2.3简谐运动的回复力和能量 导学案-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.3 简谐运动的回复力和能量 人教版（2019）· 高中物理 选择性必修第一册 教 学 内 容 导练目标 导练内容 目标1 理解回复力的概念、方向与来源，掌握动力学特征 F回＝－kx，会判定简谐运动（重点）。 目标2 理解加速度与位移的关系 a＝－(k/m)x，会分析 x、v、a、F 的变化规律与图像（易错点）。 目标3 理解动能与势能的转化及机械能守恒，掌握振幅与能量的关系（难点）。 ■ 知识导学与典例导练 ▍一、简谐运动的回复力（重点） 1．回复力的定义：使振动物体返回到平衡位置的力称为回复力。回复力的方向总是指向平衡位置，像一根“拉回原点的橡皮筋”。 2．回复力的来源：回复力是根据力的作用效果命名的效果力，不是物体额外受到的力，受力分析时不能重复计入。它可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，并且一定等于物体在振动方向上所受的合力。 振动情境 回复力的来源 方向特点 水平弹簧振子 弹簧的弹力 沿水平方向指向平衡位置 竖直弹簧振子 弹簧弹力与重力的合力 沿竖直方向指向平衡位置 叠放的木块 两木块间的静摩擦力 随整体一起指向平衡位置 水中浮体（木筷、鱼漂） 浮力与重力的合力 沿竖直方向指向平衡位置 3．简谐运动的动力学特征：理论和实验表明，物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，其表达式为 式中“－”号表示回复力 F 与位移 x 的方向相反；k 是比例系数，不一定等于弹簧的劲度系数，其值由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 4．简谐运动的判定：如果物体在运动方向上所受的力具有 F回＝－kx 的形式，即力与位移成正比且始终指向平衡位置，物体就做简谐运动。 5．简谐运动的加速度：由 F回＝－kx 及牛顿第二定律 F＝ma 可知，加速度与位移大小成正比、方向与位移方向相反 ▍二、简谐运动的规律与图像 1．以位移为桥梁：分析各物理量的变化时，先判断位移如何变化，再据此推出其他量。位移增大（远离平衡位置）时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；位移减小（靠近平衡位置）时变化相反。各矢量均在其值为零时改变方向。 2．各物理量在两个特殊位置的特点： 物理量 平衡位置（x＝0） 最大位移处（x＝±A） 位移 x 0 最大，为 ±A 回复力 F 0 最大，大小为 kA 加速度 a 0 最大，大小为 kA/m 速度 v 最大，为 vmax 0 动能 Ek 最大 0 势能 Ep 最小 最大 3．周期性与对称性：位移相同时，回复力、加速度、动能、势能都可以确定，但速度可能有两个方向（等大反向），由于周期性，对应的运动时间也不确定，分析时要注意多解。 4．x、v、a、F 均按正弦或余弦规律发生周期性变化，其中速度 v 与加速度 a 的变化趋势相反；判断图像时要抓住初态取值、方向及增减趋势。 ▍三、简谐运动的能量（难点） 1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程。在最大位移处，势能最大、动能为零；在平衡位置处，动能最大、势能最小。 2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅 A 保持不变。实际运动中总有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．机械能守恒可表示为 4．总能量与振幅：对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。振动系统的总能量为 5．平衡位置处速度最大，由能量守恒可得最大速度 ▍考向一 简谐运动的回复力 回复力是使物体返回平衡位置的效果力，方向总是指向平衡位置，可由某一个力、几个力的合力或某个力的分力提供；简谐运动的动力学特征为 F回＝－kx，负号表示回复力与位移方向相反，比例系数 k 由振动系统决定、与振幅无关。 【例1】光滑的水平面上叠放有质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示，已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对两木块整体，系统有最大振幅时，有 可得： 隔离分析上面的木块，当最大振幅时，两木块间的摩擦力达到最大静摩擦力，有 联立解得：，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】 如图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒，在水池中沿竖直方向做简谐运动，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示，下列说法正确的是（　　） A．水的浮力是木棒做简谐运动的回复力 B．木棒的重力为（F1+F2） C．0～0.25s内木棒的加速度逐渐增大 D．木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρS 【答案】B 【解答】解：A、木棒在竖直方向受到重力与浮力的作用而做简谐运动，所以重力与浮力的合力提供回复力，故A错误； B、由图b可知，当浮力最大和最小时，若浸入水中的深度为h1、h2，根据阿基米德原理有：F1＝ρgSh1，F2＝ρgSh2，根据简谐运动的对称性，木棒处于平衡位置时，木棒浸入水中的深度：h0，G＝F浮＝ρgSh0＝ρgS（），故B正确； C、0～0.25s内为从最大位移到平稳位置的T，偏离平衡位置的位移逐渐减小为零，所以加速度逐渐减小，故C错误； D、设木棒偏离平衡位置的位移为x，则此时木棒受到的回复力：F＝F浮﹣G＝ρS（h0+x）g﹣G＝ρgSx。所以回复力与位移的比值：ρgS，故D错误。 故选：B。 【例3】如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为2mg。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 【答案】B 【解答】解：AB、当A、B静止时，由平衡条件可得kx0＝2mg+mg，解得：。 在振幅最大处，回复力与加速度最大，形变量也最大，设为xm。 对整体，根据牛顿第二定律有kxm﹣（2m+m）g＝（2m+m）amax， 对磁铁B，根据牛顿第二定律有2mg﹣mg＝mamax，解得：amax＝g，。A、B做简谐运动的最大振幅为，故A错误，B正确； C、铁块A在最高点时，根据简谐运动的对称性，磁铁B的加速度为g，方向竖直向下。对磁铁B，由牛顿第二定律得FN﹣2mg+mg＝mg，解得：FN＝2mg＞0，故C错误； D、铁块A从最低点运动到最高点的竖直高度差为Δh＝2A，其重力势能的变化量为，故D错误。 故选：B。 ▍考向二 简谐运动的规律与图像 以位移为桥梁分析各物理量：远离平衡位置时回复力、加速度、势能增大，速度、动能减小，靠近平衡位置时相反；加速度 a＝－(k/m)x，与位移成正比、方向相反；x、v、a、F 均按正弦或余弦规律周期性变化，需结合周期性与对称性判断图像。 【例4】如图，沿直线做简谐运动的物体，经过A点时，加速度大小为3m/s2，经过B点时，加速度大小为4m/s2，且两处加速度方向相同，则运动的（　　） A．平衡位置在A、B两点之间 B．平衡位置到A点的距离小于到B点的 C．物体经过A点时的速度小于B点时的 D．振幅小于A、B两点间的距离 【答案】B 【解答】解：AD．因加速度方向相同，加速度方向为回复力方向，可得物体在平衡位置同一侧，振幅大于A、B两点间的距离，故AD错误； BC．根据简谐运动回复力F＝﹣kx以及牛顿第二定律可知，加速度越小，回复力越小，离平衡位置越近，速度越大，即平衡位置到A点的距离小于到B点的，物体经过A点时的速度大于B点时的，故C错误，B正确。 故选：B。 【例5】如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像。则关于振子的加速度随时间变化的规律，下列四个选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：t＝0时刻振子的位移x＝0，根据简谐运动振子的加速度与位移的关系得到t＝0时刻振子的加速度a＝0，而且在前半个周期内加速度为负值，简谐运动的 x﹣t图像是正弦曲线，则a﹣t图像也是正弦曲线，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【例6】如图所示，一轻弹簧上端固定，下端连接一个小球。现将小球自弹簧原长O位置由静止释放，以竖直向下为正方向，弹簧始终处于弹性限度范围内。在小球下落至最低点过程中，其速度v和位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：小球由弹簧原长处静止释放，受重力G＝mg与弹力F弹＝kx作用。 AB、设向下为正方向，由牛顿第二定律得mg﹣kx＝ma，解得加速度。下落时位移x增大，加速度a减小。 当kx＜mg时，加速度向下且减小，小球做变加速运动； 当kx＝mg时，加速度为零，速度达最大值； 当kx＞mg时，加速度向上且增大，小球做变减速运动直至速度为零到达最低点。 v﹣t图像切线斜率表示加速度。全过程加速度先减后增，故v﹣t曲线斜率应先减至零（速度最大处）再变为负且绝对值增大，图像应为平滑曲线（简谐运动速度图像为正弦曲线），非折线（折线对应匀变速运动），故A错误，B正确； CD、x﹣t图像切线斜率表示速度。小球速度先增后减至零，故x﹣t图像斜率应先由零增至最大再减为零。C图斜率恒定（匀速），D图末态斜率非零（速度未减为零），故CD错误。 故选：B。 ▍考向三 简谐运动的能量 振动过程中动能与势能相互转化：最大位移处势能最大、动能为零，平衡位置动能最大、势能最小；系统机械能守恒、振幅不变，k、m 一定时振幅越大机械能越大。 【例7】如图所示，小物块在平衡位置O附近做简谐振动，振动周期为T，最大动能为Ekm，以小物块向右经过平衡位置的时刻为时间起点，则其动能Ek随时间t的关系为（　　） A．Ek＝Ekmsin（t） B．Ek＝Ekmcos（t） C．Ek＝Ekmsin2（t） D．Ek＝Ekmcos2（t） 【答案】D 【解答】解：以小物块向右经过平衡位置的时刻为时间起点，简谐运动位移与时间的关系为x＝Asin（ωt），求导，可得速度与时间关系为v＝ωAcos（ωt），设最大动能为Ekm，根据动能与速度关系可得Ek＝Ekmcos2（ωt）＝Ekmcos2（t），故D正确，ABC错误。 故选：D。 【例8】如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．振幅为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．小球的最大速度为 D．小球的最大加速度为g 【答案】B 【解答】解：A．设平衡位置时弹簧的伸长量为x，根据平衡条件可得：，故振幅为，故A错误； B．由对称性，小球在最低点，弹簧伸长量为，弹簧的最大弹性势能为，故B正确； C．平衡位置处速度最大，从A点到平衡位置，由动能定理可得：，解得小球的最大速度为：，故C错误； D．A点处小球的加速度最大，根据牛顿第二定律可得：mgsin30°＝ma，解得：，故D错误。 故选：B。 【例9】如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知C、O的高度差为h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，重力加速度为g，则从此刻开始的半个周期时间内，物体（　　） A．动量的变化量为0 B．回复力的冲量大小为2mv C．重力做功为0 D．重力做功为mgh 【答案】B 【解答】解：A、根据简谐振动的特点可知，经过半个周期，物体到达O点的下方对称位置，速度大小相等，方向相反，规定向上的方向为正方向，所以经过半个周期后物体的动量变化量为Δp＝﹣mv﹣mv＝﹣2mv，故A错误； B、根据动量定理可得回复力的冲量为I＝﹣2mv，所以回复力的冲量大小为2mv，故B正确； CD、根据上面A的分析可知，物体经过半个周期到达下方和O点对称的位置，所以物体在竖直方向的位移为2h，则重力做功为2mgh，故CD错误； 故选：B。 ■ 课堂训练（中上难度） 1．如图所示，甲、乙为并列悬挂的两个相同弹簧振子，O、O′分别为两振子的平衡位置。将两球分别拉至A、B位置后同时释放，其中AO＞BO′，下列说法正确的是（　　） A．到达平衡位置时甲球的速度小于乙球 B．到达平衡位置时甲球的速度等于乙球 C．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间小于乙球 D．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球 【答案】D 【解答】解：AB．相同的弹簧振子，由于甲的振幅大于乙的振幅，振幅越大能量越大，则到达平衡位置时甲球的速度大于乙球的速度大小，故AB错误； CD．由题意可知两弹簧振子的振动周期相等，故第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球等于T，故C错误，D正确。 故选：D。 2．将一轻弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂，上端装有一记录弹力的拉力传感器当振子上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知弹簧的劲度系数k＝100N/m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．t＝2s时小球的加速度为0 C．0～2s时间段内，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20N•s D．小球的振幅为0.2m 【答案】C 【解答】解：A.小球在最高点时仅受重力，加速度大小为g，则小球在最低点，弹力为20N时的加速度大小也为g，根据牛顿第二定律F﹣mg＝mg，得m＝1kg，故A错误； B、t＝2s时，弹力为0，说明此时弹簧弹力为0，小球处于最高点，仅受重力，加速度大小为g，故B错误； C.0﹣2s内，速度变化量为0，所以动量变化为0，所以合外力的冲量为0，即mgt＝IF弹＝1×10×2N/s＝20N/s，故C正确； D.最低点和最高点的距离是2A，当弹簧伸长2A时，弹力为20N，所有A0.1m故D错误； 故选：C。 3．如图所示，物块B和C用轻弹簧拴接，C放在水平地面上，物块A放在物块B上，整个系统处于静止状态，突然拿走静止在B上的A，B将在竖直方向做简谐运动，C始终没有离开地面。A、B、C的质量分别为mA、mB和mC，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．拿走A的瞬间，B所处的位置为简谐运动的平衡位置 B．B的振幅为 C．弹簧恢复原长时，B的加速度为零 D．B到达最高位置时，B的加速度大小为 【答案】D 【解答】解：A、突然拿走A物体，B在竖直方向从最低点开始做简谐运动，所以B所处的位置为简谐运动的最低点，不是平衡位置，故A错误； B、A在B上时，对AB受力分析：kx1＝（mA+mB）g 拿走物体A后，B在竖直方向做简谐运动，达到平衡时有：kx0＝mBg 拿走A之后，B在竖直方向上做简谐运动，其振幅A＝x1﹣x0，故B错误； C、根据简谐振动的特点可知，B在平衡位置时的加速度为零，当弹簧恢复原长时，B的加速度为重力加速度g，故C错误； D、利用简谐振动的对称性可知B到达最高位置时，B的加速度大小与最低点的加速度大小相等，则其加速度大小为，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，一轻质弹簧左端固定，右端与小滑块a相连，初始时刻小滑块a静止在光滑的水平面上的O点，质量相等的滑块b紧靠a的右侧，在外力作用下将两滑块推至M点，由静止释放两滑块，a运动至N点速度为0，下列说法正确的是（　　） A．ON＝OM B．滑块a、b在O点右侧某位置分离 C．滑块a无法再次回到M点 D．滑块a从M至O的时间小于O至N的时间 【答案】C 【解答】解：A、设两个滑块在O点时的速度为v，对两滑块从M到O的过程，根据动能定理得 滑块a从O到N的过程， 解得 xOM＞xON 即OM＞ON，故A错误； B、当弹簧恢复原长时弹簧的弹力为零，两个滑块之间没有作用力，两滑块开始分离，所以滑块a、b在O点分离，故B错误； C、设在O、M之间有一点N′，N′和N关于O点对称，滑块a无法再次回到M点，只能回到N′点，滑块a在N′和N点之间往复运动，故C正确； D、根据简谐运动对称性可知，tON＝tON′ 又因为 tOM＞tON′ 所以tOM＞tON，即滑块a从M至O的时间大于O至N的时间，故D错误。 故选：C。 5．如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（　　） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．0～0.5s内，木筷的机械能减小 D．0.25～0.75s内，木筷的路程为2cm 【答案】C 【解答】解：A、木筷的振动周期为，代入ω＝πrad/s，解得：T＝2 s，故A错误； B、木筷做简谐运动的回复力由浮力与重力的合力提供，故B错误； C、在0～0.5 s时间内，木筷向下运动，浮力方向与位移方向相反，浮力做负功，因此木筷的机械能减小，故C正确； D、在t1＝0.25 s时刻，木筷的位移为cm，计算得cm；在t2＝0.75 s时刻，木筷的位移为cm，计算得cm；从t1到t2过程中，木筷通过的路程为s＝|x2﹣x1|，代入数据解得：cm，故D错误。 故选：C。 6．垂钓时鱼漂是反映鱼儿咬钩讯息的工具，如图甲所示。当鱼漂静止时P点恰在水面上。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（　　） A．该鱼漂的振动频率为1.0Hz B．t＝0.3s时鱼漂的速度方向竖直向下 C．t＝0.5s时鱼漂的加速度方向竖直向下 D．t＝0.8s时鱼漂的速度和加速度均最大 【答案】C 【解答】解：A、由图可知周期T＝0.8s，则频率，故A错误； BC、取竖直向上为位移的正方向，0.3s之后很短的时间内位移为正值且增大，可知t＝0.3s时鱼漂向上运动，速度方向竖直向上， t＝0.5s时位移为正值可知鱼漂在平衡位置上方，根据加速度始终指向平衡位置，可知t＝0.5s时鱼漂的加速度方向竖直向下，故B错误，C正确； D、t＝0.8s时鱼漂在最低点，速度为零，加速度最大，故D错误。 故选：C。 7．如图为弹簧振子的频闪照片。频闪仪闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置，拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列像。图中A为小球运动过程中的一个位置，此时小球（　　） A．向左运动 B．回复力在增大 C．加速度方向向右 D．动能在增大 【答案】B 【解答】解：拍摄时底片从下向上匀速运动，可知此时小球向右运动，回复力在增大，加速度方向向左，速度在减小，动能在减小，故B正确，ACD错误。 故选：B。 8．如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定一质量为m的小球，不计阻力，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为g，求： （1）此简谐运动的振幅A； （2）弹簧弹性势能的最大值。 【答案】（1）此简谐运动的振幅A为； （2）弹簧弹性势能的最大值等于。 【解答】解：（1）小球做简谐运动，由重力和弹簧弹力的合力提供回复力，在平衡位置有mg＝kx， 根据题意则有x＝A，即此简谐运动的振幅为； （2）系统机械能守恒，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能最大，小球从最高点运动到最低点，重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，则有。 答：（1）此简谐运动的振幅A为； （2）弹簧弹性势能的最大值等于。 9．如图所示，一根轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向上下振动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。已知弹簧劲度系数为k，小球经过平衡位置时速度大小为v，重力加速度为g。 （1）证明小球的运动是简谐运动； （2）若小球做简谐运动的周期为T，求自静止释放到第一次经过平衡位置过程中，弹簧对小球的冲量大小I。 【答案】（1）设小球在平衡位置时弹簧伸长量为x0，有kx0＝mg 以平衡位置为坐标原点、向下为正方向建立直线坐标系，设某时刻小球向下运动位移为x，有 F回＝mg﹣k（x0+x）＝﹣kx 因为F回正比于x且方向与位移x相反，故小球的运动是简谐运动； （2）若小球做简谐运动的周期为T，自静止释放到第一次经过平衡位置过程中，弹簧对小球的冲量大小mv。 【解答】解：（1）设小球在平衡位置时弹簧伸长量为x0，有 kx0＝mg 以平衡位置为坐标原点、向下为正方向建立直线坐标系，设某时刻小球向下运动位移为x，有 F回＝mg﹣k（x0+x）＝﹣kx 因为F回正比于x且方向与位移x相反，故小球的运动是简谐运动。 （2）小球自静止释放到第一次经过平衡位置过程，由动量定理有 可解得 答：（1）设小球在平衡位置时弹簧伸长量为x0，有kx0＝mg 以平衡位置为坐标原点、向下为正方向建立直线坐标系，设某时刻小球向下运动位移为x，有 F回＝mg﹣k（x0+x）＝﹣kx 因为F回正比于x且方向与位移x相反，故小球的运动是简谐运动； （2）若小球做简谐运动的周期为T，自静止释放到第一次经过平衡位置过程中，弹簧对小球的冲量大小mv。 10．如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物块P，P和物块Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，P处于位置O。将P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间做简谐运动，物块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度。已知P的质量为m，Q的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： （1）P做简谐运动的振幅A； （2）弹簧的最大弹性势能Epm； （3）绳上的最大拉力Fm。 【答案】（1）振幅为。 （2）最大弹性势能为。 （3）绳上的最大拉力为。 【解答】解：（1）系统静止时，物块P位于平衡位置O，物块Q受重力和绳的拉力而平衡，故绳的拉力为F0＝2mg。对物块P，弹簧弹力与绳的拉力平衡。 物块从弹簧原长位置A点由静止释放，该点为简谐运动的左侧端点，因此振幅A等于平衡时弹簧的伸长量。根据平衡条件有kA＝F0，解得。 （2）物块P运动到最右端时，弹簧伸长量最大。由于简谐运动的两端点关于平衡位置对称，此时弹簧的伸长量为2A。 根据弹性势能公式，有，解得。 （3）设弹簧伸长量为x，绳的拉力为F。取物块P向右、物块Q向下为各自的正方向，由于轻绳不可伸长，两物块的加速度大小相等，对应的加速度均记为a。 对物块P，由牛顿第二定律有F﹣kx＝ma；对物块Q，有2mg﹣F＝2ma。联立解得。 可见，绳的拉力随弹簧伸长量的增大而增大，因此物块P位于最右端、即x＝2A时，绳的拉力最大。由，解得。 答：（1）振幅为。 （2）最大弹性势能为。 （3）绳上的最大拉力为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 简谐运动的回复力和能量 人教版（2019）· 高中物理 选择性必修第一册 教 学 内 容 导练目标 导练内容 目标1 理解回复力的概念、方向与来源，掌握动力学特征 F回＝－kx，会判定简谐运动（重点）。 目标2 理解加速度与位移的关系 a＝－(k/m)x，会分析 x、v、a、F 的变化规律与图像（易错点）。 目标3 理解动能与势能的转化及机械能守恒，掌握振幅与能量的关系（难点）。 ■ 知识导学与典例导练 ▍一、简谐运动的回复力（重点） 1．回复力的定义：使振动物体返回到平衡位置的力称为回复力。回复力的方向总是指向平衡位置，像一根“拉回原点的橡皮筋”。 2．回复力的来源：回复力是根据力的作用效果命名的效果力，不是物体额外受到的力，受力分析时不能重复计入。它可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，并且一定等于物体在振动方向上所受的合力。 振动情境 回复力的来源 方向特点 水平弹簧振子 弹簧的弹力 沿水平方向指向平衡位置 竖直弹簧振子 弹簧弹力与重力的合力 沿竖直方向指向平衡位置 叠放的木块 两木块间的静摩擦力 随整体一起指向平衡位置 水中浮体（木筷、鱼漂） 浮力与重力的合力 沿竖直方向指向平衡位置 3．简谐运动的动力学特征：理论和实验表明，物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总是指向平衡位置，其表达式为 式中“－”号表示回复力 F 与位移 x 的方向相反；k 是比例系数，不一定等于弹簧的劲度系数，其值由振动系统本身的性质决定，与振幅无关。 4．简谐运动的判定：如果物体在运动方向上所受的力具有 F回＝－kx 的形式，即力与位移成正比且始终指向平衡位置，物体就做简谐运动。 5．简谐运动的加速度：由 F回＝－kx 及牛顿第二定律 F＝ma 可知，加速度与位移大小成正比、方向与位移方向相反 ▍二、简谐运动的规律与图像 1．以位移为桥梁：分析各物理量的变化时，先判断位移如何变化，再据此推出其他量。位移增大（远离平衡位置）时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；位移减小（靠近平衡位置）时变化相反。各矢量均在其值为零时改变方向。 2．各物理量在两个特殊位置的特点： 物理量 平衡位置（x＝0） 最大位移处（x＝±A） 位移 x 0 最大，为 ±A 回复力 F 0 最大，大小为 kA 加速度 a 0 最大，大小为 kA/m 速度 v 最大，为 vmax 0 动能 Ek 最大 0 势能 Ep 最小 最大 3．周期性与对称性：位移相同时，回复力、加速度、动能、势能都可以确定，但速度可能有两个方向（等大反向），由于周期性，对应的运动时间也不确定，分析时要注意多解。 4．x、v、a、F 均按正弦或余弦规律发生周期性变化，其中速度 v 与加速度 a 的变化趋势相反；判断图像时要抓住初态取值、方向及增减趋势。 ▍三、简谐运动的能量（难点） 1．能量转化：弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程。在最大位移处，势能最大、动能为零；在平衡位置处，动能最大、势能最小。 2．能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，振幅 A 保持不变。实际运动中总有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。 3．机械能守恒可表示为 4．总能量与振幅：对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统，振幅越大，机械能越大。振动系统的总能量为 5．平衡位置处速度最大，由能量守恒可得最大速度 ▍考向一 简谐运动的回复力 回复力是使物体返回平衡位置的效果力，方向总是指向平衡位置，可由某一个力、几个力的合力或某个力的分力提供；简谐运动的动力学特征为 F回＝－kx，负号表示回复力与位移方向相反，比例系数 k 由振动系统决定、与振幅无关。 【例1】光滑的水平面上叠放有质量分别为m和的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示，已知两木块之间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（　　） A． B． C． D． 【例2】 如图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒，在水池中沿竖直方向做简谐运动，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，木棒所受的浮力F随时间变化的图像如图b所示，下列说法正确的是（　　） A．水的浮力是木棒做简谐运动的回复力 B．木棒的重力为（F1+F2） C．0～0.25s内木棒的加速度逐渐增大 D．木棒所受回复力大小与位移大小的比值为ρS 【例3】如图所示，一根劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂质量为2m铁块A，其下方吸引一质量为m磁铁B，磁铁对铁块的吸引力恒为2mg。若使A和B能一起沿竖直方向做简谐运动，重力加速度为g，空气阻力不计。下列说法正确的是（　　） A．A、B做简谐运动的最大振幅为 B．铁块A的最大加速度为g C．铁块A在最高点时，A、B之间的弹力可能为零 D．铁块A从最低点至最高点过程中，其重力势能变化量最大值为 ▍考向二 简谐运动的规律与图像 以位移为桥梁分析各物理量：远离平衡位置时回复力、加速度、势能增大，速度、动能减小，靠近平衡位置时相反；加速度 a＝－(k/m)x，与位移成正比、方向相反；x、v、a、F 均按正弦或余弦规律周期性变化，需结合周期性与对称性判断图像。 【例4】如图，沿直线做简谐运动的物体，经过A点时，加速度大小为3m/s2，经过B点时，加速度大小为4m/s2，且两处加速度方向相同，则运动的（　　） A．平衡位置在A、B两点之间 B．平衡位置到A点的距离小于到B点的 C．物体经过A点时的速度小于B点时的 D．振幅小于A、B两点间的距离 【例5】如图甲所示，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像。则关于振子的加速度随时间变化的规律，下列四个选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【例6】如图所示，一轻弹簧上端固定，下端连接一个小球。现将小球自弹簧原长O位置由静止释放，以竖直向下为正方向，弹簧始终处于弹性限度范围内。在小球下落至最低点过程中，其速度v和位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． ▍考向三 简谐运动的能量 振动过程中动能与势能相互转化：最大位移处势能最大、动能为零，平衡位置动能最大、势能最小；系统机械能守恒、振幅不变，k、m 一定时振幅越大机械能越大。 【例7】如图所示，小物块在平衡位置O附近做简谐振动，振动周期为T，最大动能为Ekm，以小物块向右经过平衡位置的时刻为时间起点，则其动能Ek随时间t的关系为（　　） A．Ek＝Ekmsin（t） B．Ek＝Ekmcos（t） C．Ek＝Ekmsin2（t） D．Ek＝Ekmcos2（t） 【例8】如图所示，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，一根劲度系数为k的轻弹簧上端固定于斜面顶端挡板上，另一端与质量为m的小球连接，静止于O点，现把小球从弹簧原长处A点静止释放，小球做简谐运动，弹簧的弹性势能为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．振幅为 B．弹簧的最大弹性势能为 C．小球的最大速度为 D．小球的最大加速度为g 【例9】如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知C、O的高度差为h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，重力加速度为g，则从此刻开始的半个周期时间内，物体（　　） A．动量的变化量为0 B．回复力的冲量大小为2mv C．重力做功为0 D．重力做功为mgh ■ 课堂训练（中上难度） 1．如图所示，甲、乙为并列悬挂的两个相同弹簧振子，O、O′分别为两振子的平衡位置。将两球分别拉至A、B位置后同时释放，其中AO＞BO′，下列说法正确的是（　　） A．到达平衡位置时甲球的速度小于乙球 B．到达平衡位置时甲球的速度等于乙球 C．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间小于乙球 D．第一次到达平衡位置过程甲球所用时间等于乙球 2．将一轻弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂，上端装有一记录弹力的拉力传感器当振子上下振动时，弹力随时间的变化规律如图所示。已知弹簧的劲度系数k＝100N/m，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．小球的质量为2kg B．t＝2s时小球的加速度为0 C．0～2s时间段内，弹簧的弹力对小球的冲量大小为20N•s D．小球的振幅为0.2m 3．如图所示，物块B和C用轻弹簧拴接，C放在水平地面上，物块A放在物块B上，整个系统处于静止状态，突然拿走静止在B上的A，B将在竖直方向做简谐运动，C始终没有离开地面。A、B、C的质量分别为mA、mB和mC，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．拿走A的瞬间，B所处的位置为简谐运动的平衡位置 B．B的振幅为 C．弹簧恢复原长时，B的加速度为零 D．B到达最高位置时，B的加速度大小为 4．如图所示，一轻质弹簧左端固定，右端与小滑块a相连，初始时刻小滑块a静止在光滑的水平面上的O点，质量相等的滑块b紧靠a的右侧，在外力作用下将两滑块推至M点，由静止释放两滑块，a运动至N点速度为0，下列说法正确的是（　　） A．ON＝OM B．滑块a、b在O点右侧某位置分离 C．滑块a无法再次回到M点 D．滑块a从M至O的时间小于O至N的时间 5．如图所示，粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一小段距离后放手，同时开始计时，木筷的振动方程。则（　　） A．木筷振动周期为1s B．木筷的回复力由浮力提供 C．0～0.5s内，木筷的机械能减小 D．0.25～0.75s内，木筷的路程为2cm 6．垂钓时鱼漂是反映鱼儿咬钩讯息的工具，如图甲所示。当鱼漂静止时P点恰在水面上。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（　　） A．该鱼漂的振动频率为1.0Hz B．t＝0.3s时鱼漂的速度方向竖直向下 C．t＝0.5s时鱼漂的加速度方向竖直向下 D．t＝0.8s时鱼漂的速度和加速度均最大 7．如图为弹簧振子的频闪照片。频闪仪闪光的瞬间振子被照亮，从而得到闪光时小球的位置，拍摄时底片从下向上匀速运动，因此在底片上留下了小球和弹簧的一系列像。图中A为小球运动过程中的一个位置，此时小球（　　） A．向左运动 B．回复力在增大 C．加速度方向向右 D．动能在增大 8．如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定一质量为m的小球，不计阻力，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，重力加速度为g，求： （1）此简谐运动的振幅A； （2）弹簧弹性势能的最大值。 9．如图所示，一根轻弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球。现用手把球向上托起，使球从弹簧原长处由静止释放，小球将沿竖直方向上下振动，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力。已知弹簧劲度系数为k，小球经过平衡位置时速度大小为v，重力加速度为g。 （1）证明小球的运动是简谐运动； （2）若小球做简谐运动的周期为T，求自静止释放到第一次经过平衡位置过程中，弹簧对小球的冲量大小I。 10．如图所示，水平光滑桌面上，轻弹簧的左端固定，右端连接物块P，P和物块Q通过轻绳绕过定滑轮连接。开始时，系统处于静止状态，P处于位置O。将P向左推至弹簧原长的位置A点后由静止释放，P将在A点和右侧的某位置（图中未画出）之间做简谐运动，物块未与定滑轮相碰，弹簧未超出弹性限度。已知P的质量为m，Q的质量为2m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计一切摩擦。求： （1）P做简谐运动的振幅A； （2）弹簧的最大弹性势能Epm； （3）绳上的最大拉力Fm。 1 学科网（北京）股份有限公司 $