综合训练卷（2） 2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若不等式的解集为，则（　　） A． B． C． D． 3．二次函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（　　） A． B． C． D． 6．某长方体主视图面积为，俯视图面积为，两图共同的长为8cm，则左视图面积为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 7．两层人数分别为、，从中抽取人，第二层抽（　　）人 A．10 B．20 C．30 D．40 8．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 9．点到平面的距离为，斜线，则与所成角为（　　） A． B． C． D． 10．人排成一排，甲不站在首位，有（　　）种排法 A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．方程表示圆，需满足______. 12．若，则______. 13．已知向量，.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________ 14．若，则_______. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．圆被直线截得弦. (1)求弦长； (2)求以为直径的圆方程. 16．已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》，以浙江省单独考试数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 内蒙古（对口招生）《数学45分钟训练卷》 综合训练卷（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．已知集合，，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先根据集合A的元素求出集合B，再计算两集合的交集，最后利用含k个元素的集合的子集个数为的公式求解. 【详解】已知，对于集合， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 因此； 由交集的定义可得，即共包含2个元素， 因此的子集个数为. 故选：B. 2．若不等式的解集为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为，解得， 已知不等式的解集为，所以，解得， 故选：C. 3．二次函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质判断即可. 【详解】函数是二次函数，对称轴为， 函数图象为开口向上的抛物线， 所以，该函数在对称轴的左侧单调递减， 所以，函数的单调递减区间为. 故选：A. 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】，则有， 因为对数函数在上为增函数， 且，则，即， 因为指数函数在上为增函数， 且，则，即， 所以a，b，c的大小关系是. 故选：A. 5．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式求解. 【详解】已知，所以. 故选：A. 6．某长方体主视图面积为，俯视图面积为，两图共同的长为8cm，则左视图面积为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】根据三视图的特征先求出高和宽，再相乘即可. 【详解】因为主视图：长×高，俯视图：长×宽，左视图：宽×高， 设高为，宽为，由已知可得长为， 所以主视图：，得； 俯视图：，得. 左视图面积. 故选：A 7．两层人数分别为、，从中抽取人，第二层抽（　　）人 A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】利用分层抽样先求抽样比，再计算第二层抽取人数. 【详解】由题可知总人数为，从中抽取人， 所以抽样比为， 所以从第二层中抽取人. 故选：B. 8．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求解. 【详解】，其中， 所以的最小正周期. 故选：B. 9．点到平面的距离为，斜线，则与所成角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成角的定义求解. 【详解】设点在平面内的射影为，连接、，如图： 则，就是斜线与平面所成的角， 在中，已知点到平面的距离，斜线， 所以， 因为，所以. 故选：A. 10．人排成一排，甲不站在首位，有（　　）种排法 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全排列的意义及公式求解即可. 【详解】人排成一排,共有种排法， 当甲站在首位，则其他三人全排列，共有种排法， 所以当甲不站在首位时，共有种排法. 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．方程表示圆，需满足______. 【答案】 【分析】根据方程表示圆的条件，列出不等式求解. 【详解】方程中，，，， 因为该方程表示圆，所以， 则，即，解得. 故答案为：. 12．若，则______. 【答案】25 【分析】根据代值计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：25. 13．已知向量，.若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________ 【答案】 【分析】向量夹角为钝角，数量积小于零且两向量不反向共线即可. 【详解】. 夹角为钝角，满足，即，解得. 若反向共线，则存在，使得. ， 解得，此时. 当时，， 两向量反向，夹角为，不属于钝角，需要舍去. 综上，且. 故答案为：. 14．若，则_______. 【答案】 364 【分析】分别将和代入已知展开式，将两式作差即可计算得到奇次项系数的和. 【详解】对于等式： 将，代入式中为①， 将，代入式中为左边②， 用①式减去②式得：， 整理得. 故答案为：364. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．圆被直线截得弦. (1)求弦长； (2)求以为直径的圆方程. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据联立直线与圆的方程，求得直线与圆的交点坐标，结合两点间的距离公式即可求解. （2）根据中点坐标公式，结合圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）联立直线与圆方程得，解得，即， 所以. （2）由（1）得，则圆心为， 又，所以半径， 则以为直径的圆方程为. 16．已知双曲线（，）和椭圆有相同的焦点、，且两曲线在第一象限交于点P，点是双曲线与x轴的一个交点.求： (1)双曲线的标准方程； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据椭圆方程求出焦点坐标，利用双曲线的性质求出参数即可得解. （）根据双曲线及椭圆的定义求出的值，利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆，焦点在轴上， 设椭圆的参数为，则，， 则，解得，所以椭圆的焦点坐标为， 所以双曲线的焦点坐标为， 设双曲线的参数，则， 由题意可知，双曲线的一个顶点，则， 则， 所以双曲线方程为. （2）设， 则，解得， 因为， 在中，， 因为，则， 则的面积为. 17．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； （2）先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； （3）利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】（1） 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中， OD为中位线， 所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； （2）因为 是正三角形，D为AC中点， 所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （3）已知正三棱柱所有棱长均为2， 在正三角形中，， ， 平面， ， ， 设点A到面的距离为h， 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $