专题32 双曲线- 2027年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2027年职教高考数学必刷题 专题32 双曲线 一、【考点剖析】 1.双曲线的定义：双曲线的定义；利用定义求轨迹方程；双曲线中的焦点三角形问题. 2.双曲线的标准方程：判断方程是否表双曲线；根据方程求参数的取值（或范围）；根据条件求双曲线的标准方程. 3.双曲线的几何性质：顶点，焦点，长轴长，短轴长，焦距，渐近线方程，离心率. 二、【真题精练】 考点一：双曲线的的定义 1．（21-22高三·浙江·模拟预测）方程所表示的曲线为（      ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支 2．（23-24高三上·河北·模拟预测）设是双曲线上的一点，若点到双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D．或 3．（25-26高三·广东·模拟预测）已知曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与曲线左支交于A ，B两点，AB的距离为5，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．26 D．32 4．（24-25高三下·吉林·职教高考）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则（   ） A．2 B．4 C．4或8 D．2或10 考点二：双曲线的标准方程 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 6．（25-26高三下·山东济南·二模）在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   7．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知方程表示双曲线，那么m取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．（26-27高二上·辽宁·课后作业）双曲线两焦点为，且双曲线上的点到两焦点距离之差的绝9对值为，其标准方程为（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·山东·一模）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三：双曲线的几何性质 10．（23-24高三上·广东·职教高考）双曲线的焦距为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 12．（25-26高三下·河北·二模）双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D．6 13．（24-25高三下·山东·职教高考）已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 14．（24-25高三下·江苏·职教高考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 三、【考点演练】 15．（2025高三·四川·专题练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 16．（25-26高三下·山东·模拟预测）方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高三·湖南·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 18．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）一焦点坐标为,一顶点坐标为的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20．（24-25高三下·四川·职教高考）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）在平面直角坐标系中，双曲线 的左、右焦点分别为 、，若双曲线右支上存在一点P，使得，且线段 的垂直平分线经过原点O，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 23．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 24．（25-26高三下·河北·模拟预测）已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 25．（25-26高三上·河南·模拟预测）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_______. 26．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 27．（25-26高三下·山东德州·三模）已知双曲线C：的离心率为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段的中点为，求直线l的方程． 28．（24-25高三下·江西·职教高考）已知双曲线方程为，其两顶点距离为，离心率为，且与过原点的直线交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若四边形的面积为，求的长度. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年职教高考数学必刷题 专题32 双曲线 一、【考点剖析】 1.双曲线的定义：双曲线的定义；利用定义求轨迹方程；双曲线中的焦点三角形问题. 2.双曲线的标准方程：判断方程是否表双曲线；根据方程求参数的取值（或范围）；根据条件求双曲线的标准方程. 3.双曲线的几何性质：顶点，焦点，长轴长，短轴长，焦距，渐近线方程，离心率. 二、【真题精练】 考点一：双曲线的定义 1．（21-22高三·浙江·模拟预测）方程所表示的曲线为（      ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线的一支 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式和双曲线的定义求解. 【详解】∵表示点到点的距离， 表示点到点的距离， ∴表示在平面内，到两个定点和的距离之差等于常数1的点的轨迹. 由于，即常数小于两定点之间的距离， 根据双曲线的定义，这样的点的轨迹是一条双曲线. 即表示为双曲线的一支. 故选：D. 2．（23-24高三上·河北·模拟预测）设是双曲线上的一点，若点到双曲线的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义即可求解. 【详解】双曲线方程为，则，又是双曲线上一点， 到双曲线的一个焦点的距离等于，设到另一个焦点的距离是， 由双曲线的定义，得，解得或. 故选：D. 3．（25-26高三·广东·模拟预测）已知曲线 的左、右焦点分别为，过的直线与曲线左支交于A ，B两点，AB的距离为5，则的周长为（    ） A．16 B．21 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义进行分析求解即可. 【详解】由定义可知，， 所以，. 又因为，所以的周长为. 故选：C. 4．（24-25高三下·吉林·职教高考）双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8，M是双曲线上的一点，且，则（   ） A．2 B．4 C．4或8 D．2或10 【答案】D 【分析】根据焦距求出值，代入求出值，利用双曲线的定义即可得解. 【详解】双曲线的焦距为8，即，所以， 双曲线，则，解得， 因为，设， 则，解得或， 经检验，或. 故选：. 考点二：双曲线的标准方程 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆 【答案】C 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 6．（25-26高三下·山东济南·二模）在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数图像的性质，椭圆及双曲线方程的定义即可得解. 【详解】选项，由一次函数图像可知，，所以此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合双曲线方程的定义，故错误， 选项，由一次函数图像可知，，此时的图像为焦点在轴的双曲线，故正确， 故选：. 7．（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知方程表示双曲线，那么m取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据双曲线的条件，得出不等式，即可得出结论. 【详解】因为方程表示双曲线. 所以，即, 解得. 故选：B. 8．（26-27高二上·辽宁·课后作业）双曲线两焦点为，且双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，其标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合双曲线的性质求出的值即可得解. 【详解】双曲线两焦点为，则，且焦点在轴上， 双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，则， 则， 所以双曲线的标准方程为， 故选：. 9．（25-26高三上·山东·一模）“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程的形式以及充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，则， 解得，故必要性不成立. 若“”，则方程表示双曲线，故充分性成立， 即“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 考点三：双曲线的几何性质 10（23-24高三上·广东·职教高考）双曲线的焦距为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质分析即可. 【详解】因为双曲线为， 所以可得， 所以， 所以，焦距. 故选：C. 11．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程及性质求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为：（或），其中， 所以双曲线的渐近线为（或）， 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以（或）， 整理得：（或）， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 12．（25-26高三下·河北·二模）双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程得到，即可求解实轴长. 【详解】双曲线中，因此， 所以实轴长为​. 故选：C. 13．（24-25高三下·山东·职教高考）已知双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线公式和离心率公式，代数求解即可. 【详解】因为双曲线方程为， 所以双曲线的焦点在轴，渐近线方程为， 又因为渐近线方程是，所以， 所以，即， 所以双曲线的离心率， 故选：C. 14．（24-25高三下·江苏·职教高考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】的最小值即焦点到渐近线的距离，根据双曲线方程求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式计算即可得出结果. 【详解】对于双曲线， 这里，则， 右焦点，渐近线方程为. 的最小值即焦点到渐近线的距离， 取渐近线，即， 则到该渐近线的距离， 所以最小值为. 故选：B. 三、【考点演练】 15．（2025高三·四川·专题练习）已知，分别是双曲线的左､右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（    ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义，可得，据此可求解. 【详解】由，可得，， 从而，， 所以. 因为P是双曲线左支上的点，所以， 两边平方，得， 所以， 所以， 所以. 故选：C 16．（25-26高三下·山东·模拟预测）方程表示双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：C. 17．（22-23高三·湖南·三模）“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】由双曲线的焦点位置判断m，n的正负继而判断充分性与必要性即可. 【详解】若， 则当时， 方程表示焦点在y轴上的双曲线， 所以“”推不出“方程表示焦点在x轴上的双曲线”，故充分性不成立. 若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有， 即，故必要性成立. 故“”是“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件. 故选:B. 18．（21-22高三下·吉林·对口/高职单招）一焦点坐标为,一顶点坐标为的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到的值，再由双曲线中的关系求解，进而求解. 【详解】由题可知，焦点，一顶点坐标为. 所以焦点在x轴.. 所以. 所以双曲线的标准方程为即. 故选：A. 19．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）若双曲线的离心率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意结合离心率公式求出值，代入即可得解. 【详解】双曲线，则， 因为离心率为，则，解得， ，解得， 故选：. 20．（24-25高三下·四川·职教高考）若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合椭圆的离心率可得，根据双曲线中离心率，继而求解. 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 21．（25-26高三下·安徽·对口/高职单招）在平面直角坐标系中，双曲线 的左、右焦点分别为 、，若双曲线右支上存在一点P，使得，且线段 的垂直平分线经过原点O，则双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合双曲线的定义得出，代入离心率公式即可得解. 【详解】 双曲线，则， 线段 的垂直平分线经过原点O，所以， 又因为， 在中，，则点在以为直径的圆上，即， ，在中，，， 因为在双曲线右支上，，则， 所以离心率， 故选：. 22．（25-26高三上·湖南湘潭·一模）双曲线的焦点为，，若双曲线上一点到焦点的距离为4，则点到焦点的距离为_____. 【答案】20 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线中，解得. 因为双曲线上一点到焦点的距离， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：20. 23．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）设双曲线的右焦点为，点在双曲线的左支上，点，当的周长最小时，__________________. 【答案】 【分析】根据双曲线方程得到即两焦点坐标，通过双曲线定义将求周长最小值转换为求的最小值， 再根据两点之间线段最短得到，即可求解. 【详解】由双曲线方程，得，，， 故右焦点，设左焦点为. 根据双曲线定义，左支上的点满足，即. 的周长，其中为定值， 因此周长最小即最小. 根据两点之间线段最短，当三点共线时，最小， 即， 此时. 故答案为：. 24．（25-26高三下·河北·模拟预测）已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 【答案】 【分析】利用双曲线的定义判断出动点P的轨迹，结合题意求出的值即可求解. 【详解】由题意得， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线， 因为焦点在轴上，设双曲线方程为， 又，所以， 又能构成三角形，所以不能在轴上，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 25．（25-26高三上·河南·模拟预测）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据双曲线方程以及一元二次不等式求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得. 故m的取值范围是. 故答案为：. 26．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）若双曲线的一个焦点坐标为，则________． 【答案】1 【分析】将方程转换成双曲线的标准方程，根据焦点坐标列出关于的方程，求解即可． 【详解】因为双曲线的焦点在y轴， 所以双曲线的标准方程为（），即， 因为其中一个焦点为，即， 所以由，得，解得． 故答案为：1． 27．（25-26高三下·山东德州·三模）已知双曲线C：的离心率为，且过点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段的中点为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合关系即可求解. （2）先设出点坐标，分别代入双曲线方程，结合中点坐标公式，直线的点斜式方程即可求解. 【详解】（1）设为双曲线的半焦距， 已知离心率，则，即， 则， 因为双曲线过点，所以， 可得，解得，从而， 所以双曲线的标准方程为. （2）设， 若，根据双曲线的对称性可知， 此时线段的中点在轴上，不符合题意，故. 因为、在双曲线上，所以， 两式相减得，即， 因为线段的中点为， 所以，，即，， 所以 ，则， 所以直线l的斜率，又直线过点， 故直线l的方程为，即. 联立，消去得， 此时，满足直线l与双曲线C交于两点. 综上，直线l的方程为.    28．（24-25高三下·江西·职教高考）已知双曲线方程为，其两顶点距离为，离心率为，且与过原点的直线交于，两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若四边形的面积为，求的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的顶点距离和离心率即可得到双曲线的标准方程； （2）先利用四边形的面积求出点，的坐标，再利用两点间的距离公式求出. 【详解】（1）因为双曲线两顶点距离为， 所以，即， 因为离心率为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的焦距为， 设， 因为，两点关于原点对称，所以. 因为四边形的面积为， 所以 ， 解得. 因为点A在双曲线上，将代入双曲线方程， 得，即， 不妨取， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $