体的展开图，他发现其中有一种展开图外围周长为156厘米，求小明剪去的四个同样大小的小正方形的边长．（求出所有可能的情况）
题型8. 古代问题
【例1】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：“五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少？”若设每只雀，燕的重量各为x两，y两，则符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：
九百九十九文钱 甜果苦果买一千 甜果九个十一文
苦果七个四文钱 试问甜苦果几个 又问各该几个钱
【变式1】清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题：“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数是乙数四倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百枚，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲采果数是乙采果数的四倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________．
【变式3】《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为，“”的值为，则“天”与“地”的和为________．
【变式4】我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？
题型9. 其他问题
【例1】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖．规定在同一环内（分为内环和外环）得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是（ ）
A．20分 B．22分 C．23分 D．25分
【例2】如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳．
【例3】篮球比赛中投进一个球，所得分值有3种：3分，2分和1分．一名篮球队员在一场比赛中15投10中得20分，投进两分球的个数是投进三分球个数的3倍．求投进三分球的个数．
【变式1】王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（ ）
A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g
【变式2】加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是______．
【变式3】为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元．
阶梯
电量
电价
一档
电量
元/度
二档
电量
二档电价
三档
电量
三档电价
请解答下列问题：
(1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？
(2)求二档电价和三档电价分别为多少？
(3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？
【变式4】丰富的营养对学生的身体和智力发展具有至关重要的作用．小畅家长为初中生小畅订购了某种盒装牛奶和袋装坚果作为早餐，它们的营养成分表如表：
食品种类营养成分
一盒牛奶
一袋坚果
能量
蛋白质
脂肪
碳水化合物
钠
钙
某天早晨，小畅从这两种食品中恰好摄入能量和蛋白质．
(1)求这天小畅早餐的牛奶及坚果数量；
(2)初中生每日脂肪摄入量的标准约为，若小畅这天其他时间段从其他食品中共摄入脂肪，试判断这天小畅脂肪摄入量是否超标，并说明理由．
课后作业
1．（2026·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．数学书和语文书共有90本，恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各有多少本？设书架上数学书有本，语文书有本，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知一个两位数的个位和十位上的数字之和为，个位上的数字与十位上的数字交换位置后，所得的新两位数比原两位数小，则原来的两位数是________．
4．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？
5．（25-26七年级下·北京·期中）列二元一次方程组解应用题：
电影《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱。据最新统计更新，《哪吒之魔童闹海》新增部分海外票房后，全球累计票房已达22.674亿美元！超过《泰坦尼克号》的22.648亿美元总票房，升至全球影史票房榜第4名！某电影院有两个不同规格的观影厅，星光厅每张票售价40元，银河厅每张票售价50元．某学校一个实践小组进行观影活动，需购买20张票，由于星光厅余票不足20张，所以购买了部分银河厅的票，一共用了950元．请问实践小组买了星光厅票和银河厅票各多少张？
6．（25-26七年级下·吉林四平·期末）古人曰：“读万卷书，行万里路”经历是最好的学习，研学是最美的相遇．某中学七年级同学开启了期盼已久的研学活动，师生一起去参观博物馆．下面是王老师和小真、小萱同学有关租车问题的对话：
王老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，座客车每辆每天的租金比座的贵元．”
小真：“八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到该博物馆参观，一天的租金共计元．”
小萱：“如果我们七年级租用座的客车辆，那么还有人没有座位；如果租用座的客车可少租辆，且正好坐满”．
根据以上对话，解答下列问题：
(1)参加此次活动的七年级师生共有________人；
(2)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：）
(1)列出方程（组），求出图1中与的值．
(2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
8．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？
9．（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表．
姓名：小亮 家庭人数：4人
月份
家庭用电消耗量（度）
天然气消耗量（）
总碳足迹（）
月
月
（家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量）
设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值．
10．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹．
(1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？
(2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？
11．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）项目化学习
校园社团器材采购规划
素材一
学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表：
器材类型
每套需管理志愿者人数
单套采购费用（元）
科创套装
2
800
美术套装
3
1100
素材二
本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元．
(1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？
(2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？
12．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）根据以下素材，完成任务．
如何生产纸盒
素材1
工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm）
素材2
工厂仓库内现存有的正方形纸板300张，的长方形纸板600张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
(1)若做2个竖式无盖纸盒和1个横式无盖纸盒，则需正方形纸板________张，长方形纸板_______张．
(2)根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完．
13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用）
【任务一】拟定裁切方式
(1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块；
(2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）；
【任务二】确定搭配数量
(3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得．
要求：
①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）；
②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材；
请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材．
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学科网（北京）股份有限公司
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