综合训练卷（3） 2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．若，且，则可以是（　　） A． B． C． D．以上都可以 2．若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．函数在区间上递增，则可以是（　　） A． B． C． D． 4．在同一直角坐标系中，，，其中，则下列图像大致正确的是（    ） A． B．C． D． 5．已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．与直线距离为2的平行线为（　　） A． B． C． D． 7．从数字，，，中任取两个不同的数字组成两位数，所得数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 8．为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 9．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 10．已知向量，，且，则（    ）． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．抛物线上点到焦点的距离为______. 12．长方体中，则异面直线与的距离为______. 13．若为零，则实数为______. 14．用0、1、2、3、4组成无重复数字的三位数，共有______个. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，求边b的取值范围． 16．某施工单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围    17．如图，在正三棱柱中，D为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（3） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．若，且，则可以是（　　） A． B． C． D．以上都可以 【答案】C 【分析】根据真子集的定义求解. 【详解】选项A，若，则集合中有两个相同元素，不满足集合中元素的互异性，故A错误； 选项B，若，则集合中有两个相同元素，不满足集合中元素的互异性，故B错误； 选项C，若，则集合，且， 此时集合中元素均在集合中，且集合中的元素不在集合中，则，故C正确， 故选：C. 2．若，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解. 【详解】已知，可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．函数在区间上递增，则可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为， 且函数图像开口向上， 所以函数在区间上单调递增， 则，所以可以是2，选项C正确，选项ABD错误. 故选：C. 4．在同一直角坐标系中，，，其中，则下列图像大致正确的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，则函数在上为增函数， 图像呈上升趋势，故B、D项错误； 因为，则函数在上为增函数， 图像呈上升趋势，故C项错误，A项正确. 故选：A. 5．已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用同角三角函数基本关系式与诱导公式化简即可求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 6．与直线距离为2的平行线为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行线距离公式计算即可. 【详解】设平行线：，原直线. 距离，，. 对应直线为或，选项中有. 故选：C 7．从数字，，，中任取两个不同的数字组成两位数，所得数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】从，，，中任取两个不同数字组成两位数的所有可能情况有（种）， 若这个两位数为偶数，则其个位数字为或， 当个位数字为时，十位数字可以从，，中任选一个，有种情况； 当个位数字为时，十位数字可以从，，中任选一个，有种情况， 所以所得数为偶数的情况共有（种）， 因此所得数为偶数的概率为. 故选：B. 8．为了得到函数的图像，只要把函数图像上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据函数变化判断图像平移的方向和长度. 【详解】已知原函数， 为了得到函数的图像，即需要将原函数中的替换为， 所以需要将原函数图像上所有的点向右平移个单位长度. 故选：D. 9．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 则，解得. 故选：B. 10．已知向量，，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量垂直的坐标表示求出的值，再根据向量减法的坐标运算规则计算. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，可得， 所以. 故选：C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．抛物线上点到焦点的距离为______. 【答案】6 【分析】先求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义求出点到焦点的距离. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为. 因为点在抛物线上，所以，解得，此时点即为点， 根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离， 而点到准线的距离为，所以点到焦点的距离为， 故答案为：6. 12．长方体中，则异面直线与的距离为______. 【答案】8 【分析】找到两条异面直线的公垂线段，读取长度即可. 【详解】在长方体中，，， 所以为异面直线与的公垂线段， 已知，则. 故答案为：8. 13．若为零，则实数为______. 【答案】 【分析】根据复数为零的条件，列方程组求解. 【详解】已知为零， 可得，解得， 故答案为：. 14．用0、1、2、3、4组成无重复数字的三位数，共有______个. 【答案】48 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】第一步：先选百位 从1、2、3、4里选，共4种， 第二步：选十位 从剩下的4个数里选，共4种， 第三步：选个位 从剩下的3个数里选，共3种， 根据分步计数原理， 共种选法. 故答案为：48 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，求边b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求解； （2）利用余弦定理及面积公式可求解； （3）由锐角三角形及，可得，利用正弦定理得，据此可求解. 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得． ，，． ，． （2）根据余弦定理得，即 ， 化简整理为 ，解得 （负根舍去）． 此时边最大，且 所以为锐角，为锐角三角形． 所以的面积为． （3）由题意知，所以， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，所以 ． 16．某施工单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围    【答案】 【分析】设花坛宽度为米，则绿草坪的长为，宽为，再由题意列不等式求解即可. 【详解】设花坛宽度为米，则绿草坪的长为，宽为， 绿草坪面积不小于总面积的一半， 即， 则， 即，得 解方程， 因为， 所以，解得，所以解不等式得或， 根据实际意义，，且绿草坪的长宽为正， 所以，解得， 结合得，. 17．如图，在正三棱柱中，D为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用三角形中位线定理证明，进而利用线面平行的判定定理证得结论. （2）证明平面，从而确定为直线与平面所成的角，在直角三角形中计算正弦值. 【详解】（1）连接，交于点，连接，如图： 因为三棱柱为正三棱柱， 所以侧面为矩形， 所以为的中点. 又因为为的中点， 所以在中，为中位线， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面. 因为平面， 所以. 因为为正三角形，为的中点， 所以. 又因为，平面， 所以平面. 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角. 在正中，，为中点， 所以. 在中，，， 所以. 因为平面，平面， 所以， 即为直角三角形. 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $