专题34 直线与圆锥曲线- 2027年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2027年职教高考数学必刷题 专题34 直线与圆锥曲线 一、【考点剖析】 1.直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系，椭圆中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 2.直线与双曲线的位置关系: 直线与双曲线的位置关系，双曲线中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 3.直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 二、【真题精练】 考点一：直线与椭圆的位置关系 1．（2026高三·江苏·专题练习）直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 【答案】D 【分析】先求出直线的必过定点，利用椭圆的性质得到点在椭圆内部，进而得到位置关系即可. 设椭圆上的点为，则，， 而直线恒过定点，则该定点在椭圆的内部， 可得不论k为何值，直线与椭圆都相交，故D正确. 故选：D 2．（2026高三·江苏·专题练习）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据点在椭圆上或椭圆内，结合二次方程表示椭圆，即可求得参数的范围. 表示椭圆，故可得，且； 又直线过点，根据题意，在椭圆内或椭圆上，故，又，故； 综上所述，，且. 故选：C. 3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出直线的斜率，将点 代入椭圆标准方程，利用点差法，结合中点公式，即可得出答案． 【详解】过点的直线与椭圆交于两点，设点， 则直线的斜率为． 因为点在椭圆上，所以， 两式相减可得， 整理可得， 又线段的中点是，则， 所以，即， 可得． 故选：C. 4．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作x轴的垂线交椭圆于点P若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出过点，垂直于x轴的直线方程，联立直线与椭圆的方程求解点P坐标，再由，求解a，b，c之间的关系求解离心率即可. 【详解】因为直线过且垂直于x轴， 所以直线的直线方程为， 将代入， 解得，所以， 因为， 所以， 所以， 即， 因为，等式两边同时除， 所以， 解得或（舍）， 故椭圆的离心率是. 故选:D. 5．（25-26高三·江西·模拟预测）已知点，，动点到点，的距离和等于4. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)若曲线与直线相交于A、两点，求弦的长. 【答案】(1)椭圆， (2) 【分析】（1）先根据题意判断出点的轨迹是椭圆，再根据写出标准方程即可； （2）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求解即可得. 【详解】（1）∵点到两定点，的距离之和为4大于两定点间的距离，∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则设其方程为， 则，，即，， 故， ∴点的轨迹方程为. （2）设，， 联立，得， 则有， ∴ ． 考点二：直线与双曲线的位置关系 6．（23-24高三下·浙江·职教高考）若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧，由此可求参数范围. 【详解】如图，双曲线焦点在轴，直线垂直于轴； 所以若直线与双曲线有两个交点，则直线在双曲线右顶点右侧，在左顶点左侧； 双曲线，，左顶点坐标为，右顶点坐标为； 则或，即； 故选：A.    7．（24-25高三上·浙江·模拟预测）直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程，根据整理得到的方程及其根的个数即可判断. 【详解】联立直线与双曲线的方程，消除得到， 整理得一元一次方程，解得， 代入解得，这表明直线与双曲线有一个公共交点， 双曲线中，双曲线渐近线与直线平行并且不重合， 所以直线与双曲线相交且只有一个交点. 故选：B. 8．（19-20高三·安徽·三模）过点作一条直线与双曲线：相交于两点，若为中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点差法可得直线的斜率，故直线的方程为，直线与双曲线联立方程组消得，由韦达定理代入得到结果. 【详解】设， 代入双曲线方程得，即， 两式相减得， 化简得， 因为为中点， 所以， 所以，即所求直线的斜率， 由点斜式求出直线的方程为，即， 联立方程组得，消掉得， 由韦达定理得， 所以 故选：D 9．（21-22高三·山东·职教高考）已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，则直线的方程为.联立方程可得，又因为，代入化简可得，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，又， 则直线的方程为， 由，可得， 由，及， 得， 化简得，则. 故选：A. 10．（24-25高三下·浙江·职教高考）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 【详解】（1）∵ ∴， 又∵渐近线方程为， ∴， ∴所求双曲线的标准方程为. （2）设，， 则， 由得，③ ∵是AB的中点， ∴，， ∴③式即， ∴， ∴. （3）由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得， ∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 考点三：直线与抛物线的位置关系 11．（24-25高三下·浙江温州·三模）过点且与抛物线C：有且仅有一个公共点的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分类讨论直线斜率存在和不存在的情况，结合只有一个交点即可得解. 【详解】当直线斜率不存在时，过点的直线为， 将代入中得，只有一个交点，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组得， 当时，此时，解得，有唯一解，此时直线方程为，符合题意，； 当时，，解得，此时直线方程为， 所以符合条件的直线有条， 故选：. 12．（25-26高三下·江西·模拟预测）已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先求解抛物线的焦点，由此可得直线的方程，联立抛物线与直线求解长度即可. 【详解】∵抛物线的焦点， 又直线过点，且轴， ∴， 联立，可得或， ∴. 故选：C. 13．（24-25高三上·安徽·阶段检测）已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，且弦AB的中点到直线的距离为3，则直线AB的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出斜率得到直线方程，再与抛物线联立方程组，根据韦达定理与中点弦求解即可. 【详解】直线斜率不存在时，则方程为，中点到的距离是，不符题意； 设直线的斜率为k，交抛物线于，两点抛物线焦点， 联立直线与抛物线方程得 消去y得， 弦的中点到直线的距离为3，则中点横坐标， 即，得 故选：B. 14．（25-26高三上·广东·二模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果线段的中点到y轴的距离是5，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合抛物线方程求得准线方程，继而求得线段的中点到准线的距离，即可求得两点到准线的距离之和，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为抛物线，所以， 所以焦点坐标为，准线方程为， 又线段的中点到y轴的距离是5， 所以线段的中点到准线的距离为， 所以两点到准线的距离之和为， 根据抛物线的定义可得. 故选：D. 15．（25-26高三上·广东·一模）动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义求出曲线方程， （2）通过点差法求出直线的斜率，进而可得直线的方程. 【详解】（1）动点与定点的距离等于到直线的距离，且直线不经过点， 所以点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 设抛物线的方程为，其焦点坐标为， 由焦点可得，解得， 所以曲线的方程为. （2）若直线垂直于轴，则直线的方程为， 此时线段的中点纵坐标为0，与是线段的中点的条件矛盾，故直线斜率存在. 设，，且， 因为、在曲线上，所以， 两式相减得：，即， 因为点是线段的中点，可得，即， 则直线的斜率， 又直线过点， 则直线的方程为，即. 联立，消去整理得， 则，符合题意， 综上，直线的方程为.    三、【考点演练】 16．（2026高三·江苏·专题练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 由可得， 故，故或， 故选：D. 17．（2026高三·江苏·专题练习）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可. 设，两点的坐标分别为，，则， 又两式作差得， 故，所以，解得． 此时椭圆方程为，联立直线方程有， ，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意. 故选：B． 18．（25-26高三下·江苏·三模）若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，结合双曲线的性质，点到直线的距离公式及弦长公式得出，，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线， 不妨设渐近线方程为，即， 将圆化为标准方程， 其圆心坐标为，半径为2，则圆心到渐近线的距离为， 又因为弦长为2，所以，即，从而， 又，得，则离心率. 故选：. 19．（19-20高三·湖南·三模）已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得此双曲线的渐近线方程，从而可得结果. 【详解】由题知此双曲线中，即可得其渐近线方程为， 又因为直线与双曲线的两支均有交点，可得此直线的斜率， 从而知直线的倾斜角范围为. 故选：D. 20．（25-26高三下·山东青岛·二模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（   ）. A．8 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质即可求解. 【详解】抛物线属于抛物线方程的标准形式（开口向右）， 得， 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即. 故选：C. 21．（23-24高三·山东济南·二模）已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线上一点为，求出点到直线的距离，利用配方法，由此能求出抛物线上一点到直线的距离最小值. 【详解】设抛物线上一点， 点到直线的距离 . 当时，即当时， 抛物线上一点到直线的距离最短， 且为. 故选：D. 二、解答题 22．（24-25高三下·湖南·职教高考）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 23．（25-26高三下·浙江·模拟预测）如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先求解与的长度，再由双曲线的定义求解a的值，由此求解即可； （2）①先求解直线l的方程，再联立直线与双曲线，求解点B的坐标即可求解； ②先求解点到直线的距离，再根据三角形面积求解即可. 【详解】（1）∵，， 由双曲线的定义知．可得， ∴， ∴双曲线C的标准方程为； （2）①∵直线l的斜率为， ∴直线l的方程为，即． 联立，解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴． ②∵点到直线l的距离为， ∴． 24．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可. （2）首先求出直线l，再与抛物线方程联立，再根据点到直线的距离公式以及三角形面积求解即可. 【详解】（1）由定义知，点到焦点的距离等于到准线的距离，且， 又， ， 所以，即， ∴抛物线的标准方程为. （2）由（1）知，，， 点P在抛物线上，设P点坐标. 由题意，直线l的斜率存在且，又直线过抛物线焦点， 所以直线为， 联立，消去y，整理得， 因为直线与抛物线交于点，点，所以， ，, 又点P到直线的距离， 所以 ，即， 可化为或， 解得或或， 当， ，当， ，当， ， 点的坐标为或或.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年职教高考数学必刷题 专题34 直线与圆锥曲线 一、【考点剖析】 1.直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系，椭圆中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 2.直线与双曲线的位置关系: 直线与双曲线的位置关系，双曲线中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 3.直线与抛物线的位置关系：直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长，焦点弦，中点弦与面积问题. 二、【真题精练】 考点一：直线与椭圆的位置关系 1．（2026高三·江苏·专题练习）直线与椭圆的位置关系为（ ） A．与k的值有关 B．相切 C．相离 D．相交 2．（2026高三·江苏·专题练习）直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25高三下·江西赣州·期中）已知椭圆：，过点的直线与椭圆交于两点，若线段的中点是，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西抚州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作x轴的垂线交椭圆于点P若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·江西·模拟预测）已知点，，动点到点，的距离和等于4. (1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程； (2)若曲线与直线相交于A、两点，求弦的长. 考点二：直线与双曲线的位置关系 6．（23-24高三下·浙江·职教高考）若双曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·浙江·模拟预测）直线与双曲线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交且只有一个交点 C．相交且有两个交点 D．相切 8．（19-20高三·安徽·三模）过点作一条直线与双曲线：相交于两点，若为中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高三·山东·职教高考）已知双曲线的左右焦点分别是，，是坐标原点，过点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·浙江·职教高考）如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线AB的斜率； (3)求的面积. 考点三：直线与抛物线的位置关系 11．（24-25高三下·浙江温州·三模）过点且与抛物线C：有且仅有一个公共点的直线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（25-26高三下·江西·模拟预测）已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 13．（24-25高三上·安徽·阶段检测）已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，且弦AB的中点到直线的距离为3，则直线AB的斜率为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·广东·二模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果线段的中点到y轴的距离是5，那么（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·广东·一模）动点与定点的距离等于P到直线的距离，动点P的轨迹曲线为C． (1)求曲线C的方程； (2)经过定点的直线l与曲线C交于A、B两点，且点M是线段的中点，求直线l的方程． 三、【考点演练】 16．（2026高三·江苏·专题练习）若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 17．（2026高三·江苏·专题练习）已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 18．（25-26高三下·江苏·三模）若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 19．（19-20高三·湖南·三模）已知直线与双曲线相交，且交点位于双曲线的左、右两支，则直线倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三下·山东青岛·二模）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点.若，则弦的长度为（   ）. A．8 B．9 C．11 D．15 21．（23-24高三·山东济南·二模）已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三下·湖南·职教高考）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 23．（25-26高三下·浙江·模拟预测）如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，且双曲线C经过点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若经过点A，的直线l交双曲线C的左支于点B，求： ①的值； ②的面积． 24．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）倾斜角是的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于点，且 (1)求抛物线的标准方程 (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $