3.4 函数应用（二）（教案）-高教版第三版《数学 基础模块上册》【上好课】

高教版第三版《数学》基础模块上册

第3章 函数

3.4 函数应用（二）

授课班级

授课类型

新授课

授课教师

教学时长

1课时（45分钟）

教材分析

教材把 3.4 节的三个子目按模型类型依次展开，先用一次函数模型与分段函数模型建立“实际问题—数学描述—求解—回到实际”的基本流程，再把同一流程用于二次函数模型。二次函数模型这一子目先以矩形窗框引出面积与宽的关系，把面积化为二次函数后由对称轴与顶点坐标求最大面积，再以果园增种果树为例，把总产量写成总棵数与单棵平均产量之积，在整数范围内求最优方案。

本课是第 3 章函数的最后一课，承接二次函数的图像特征、对称轴与顶点坐标以及函数单调性等结论，把此前分散的函数知识第一次集中用于求最优方案，并通过自变量取值范围的讨论把数学结论翻译回实际场景，为后续学习其他函数模型提供可迁移的建模路径。

学情分析

学生已在 3.3.3 节学过二次函数的图像特征，会用对称轴 与顶点纵坐标 求最值，也见过用配方法把一般式化为完全平方的形式；上一课时又用一次函数模型与分段函数模型经历了完整的建模流程，会用“设、列、定范围、回译”的方式书写解答。本课的困难集中在三处：一是习惯把定义域写成全体实数，意识不到 12 m 钢材是矩形的周长、宽与长都必须为正，从而写不出 ；二是果树题的增种棵数只能是整数，学生容易漏掉对 的约束，或在求出顶点后不检验 x 是否落在取值范围内；三是求出最大值后直接停笔，忘记把结果回译成“宽为多少米”“增种多少棵”这样的实际表述。

教学目标

1．理解二次函数模型的含义，掌握建模四步：设自变量与函数、列解析式并化为一般式、定定义域、用对称轴与顶点求最值。

2．能由周长、总产量等实际关系列出二次函数解析式，能写出定义域，能在棵数需取整时作出取舍，并把最值回译为实际结论。

3．经历“实际问题—数学模型—求解—回到实际”的建模过程，提升数学建模素养，养成检验结果是否符合实际的习惯。

教学重难点

教学重点：由实际关系列出二次函数解析式并化为一般式，用对称轴与顶点纵坐标求最值，写出含定义域的完整结论。

教学难点：由 是周长推出半周长为 、长为 ，进而写出 ；以及在棵数必须取整时取舍最优方案。

教学方法

情境导入法、示范讲解法、对比辨析法、讲练结合法。

课前准备

教师准备：教材、演示课件。

学生准备：教材、笔记本。

教学环节设计

教学环节

教学内容

设计意图

教学导入

教师提问：上一课时我们用一次函数模型算出一箱水注满要多久，用分段函数模型算出高铁列车每一段的速度。如果现在手里只有一根 12 长的钢材，要围成一个矩形窗框，围出的面积能有多大？这个面积与窗框的宽之间又是什么关系？

学生思考后回答：宽越大面积不一定越大，宽太小时长就大，面积也上不去，中间应该有一个最合适的宽度；面积等于长乘宽，而长与宽的和是固定的一半周长，所以面积应该先增后减。

教师追问：如果把宽记作 ，面积记作 ，那么 与 之间是一次函数关系吗？

学生比较后回答：不是一次函数。一次函数的图像是直线，变化快慢始终一样；而这里宽变大时长会变小，面积会先变大后变小，应该是二次函数。

教师归纳：教材的导语说，用数学的方法获得实际问题的数学描述，就得到了问题的数学模型，一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型都是常见的函数模型。前两类我们已经用过，本课就用二次函数模型来解决这类求最大面积、最大产量的问题。

用上一课时的两个模型作铺垫，再由一根钢材围矩形制造“面积能有多大”的疑问，引导学生把面积与宽的关系与一次函数作比较，自己发现这是二次函数，从而把建模对象从一次、分段推进到二次。

新知讲授

一、二次函数模型的建立与最值求法

教材指出，用数学的方法获得实际问题的数学描述，就得到了问题的数学模型。当这个数学描述是一个二次函数时，得到的就是二次函数模型。建立二次函数模型与建立一次函数模型走的是同一条流程，只是最后求最值时要调用二次函数的图像特征。

1．知识呈现

按教材顺序先由窗框题建立二次函数模型并求出最大面积，把配方法作为第二解法与顶点公式互证，再由果树

教师出示教材情境与问题（1）（教材本节第三子目，教材未编号）：现有 长的钢材，要制作一个矩形窗框，如图 3-35 所示。第（1）问求窗框所围成的面积 （单位：）与窗框的宽 （单位：）之间的函数解析式；第（2）问问窗框宽为何值时面积最大、最大值是多少。

教师引导：要求面积与宽的关系，先要把长用宽表示出来。题目给出的是 长的钢材，这是矩形的周长，不是面积，所以长与宽的和是周长的一半。

解（1）因为窗框的宽为 ，所以窗框的长为 。又因为长也必须为正，即 ，所以 。则窗框所围成的面积 与窗框的宽 的解析式为

，；

2．概念解释

说明三点。第一， 是周长，所以半周长是 即 ，长等于半周长减去宽，写成 ，这一步是本课第一个易错处。第二，定义域 是开区间，两个端点都取不到：宽为 时围不成矩形，宽为 时长变成 ，同样围不成矩形。第三，解析式要化成 的形式，才能直接读出 、、 三个系数。

3．例题讲解

继续完成第（2）问。在二次函数 中，，，，所以

，。

因为 ，抛物线开口向下，顶点是图像的最高点，所以当窗框宽为 时，所围成的面积最大，最大值为 。

4．试一试（第二解法，教师补充）

教材在窗框题之后安排了“试一试”：用配方法求情境与问题（1）中函数的最值。教材本课只提出这个任务，没有给出演算过程，下面补充完整，作为与顶点公式的互证。

题把同一流程用于含整数约束的情形，两个知识点的难点分别是定义域的确定与整数方案的取舍。