3.3.3 二次函数的单调性与最值（课件）-高教版第三版《数学 基础模块上册》【上好课】

高教版第三版《数学》基础模块上册 第3章 函数 3.3.3 二次函数的单调性与最值 学习目标 1．理解二次函数在对称轴两侧的单调性，掌握由对称轴方程确定单调区间的方法，知道单调区间的分界点就是对称轴与 x 轴的交点横坐标。 2．能依据二次函数解析式求出对称轴并写出它在对称轴两侧的单调区间，能由已知的单调区间反求解析式中的参数。 3．通过在抛物线上观察函数值随自变量变化的对照活动，经历由图像特征到代数表达的过程，提升直观想象与逻辑推理素养。 导入：观察对称轴两侧的函数值变化 提出问题：前面已经学过函数的单调性，也研究过二次函数的图像。 以 为例，它的图像是一条开口向上的抛物线，对称轴是 。请观察图像：当 时，函数值随自变量的增大怎样变化？当 时，函数值又怎样变化？ 时，函数值随 x 的增大而减小； 时，函数值随 x 的增大而增大。两侧的变化方向正好相反。 教师归纳：抛物线的对称轴把定义域分成两段，函数在这两段上的增减方向相反。本节课就来研究二次函数在对称轴两侧的单调性，并解决怎样由单调区间反求解析式中参数的问题。 知识点一：开口向上时对称轴两侧的单调性 先看开口向上的情形。以 为例，由 得对称轴为 。 图像在这一条竖直直线的左侧下降、右侧上升，转折点就落在对称轴上。 一般地，当 时，二次函数 的图像是一条开口向上的抛物线， 定义域为 ，值域为 。并有如下性质：在 上是减函数，在 上是增函数。 知识点一：开口向下时对称轴两侧的单调性 再看开口向下的情形。取 ，由 得对称轴为 。图像左侧上升、右侧下降，方向与开口向上时正好相反。 当 时，二次函数 的图像是一条开口向下的抛物线，定义域为 ，值域为 。并有如下性质：在 上是增函数，在 上是减函数。 知识点一：开口向下时对称轴两侧的单调性 把两种情形放在一起对照可以看出： 无论开口向上还是向下，单调区间的分界点都是对称轴与 x 轴交点的横坐标，也就是 。 开口向上时左减右增，开口向下时左增右减，方向由二次项系数的符号决定。 强化记忆：说出对称轴两侧的单调区间 合上书，说出二次函数两种开口方向情况下具体的单调区间。 当 时，二次函数在 上是减函数，在 上是增函数； 当 时，两侧的增减正好相反，二次函数在 上是增函数，在 上是减函数； 即时练习1：由解析式求对称轴与单调区间 即时练习1　写出二次函数 的对称轴，并写出它在对称轴两侧的单调区间。 对称轴为 ；在 上是减函数，在 上是增函数。 这里 ，，由对称轴方程得 ，即 。因为 ，抛物线开口向上，所以对称轴左侧为减、右侧为增。 即时练习2：开口向下时的对称轴与单调区间 即时练习2　写出二次函数 的对称轴，并写出它在对称轴两侧的单调区间。 对称轴为 ；在 上是增函数，在 上是减函数。 这里 ，，由对称轴方程得 ，即 。因为 ，抛物线开口向下，所以对称轴左侧为增、右侧为减。 提高练习1：利用对称性比较函数值 提高练习1　已知二次函数 ，不求出具体函数值，比较 与 的大小。 。 由对称轴 知， 与 分别在对称轴两侧、且到对称轴的距离都是 2，所以两点关于对称轴对称，函数值相等。也可由图像看出：在对称轴左侧函数值随 x 增大而减小，在右侧随 x 增大而增大，两侧对称位置的函数值相同。 知识点二：由单调区间反求解析式中的参数 前面都是从解析式出发求单调区间。反过来，如果已知单调区间，能不能确定解析式中的参数？ 探究与发现 已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，试求 的值。 探究与发现 分析：题目给出减区间 和增区间 ，两者的分界点是 。而单调区间的分界点就是对称轴与 x 轴交点的横坐标，所以这条抛物线的对称轴是 。这一步把“单调区间”翻译成了“对称轴”。 解：函数 中，二次项系数为 1，一次项系数为 a，所以对称轴为 。由单调区间的分界点为 2，得 ，解得 。 探究与发现 检验：当 时，，对称轴为 ，且 开口向上，在 上为减函数、在 上为增函数，与题设一致。所以 。 解题要点：判断这类问题时，先找出两个单调区间的分界点，把它当作对称轴，再用对称轴方程列方程求参数。需要注意的是，本小题中字母 a 是一次项系数，二次项系数是 1，不要与一般式中的二次项系数混淆。 即时练习3：含常数项的二次函数求对称轴 即时练习3　已知二次函数 的图像，写出它的对称轴，并说明它在哪一段上是减函数。 对称轴为 ；在 上是减函数。 这里 ，，由 得 ，即 。因为 ，抛物线开口向上，所以对称轴左侧为减函数。常数 c 只影响图像的高低，不影响对称轴的位置。 即时练习4：由单调区间反求参数 即时练习4　已知二次函数 在 上是增函数，在 上是减函数，求 的值。 。 两个单调区间的分界点是 ，所以对称轴为 。由对称轴方程得 ，解得 。此时 开口向下，左侧为增、右侧为减，与题设相符。 提高练习2：由单调区间求参数取值范围 提高练习2　已知二次函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围。 。 函数对称轴为 ，即 。因为二次函数h(x) 开口向上，函数在 上是增函数。要使 上都是增函数，只需 。 知识检测：判断对错 判断下列说法是否正确。 （1）二次函数在对称轴两侧的单调性一定相反。　 （2）若二次函数在 上是减函数、在 上是增函数，则它的对称轴是 。 【答案】（1）正确；（2）正确。 【解析】（1）开口向上时左减右增，开口向下时左增右减，两侧方向总是相反。（2）单调区间的分界点就是对称轴与 x 轴交点的横坐标，所以对称轴为 。 课堂背诵（一）：两个开口方向的单调区间 （1）当 时，二次函数 在 ______ 上是减函数，在 ______ 上是增函数。 （2）当 时，二次函数在 ______ 上是增函数，在 ______ 上是减函数。 【答案】（1）；。（2）；。 课堂背诵（二）：分界点与判断 （3）二次函数单调区间的分界点是 ______，它与对称轴方程中的 ______ 是同一个数。 （4）判断：若二次函数在 上是减函数、在 上是增函数，则它的对称轴是 。 【答案】（3）；对称轴横坐标。（4）正确。 师生互动（一）：a>0 情形的对称轴与单调区间 任务一　二次函数 的定义域是全体实数。请写出它图像的对称轴，并说明该函数在哪个区间上是增函数、在哪个区间上是减函数。 【答案】对称轴为 ；在 上是减函数，在 上是增函数。 【解析】这里 ，，由 得 ，即对称轴就是 y 轴。因为 开口向上，所以左侧为减、右侧为增。 师生互动（二）：a<0 情形的对照与归纳 任务二　二次函数 的图像开口方向与任务一不同。请写出它的对称轴，并说明两侧的增减情况。 【答案】对称轴为 ；在 上是增函数，在 上是减函数。 【解析】这里 ，，由 得 ，即 。因为 开口向下，所以左侧为增、右侧为减，与任务一正好相反。 师生互动归纳：一步之差，方向相反 教师归纳： 两道题的条件只差一个符号，单调方向就完全相反。 判断时先算对称轴，再看二次项系数的正负，两步都不能省。 若把 的情形按 的规律去写，单调区间就会整体写反。 课堂练习（一）第1题：由解析式写对称轴与单调区间 1．填空：二次函数 的对称轴是 ______，它在 ______ 上是减函数，在 ______ 上是增函数。 【答案】；；。 课堂练习（二）第2题：判断单调性说法 2．选择：关于二次函数 的单调性，下列说法正确的是（　　）。 A．在 上是增函数 B．在 上是减函数 C．在 上是增函数 D．在 上是减函数 【答案】A。 【解析】这里 ，由 得 。抛物线开口向下，所以对称轴左侧为增、右侧为减，故选 A。 课堂练习（三）第3题：判断题 3．判断：若二次函数在 上是增函数、在 上是减函数，则它的对称轴是 。（　　） 【答案】正确。 【解析】单调区间的分界点就是对称轴与 x 轴交点的横坐标，两个区间的分界点是 ，所以对称轴为 。此时二次项系数为负，图像开口向下，符合左增右减。 课堂练习（四）第4题：作图并写单调区间 4．作出函数 的图像，并写出该函数的单调区间。 【答案】对称轴为 ，顶点为 ，图像与 x 轴交于 和 ；在 上是减函数，在 上是增函数。 【解析】这里 ，，。由 得对称轴 。把 代入解析式得顶点的纵坐标为 。列表取对称轴两侧的对称点，描点后用光滑曲线依次连接，即可得到开口向上的抛物线。由图像或由对称轴均可直接读出：左侧为减、右侧为增。 课堂练习（五）第5题：先定参数再判单调性 5．设函数 为偶函数，且 。求 ，；再判断函数 在 上的单调性，并说明理由。 【答案】，；函数在 上是减函数。 【解析】因为 为偶函数，一次项系数必须为 0，所以 ，此时 。又 ，即 ，得 。于是 ，对称轴为 ，且 开口向上，所以它在 上是减函数。 课堂练习（六）第6题：由单调区间求参数范围 6．已知：已知函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 【答案】。 【解析】由 得对称轴为 。因为 开口向上，函数在 上是减函数。要使 上都是减函数，只需 ，解得 。 课堂小结（一）：知识梳理与判断路径 请同学们先概括：这节课我们研究了什么，怎样判断，容易错在哪里？ 第一，二次函数图像的对称轴把定义域分成两段，函数在这两段上的单调性相反，分界点就是对 求出的对称轴横坐标。 第二，当 时左侧为减、右侧为增；当 时左侧为增、右侧为减。 第三，如果已知两个单调区间，它们的公共分界点就是对称轴，把它代入对称轴方程就能反求出解析式中的参数。 课堂小结（二）：两个易错点与呼应导入 两个易错点要记住： 一是写单调区间时，端点取在分界点那一侧，不要漏写也不要写反开闭； 二是判断增减方向前必须先看二次项系数的符号，符号看错，整个区间都会写反。 回到课前的例子： 在 上是减函数，在 上是增函数，这与我们从图像上观察到的结果一致。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $