第13卷 圆锥曲线- 2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖南省对口招生《45分钟训练卷》 圆锥曲线 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】设椭圆的半长轴长为，由得，所以． 因为在椭圆上，且、为其两焦点，由椭圆的定义得． 2．若抛物线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若抛物线经过点，则，. 3．若双曲线：（）的渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由双曲线方程可得渐近线方程，再结合题中所给的渐近线方程可得的值. 【详解】由双曲线：（）得渐近线方程为， 因为题目中给的渐近线方程为，所以，解得. 4．设抛物线：的焦点为，点在上，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查抛物线的焦半径，可先求出抛物线焦点，利用抛物线定义（或两点间距离公式）求焦半径长． 【详解】抛物线，对比标准式， 得，，焦点． 方法一：两点间距离公式 因为点在抛物线上，代入得，，即， 所以． 方法二：抛物线定义（焦半径公式） 由抛物线焦半径公式：抛物线上点到焦点距离， 已知的横坐标，于是． 5．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为焦距为，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上， 由椭圆过点，则，则，此时，椭圆存在， 所以此时椭圆的标准方程； 若椭圆的焦点在轴上， 由椭圆过点，则，此时，椭圆不存在，舍去． 综上，椭圆的标准方程为． 6．已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示的是双曲线，所以， 因为双曲线的离心率为，所以. 所以双曲线的实轴长为. 7．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知：，由椭圆性质可得：，， 设，则，且， 所以， 函数为二次函数，开口向下，对称轴为， 当或时，取得最小值，最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 【答案】 18 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程特征、焦距定义求出半焦距，再利用双曲线中的关系求解. 【详解】因为双曲线的焦点在轴上，因此该双曲线的实半轴长平方，虚半轴长平方，且， 又双曲线的焦距为10，由焦距定义得，解得半焦距， 根据双曲线的基本性质，将、、代入得： ，即， 解得，符合的要求, 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为______． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求出，在中利用直角三角形面积公式求解即可. 【详解】 在椭圆中，，. ，所以，，. 由，，得. 在中，由，得， 所以是直角三角形，， 故. 11．抛物线与焦点之间的距离为____________． 【答案】 【详解】由题得，抛物线焦点为， 抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 12．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 【答案】 【详解】由题意可得，解得，又， 所以椭圆方程为. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； 【答案】(1)​ (2)​ 【详解】（1）∵椭圆焦点在轴上，∴可设其方程为，其中，半焦距为， ∵椭圆经过点，∴，又，∴， ∴椭圆的标准方程为． （2）∵椭圆经过点和，这两点分别为椭圆在轴和轴上的顶点，且， ∴椭圆的长轴在轴上，可设其方程为，其中， 代入两点坐标，得，， ∴椭圆的标准方程为． 14．已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的基本性质：先根据长轴长求出长半轴，再由离心率公式算出半焦距，最后依靠椭圆中满足的平方关系求出，把、代入椭圆标准方程，就能写出椭圆方程； （2）先设出椭圆上点的坐标，利用原点对称写出点的坐标；借助斜率公式表示两条直线的斜率并相乘，再利用点在椭圆上这个条件，得到横纵坐标的关系式，将整体代入斜率乘积的式子，消去变量，化简后得到斜率之积的定值. 【详解】（1）由题意得：，解得， ∵，∴， 由，得：， 故椭圆的方程为. （2）∵椭圆的左顶点， 设，由、关于原点对称得， ∴， ， 在椭圆上，∴，即， 代入得：， 直线与直线的斜率之积为 . 15．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【详解】（1）由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 16．已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义即可求得的值，进而解得抛物线的方程； （2）先设出两点的坐标，直线与抛物线联立，韦达定理解得，，再代入面积公式求解即可. 【详解】（1）根据题意知抛物线过点， 所以抛物线准线方程为，且点A到其准线的距离为4， 所以，即，所以抛物线的方程为； （2）由得，， 设，为直线与轴交点，则，， 所以． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 湖南省对口招生《45分钟训练卷》 圆锥曲线 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）. 1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．若抛物线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若双曲线：（）的渐近线方程为，则（ ） A． B． C． D． 4．设抛物线：的焦点为，点在上，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 7．若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 9．若双曲线的焦点在x轴上，焦距为10，则实数n的值是______ 10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为______． 11．抛物线与焦点之间的距离为____________． 12．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的一个交点到两焦点的距离分别为和，则椭圆的标准方程为____. 三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）. 13．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点； (2)椭圆经过，两点； 14．已知椭圆：的离心率为，长轴长为4． (1)求的方程； (2)设的左顶点为，上两点，关于原点对称，且在第一象限，求直线与直线的斜率之积． 15．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 16．已知抛物线过点，且点到其准线的距离为4． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线交于异于原点的P、Q两点，求的面积． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $