4.1.1 任意角与象限角（课件）-高教版第三版《数学 基础模块上册》【上好课】

高教版第三版《数学》基础模块上册 第4章 三角函数 4.1.1 任意角与象限角 学习目标 1．理解正角、负角、零角的规定，知道角的概念可以推广到任意角；理解象限角与界限角的定义，掌握表示角的方法。 2．能依据旋转方向与旋转量判断一个角的正负并叙述它的形成过程，能根据终边位置判断角是第几象限角或界限角。 3．通过摩天轮、时钟等情境的观察，经历从 到任意角的推广过程，体会用方向描述变化的必要性，提升数学抽象与直观想象素养。 角的概念的推广：从静态到旋转 角是由有公共端点的两条射线构成的图形。 角也是射线绕端点旋转形成的图形：起始位置为始边，终止位置为终边。 锐角、直角、钝角、平角、周角都是这类角。 图4-1　三角板与折纸 图4-2　顶点与始边终边 第4章 三角函数 三角函数是三角学中基本的概念之一。 1464 年《论各种三角形》使之成为独立学科。 本章先把角推广到任意角，再定义三角函数。 章首页　雷格蒙塔努斯 情境与问题：摩天轮与时钟 观察图4-4 的摩天轮与时钟，思考下面两个问题。 (1) 摩天轮机械臂从起始位置旋转一周，就说它转过了 。那么转过一周半、转过两周，各是多少度？ 【答案】一周半是 ，两周是 。 (2) 时钟快了 2 h，如何校准？校准过程中分针相对于起始位置转过了多少度？如果慢了 2 h 呢？ 【答案】快了 2 h 要把分针逆时针旋转 ；慢了 2 h 要顺时针旋转 。 两次都是 720°，效果为什么相反 观察：摩天轮转一周半是 ，转两周是 ；电风扇扇叶、风车、陀螺也都有超过一周的旋转。 对比：时钟快了 2 h，要把分针逆时针旋转 ；慢了 2 h，要把分针顺时针旋转 。 归纳：两次都是旋转 ，效果却相反，说明只知道旋转的度数还不够，还要考虑旋转的方向。 正角、负角与零角 规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角；按顺时针方向旋转形成的角称为负角。如果一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，这个角称为零角。 判断正负只看旋转方向，不看旋转量的大小。顺时针一周是 ，两周是 ，都是负角。 绝对量相同，方向相反 分针逆时针转 2 周形成的角记作 ，顺时针转 2 周形成的角记作 。 这两个角是旋转的绝对量相同但旋转方向不同的两个角，它们是不一样的。 任意角与角的表示 推广：不仅能表示 范围内的角，也能表示范围之外的角，也就是把角的概念推广到了任意角。 记法一：用顶点或顶点与始边、终边上的字母表示，如图4-5 中的角可记作 或 。 记法二：用 、、 等小写希腊字母表示，不混淆时可简记为 、、。例如 ，。 基础练习：正负角与记法 1．射线绕端点逆时针旋转三周形成的角是正角还是负角？旋转了多少度？ 【答案】正角，旋转了 。 2．分针按顺时针方向旋转 2 周形成的角记作 。 【答案】 象限角 定义：将角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角。 如图4-7， 的终边在第一象限，所以它是第一象限角； 的终边在第三象限，所以它是第三象限角。 图4-7　象限角 界限角 定义：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角。如 、、、、 角都是界限角。 想一想：界限角的度数有什么特点？ 答：界限角的终边都落在坐标轴上，度数都是 的整数倍。 判断路径与常见误判 判断路径：顶点与原点重合、始边与 轴非负半轴重合；正角减 的整数倍、负角加 的整数倍化到 ；最后看终边落在哪个象限。 误判一：以为第一象限角一定是锐角。 是第一象限角却不是锐角。 误判二：以为第二象限角一定是钝角。 的终边在第二象限却是负角。判断象限只看终边位置。 例1：叙述形成过程并判断象限 例1　在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们分别是第几象限角。；。 【解析】 角是射线绕原点逆时针旋转 形成的，如图4-8(1)，终边落在第二象限，所以 角是第二象限角； 角是射线绕原点顺时针旋转 形成的，如图4-8(2)，终边落在第一象限，所以 角为第一象限角。 例2：时钟转过的角 例2　如图4-9，求时钟从 8 点到 9 点 15 分，分针和时针旋转形成的角分别是多少？ 解　分针顺时针旋转了 ，所以分针旋转形成的角为 ； 时针顺时针旋转了 ，所以时针旋转形成的角为 。两个结果都是负角，与“正常计时下时针、分针旋转形成的角总是负角”一致。 例2 的算法说明 分针 75 分钟走 ，超过一周，仍是顺时针，所以记作 。 时针 75 分钟走 ，也超过 ，记作 。 两个结果都是负角，与“正常计时下时针、分针旋转形成的角总是负角”一致。 基础练习：判断与填空 3．判断： 角是第二象限角。（　　） 【答案】× 【解析】 顺时针转 ，，终边与 相同，在第一象限。 4．填空： 角是第 象限角。 【答案】二 【解析】 顺时针转 ，，终边与 相同； 在第三象限。 提高练习与知识检测 5．若 是第二象限角，且 ，写出两个满足条件的 的值。 【答案】， 【解析】终边需落在第二象限且绝对值小于 ，可取 与 ，也可取 等。 知识检测： 角是界限角吗？ 角终边在哪里？ 角是第几象限角？ 【答案】(1) 界限角；(2) 轴的正半轴；(3) 不是象限角，是界限角。 课堂背诵：规定与定义 1．一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为 ，按顺时针方向旋转形成的角称为 ，没有做任何旋转形成的角称为 。 【答案】正角；负角；零角 2．将角的顶点与 重合，角的始边与 轴的 重合，此时角的终边在第几象限，就称这个角为 。 【答案】原点；非负半轴；第几象限角 课堂背诵：界限角与常见误判 3．终边在坐标轴上的角不属于任何一个象限，称为 。 【答案】界限角 4．判断：第一象限角一定是锐角（　　）；第二象限角一定是钝角（　　）。 【答案】×；× 同桌互判：说出角的形成过程 任务：同桌两人一组，一人说出旋转方向与旋转量，另一人叙述形成过程并判断它是第几象限角或界限角。 (1) 逆时针旋转 ；(2) 顺时针旋转 。 【答案】，终边与 相同，第二象限角。 顺时针 到 轴负半轴，再转 进入第二象限，是第二象限角。 (3) 顺时针旋转 ；(4) 逆时针旋转 。 【答案】 与顺时针 终边相同，即逆时针 ，第一象限角。 的终边在 轴负半轴，不属于任何象限，是界限角。 归纳：先化到 0°～360° 再判象限 通用做法：正角减 的整数倍，负角加 的整数倍，先把角化到 之间，再看终边落在哪个象限。 特别注意： 化到 后若正好是 、、、，那就是界限角，不属于任何象限。 课堂练习（1—2） 1．判断：第四象限角一定是负角。（　　） 【答案】× 【解析】 的终边在第四象限，但它是正角。 2．判断：第二象限角一定是正角。（　　） 【答案】× 【解析】 的终边在第二象限，但它是负角。 课堂练习（3—4） 3．判断：小于 的角一定是锐角。（　　） 【答案】× 【解析】、 都小于 却不是锐角。 4．填空： 角是第 象限角。 【答案】一 【解析】，终边与 相同。 课堂练习（5—6） 5．填空： 角是第 象限角。 【答案】二 6．填空： 角是第 象限角。 【答案】四 【解析】 顺时针转 ，终边从 轴正半轴转入第四象限。 课堂练习（7） 7．在平面直角坐标系中作出 角，并指出它是第几象限角，写出判断过程。 【答案】 是第二象限角。 【解析】，先顺时针转 到 轴负半轴，再顺时针转 ，终边落在第二象限。验证：，在第二象限。 课堂练习（8） 8．已知角 的终边落在 轴上，判断 是不是象限角，并说明理由。 【答案】 不是象限角，是界限角。 【解析】象限角要求终边落在某个象限内部。 的终边落在 轴上，属于坐标轴而不属于任何一个象限，按定义是界限角，例如 、、 的终边都在 轴上。 课堂小结 本课所学：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，没有旋转是零角；顶点与原点、始边与 轴非负半轴重合后，终边在第几象限就是第几象限角；终边在坐标轴上的角是界限角。 判断方法：先看旋转方向定正负，再把角化到 之间，最后看终边落在哪个象限。 易错提醒：误以为第一象限角一定是锐角、第二象限角一定是钝角；忘记界限角不属于任何象限；把负角的终边位置判反。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $