专题31 椭圆- 2027年职教高考数学必刷题（原卷版+解析版）

2027年职教高考数学必刷题 专题31 椭圆 一、【考点剖析】 1.椭圆的定义：椭圆的定义；利用定义求轨迹方程；椭圆中的焦点三角形问题. 2.椭圆的标准方程：判断方程是否表椭圆；根据方程求参数的取值（或范围）；根据条件求椭圆的标准方程. 3.椭圆的几何性质：顶点，焦点，长轴长，短轴长，焦距，离心率. 二、【真题精练】 考点一：椭圆的定义 1．（23-24高三下·云南·职教高考）平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于6，则这个动点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义可知，再由求出，即可写出轨迹方程. 【详解】由平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于6， 则，因为， 所以动点的轨迹为以两个定点、为焦点的椭圆， 其中，所以，，， 且焦点在轴上，所以这个动点的轨迹方程是. 故选：C. 2．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由方程得， 的周长为， . 故选：D. 3．（21-22高三·浙江·一模）已知△ABC的两顶点，三角形的周长为20，则点A的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知点A到B、C两点的距离之和为14，由椭圆的定义，可求点A的轨迹方程． 【详解】∵△ABC的两顶点，三角形的周长为20，， ∴，即， ∴，且， ∴点A的轨迹是以为焦点，长轴长为14的椭圆（除去长轴的两顶点）， ∵， ∴点A的轨迹方程是． 故选：C． 4．（25-26高三上·四川宜宾·开学考试）已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为_____． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，椭圆上一点到两焦点的距离之和等于，即可求解. 【详解】设椭圆的焦点分别为， 长轴长为．易知，则． 令，得， 即到另一个焦点的距离为7． 故答案为：7. 考点二：椭圆的标准方程 5．（26-27高二上·辽宁·单元测试）方程表示的图形是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程即可得出结果. 【详解】因为椭圆标准方程形式：，. 方程是两个平方项分母为正数相加等于1，且分母， 所以符合椭圆的标准方程. 故选：B 6．（26-27高三·上海·职教高考）椭圆经过点，一个焦点为，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质和已知条件确定椭圆方程中的参数、即可. 【详解】已知椭圆的一个焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且半焦距， 因为椭圆经过点，且点在轴上， 所以点为椭圆的右顶点，那么长半轴， 设短半轴为，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 7．（24-25高三下·河南·职教高考）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程，即可列式求解. 【详解】因为方程表示椭圆， 所以须满足，即， 解得且， 故选：D. 8．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知椭圆的长轴两端点到同一焦点的距离分别为9和1，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，求出，再求出，进而写出椭圆方程. 【详解】由椭圆的长轴两端点到同一焦点的距离分别为9和1， 长轴两端点坐标分别为，焦点坐标分别为. 可得，解得， 故， 故该椭圆的方程为. 故选：A. 考点三：椭圆的几何性质 9．（24-25高三下·云南·职教高考）椭圆的长轴长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出，即可得到椭圆长轴长. 【详解】椭圆焦点在轴上，且， 所以椭圆长轴长为. 故选：D. 10．（24-25高三上·安徽合肥·期末）椭圆的离心率为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆方程求出值，代入离心率公式即可得解. 【详解】椭圆，所以焦点在轴上， ，， 所以， 所以离心率为， 故选：. 11．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可． 【详解】∵椭圆的焦距为，∴，即， ∵离心率为，∴，可得， ∴， ∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴椭圆的标准方程为． 故选：B． 12．（22-23高三·浙江·职教高考）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的重要组成部分.某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知道长轴长和短轴长,在利用椭圆的性质易得可以求出离心率. 【详解】由题意得,解得, 所以, 所以. 故选:A. 13．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）椭圆与椭圆的（    ） A．焦距相等 B．长轴长相等 C．短轴长相等 D．离心率相等 【答案】A 【分析】分别计算两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，对比各选项即可得解. 【详解】对于椭圆： 因为，所以焦点在轴上，可得，， 可得，则， 长轴长，短轴长，离心率，焦距. 对于椭圆： 因为，所以焦点也在轴上，此时，， 可得，则， 长轴长，短轴长，离心率，焦距， 比较两个椭圆的参数： 长轴长：，， 因为，显然当且时，；当时，； 短轴长：，， 因为，显然当且时，；当时，， 离心率：，， 因为，显然当且时，；当时，， 焦距：，，所以，即两个椭圆的焦距相等， 故选：A. 14．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质以及离心率公式的计算. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 因为椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分， 所以可得，即，从而， 故选：A. 三、【考点演练】 15．（2026高三·四川·专题练习）设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解三角形的周长. 【详解】对于椭圆，可得，，所以，， 可得，即， 由椭圆的定义可知，， 又因为， 所以的周长， 故选：C. 16．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程以及中点坐标公式求解即可. 【详解】椭圆中，所以，即. 则焦点，， 设，因为线段的中点在轴上， 即，解得，代入， 得到， 又为的中点，所以为的中位线， 即与轴垂直，且点坐标为， 所以. 故选：A. 17．（25-26高三·云南·对口/高职单招）经过点与点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合椭圆的性质求出的值即可得解. 【详解】椭圆过点与点， 则椭圆焦点在轴上，且，， 所以椭圆方程为. 故选：. 18．（20-21高三·江西九江·模拟预测）不论取任何实数，方程所表示的曲线不可能是（   ） A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【分析】根据椭圆、圆、双曲线、抛物线和直线的方程形式求解即可． 【详解】当时，方程即，即，所表示的曲线是两条直线； 当时，方程即，所表示的曲线是圆； 当为负数时，方程所表示的曲线是双曲线； 当为不为1的正数时，方程所表示的曲线是椭圆； 故方程不可能表示抛物线. 故选：C． 19．（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）设方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征，列不等式可求解. 【详解】显然，方程可化为， 由题可得，即 解得. 故选：B 20．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出的值，代入菱形面积公式即可得解. 【详解】椭圆方程，则， 连接四个顶点形成的是一个菱形，其对角线长分别为和， 则菱形面积， 故选：. 21．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定参数即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为，则长轴在轴上， ，，根据椭圆参数关系可得，即. 所以离心率为. 故选：A. 22．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 【答案】D 【分析】根据椭圆焦点位置的不同，结合椭圆中、、的关系以及焦距公式来求解的值. 【详解】设为半焦距， 已知椭圆焦距为，则，可得. 对椭圆分两种情况讨论： 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 当焦点在轴上时，满足，，， 由可得，即， 综上，的值为4或6， 故选：D. 23．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知椭圆的中点为原点，对称轴为坐标轴，左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于M，N两点，若的周长为28，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义及条件可求得，由焦点求出，进而利用椭圆的离心率公式求出结果. 【详解】∵过的直线与椭圆交于M，N两点， ∴，，， ∴的周长为， ∴， ∴椭圆的离心率为， 故选：B. 24．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 【答案】1 【分析】根据题意结合椭圆的标准方程及椭圆的定义求出，代入三角形的面积公式即可得解. 【详解】 椭圆，则，， ，解得，则， 因为点在该椭圆上，且， 则， 解得， 所以的面积是， 故答案为：. 25．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）椭圆的两个焦点分别为，，其短轴长与焦距相等. (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)椭圆上是否存在点，使得若存在，求此时的面积；若不存在请说明理由. 【答案】(1)椭圆方程为，离心率为. (2)存在，面积为. 【分析】（）根据题意判断出焦点位置，利用求出的值，结合离心率公式即可得解. （）根据题意利用椭圆的定义及勾股定理求出的值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的两个焦点分别为，， 所以椭圆的焦点在轴上，则， 因为短轴长与焦距相等，则， 则，解得，所以， 所以椭圆方程为，离心率为. （2）由（）可知，，则， 假设椭圆上存在点，使， 则，解得， 因为， 所以椭圆上存在点，使得， 此时的面积为.    26．（24-25高三下·湖南·职教高考）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合顶点坐标，求得a的值，结合离心率求得c的值，结合得关系，求得，继而求得椭圆的标准方程. （2）根据题意，将椭圆方程和直线方程联立方程组，结合韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，结合斜率公式，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，可知， 又离心率，得， 根据椭圆性质得， 因此椭圆方程为 （2）由（1）知，椭圆C方程为， 所以，消元化简整理得， 设，两点坐标为，点M坐标为， 所以，， 所以，， 所以中点坐标为， 所以,即直线的斜率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年职教高考数学必刷题 专题31 椭圆 一、【考点剖析】 1.椭圆的定义：椭圆的定义；利用定义求轨迹方程；椭圆中的焦点三角形问题. 2.椭圆的标准方程：判断方程是否表椭圆；根据方程求参数的取值（或范围）；根据条件求椭圆的标准方程. 3.椭圆的几何性质：顶点，焦点，长轴长，短轴长，焦距，离心率. 二、【真题精练】 考点一：椭圆的定义 1．（23-24高三下·云南·职教高考）平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于6，则这个动点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆左焦点，与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高三·浙江·一模）已知△ABC的两顶点，三角形的周长为20，则点A的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川宜宾·开学考试）已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为_____． 考点二：椭圆的标准方程 5．（26-27高二上·辽宁·单元测试）方程表示的图形是（　　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 6．（26-27高三·上海·职教高考）椭圆经过点，一个焦点为，则此椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·河南·职教高考）若方程表示椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 8．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知椭圆的长轴两端点到同一焦点的距离分别为9和1，则该椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考点三：椭圆的几何性质 9．（24-25高三下·云南·职教高考）椭圆的长轴长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 10．（24-25高三上·安徽合肥·期末）椭圆的离心率为（      ） A． B． C． D． 11．（24-25高三下·河北·对口/高职单招）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高三·浙江·职教高考）中国刺绣作为一项传统手工技艺，是中国传统文化的重要组成部分.某个椭圆形的刺绣艺术品的尺寸如图所示，则这个椭圆的离心率是（    ）    A． B． C． D． 13．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）椭圆与椭圆的（    ） A．焦距相等 B．长轴长相等 C．短轴长相等 D．离心率相等 14．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知椭圆的中心和两个焦点把椭圆的长轴四等分，则椭圆的离心率是（   ） A． B． C． D． 三、【考点演练】 15．（2026高三·四川·专题练习）设，为椭圆的焦点，P为椭圆上的一点，则的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 16．（23-24高三下·内蒙古·对口/高职单招）设，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则（    ） A． B． C．3 D． 17．（25-26高三·云南·对口/高职单招）经过点与点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 18．（20-21高三·江西九江·模拟预测）不论取任何实数，方程所表示的曲线不可能是（   ） A．直线 B．圆 C．抛物线 D．椭圆 19．（23-24高二上·江苏苏州·阶段检测）设方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）在椭圆方程中，连接四个顶点形成的四边形面积是（    ） A． B． C． D．12 21．（24-25高三下·四川·对口/高职单招）若椭圆的焦点为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高三下·内蒙古·对口/高职单招）椭圆的焦距为2，则实数的值为（    ） A．1 B．1或9 C．4 D．4或6 23．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知椭圆的中点为原点，对称轴为坐标轴，左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于M，N两点，若的周长为28，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三下·四川·对口/高职单招）设椭圆的左、右焦点分别是，，点在该椭圆上，且，则的面积是________． 25．（20-21高三下·吉林·对口/高职单招）椭圆的两个焦点分别为，，其短轴长与焦距相等. (1)求椭圆的标准方程及离心率； (2)椭圆上是否存在点，使得若存在，求此时的面积；若不存在请说明理由. 26．（24-25高三下·湖南·职教高考）已知椭圆的一个顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，求直线的斜率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $