专题9 函数的单调性 2026-2027学年广东省高一同步数学《小题精练》（原卷版+解析版）

2026-2027学年广东省高一数学《小题精练》 专题9 函数的单调性 日期 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列函数中，在 R 上是增函数的是（    ） A．y=−2x+1 B．y=x² C．y=2x+1 D．y= 【答案】C 【分析】函数在 R 上单调，要求它在整个定义域上保持同一单调性，逐项判断。 【详解】A 中 y=−2x+1 在 R 上是减函数； B 中 y=x² 在 (−∞, 0] 上递减、在 [0, +∞) 上递增，不是 R 上的增函数； D 中 y= 的定义域是 {x | x≠0}，不是 R； 只有 C 中 y=2x+1 在 R 上是增函数。所以选 C。 2．已知函数 f(x) 在 R 上是减函数，且 f(1)=5，f(3)=1，则 f(2) 满足（    ） A．f(2)>5 B．f(2)<1 C．f(2)=3 D．1<f(2)<5 【答案】D 【分析】利用减函数的定义：自变量越大，函数值越小。 【详解】因为 f(x) 在 R 上是减函数，且 1<2<3，所以 f(1)>f(2)>f(3)，即 5>f(2)>1，也就是 1<f(2)<5，D 正确。 3．函数 y=x²−4x 的单调递减区间是（    ） A．(−∞, 2] B．[2, +∞) C．(−∞, 0] D．[0, +∞) 【答案】A 【分析】二次函数的单调区间由图象的开口方向和对称轴决定。 【详解】y=x²−4x=(x−2)²−4，图象开口向上，对称轴为 x=2，所以在 (−∞, 2] 上单调递减，A 正确。 4．函数 f(x)= 在区间 (−∞, 0) 上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】B 【分析】由反比例函数的图象判断它在 (−∞, 0) 上的单调性。 【详解】由反比例函数 y= 的图象可知，它在 (−∞, 0) 上单调递减， 所以 f(x)= 在 (−∞, 0) 上是减函数，B 正确。 5．已知函数 f(x)=(a−2)x+1 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（    ） A．a>2 B．a>−2 C．a<−2 D．a<2 【答案】D 【分析】一次函数在 R 上递减的条件是一次项系数小于 0。 【详解】f(x)=(a−2)x+1 在 R 上是减函数，需 a−2<0，解得 a<2，D 正确。 6．函数 y=−x²+2x 的单调递增区间是（    ） A．(−∞, 1] B．[1, +∞) C．[0, +∞) D．(−∞, 0] 【答案】A 【分析】先配方求对称轴，再由图象的开口方向确定单调递增区间。 【详解】y=−x²+2x=−(x−1)²+1，图象开口向下，对称轴为 x=1，所以在 (−∞, 1] 上单调递增，A 正确。 7．已知函数 f(x) 在 (0, +∞) 上是增函数，则 f(2) 与 f(3) 的大小关系是（    ） A．f(2)>f(3) B．f(2)<f(3) C．f(2)=f(3) D．不能确定 【答案】B 【分析】利用增函数的定义：自变量越大，函数值越大。 【详解】因为 f(x) 在 (0, +∞) 上是增函数，且 2<3，所以 f(2)<f(3)，B 正确。 8．下列函数中，在 (0, +∞) 上是减函数的是（    ） A．y=2x+1 B．y=x² C．y=−x+3 D．y=x 【答案】C 【分析】先判断各基本函数在区间 (0, +∞) 上的单调性，再选出符合条件的一个。 【详解】y=2x+1 在 (0, +∞) 上是增函数；y=x² 在 (0, +∞) 上是增函数； y=−x+3 在 (0, +∞) 上是减函数；y=x 在 (0, +∞) 上是增函数。所以选 C。 二、填空题 9.函数 f(x)=−3x+2 在 R 上是 （填“增函数”或“减函数”）。 【答案】减函数 【分析】一次函数的单调性由一次项系数的正负决定。 【详解】f(x)=−3x+2 中一次项系数 k=−3<0，所以 f(x) 在 R 上是减函数。 10.函数 y=x²−6x+5 的单调递增区间是 。 【答案】[3, +∞) 【分析】二次函数的单调递增区间在对称轴的一侧，由开口方向和对称轴确定。 【详解】y=x²−6x+5=(x−3)²−4，图象开口向上，对称轴为 x=3， 所以单调递增区间是 [3, +∞)。 11.已知函数 f(x) 在 R 上是增函数，且 f(2)=3，则不等式 f(x)>3 的解集是 。 【答案】x>2 【分析】利用增函数的定义，把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系。 【详解】因为 f(x) 在 R 上是增函数，且 f(2)=3，所以 f(x)>3 即 f(x)>f(2)，等价于 x>2，所以解集为 x>2。 三、解答题 12.用定义证明：函数 f(x)=−2x+3 在 R 上是减函数。 【答案】证明：任取 <，均有 f()>f()，所以 f(x) 在 R 上是减函数。 【分析】按取值—作差—变形定号—下结论的步骤，用定义证明单调性。 【详解】任取 ，∈R，且 <， 则 f()−f()=(−2+3)−(−2+3)=−2(−)。因为 <，所以 −<0，从而 f()−f()>0，即 f()>f()。由减函数的定义可知，f(x)=−2x+3 在 R 上是减函数。 13.已知函数 f(x)=x²−2ax+1 在区间 [2, +∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 【答案】a≤2。 【分析】先配方求出二次函数的对称轴，再由单调区间与对称轴的位置关系列出条件。 【详解】f(x)=x²−2ax+1=(x−a)²+1−a²，图象开口向上，对称轴为 x=a。 二次函数在 [a, +∞) 上单调递增，要使 f(x) 在 [2, +∞) 上是增函数， 需区间 [2, +∞) 包含在 [a, +∞) 内，即 a≤2。所以 a 的取值范围是 a≤2。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省高一数学《小题精练》 专题9 函数的单调性 日期 班级 姓名 学号 一、单项选择题 1．下列函数中，在 R 上是增函数的是（    ） A．y=−2x+1 B．y=x² C．y=2x+1 D．y= 2．已知函数 f(x) 在 R 上是减函数，且 f(1)=5，f(3)=1，则 f(2) 满足（    ） A．f(2)>5 B．f(2)<1 C．f(2)=3 D．1<f(2)<5 3．函数 y=x²−4x 的单调递减区间是（    ） A．(−∞, 2] B．[2, +∞) C．(−∞, 0] D．[0, +∞) 4．函数 f(x)= 在区间 (−∞, 0) 上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 5．已知函数 f(x)=(a−2)x+1 在 R 上是减函数，则实数 a 的取值范围是（    ） A．a>2 B．a>−2 C．a<−2 D．a<2 6．函数 y=−x²+2x 的单调递增区间是（    ） A．(−∞, 1] B．[1, +∞) C．[0, +∞) D．(−∞, 0] 7．已知函数 f(x) 在 (0, +∞) 上是增函数，则 f(2) 与 f(3) 的大小关系是（    ） A．f(2)>f(3) B．f(2)<f(3) C．f(2)=f(3) D．不能确定 8．下列函数中，在 (0, +∞) 上是减函数的是（    ） A．y=2x+1 B．y=x² C．y=−x+3 D．y=x 二、填空题 9.函数 f(x)=−3x+2 在 R 上是 （填“增函数”或“减函数”）。 10.函数 y=x²−6x+5 的单调递增区间是 。 11.已知函数 f(x) 在 R 上是增函数，且 f(2)=3，则不等式 f(x)>3 的解集是 。 三、解答题 12.用定义证明：函数 f(x)=−2x+3 在 R 上是减函数。 13.已知函数 f(x)=x²−2ax+1 在区间 [2, +∞) 上是增函数，求实数 a 的取值范围。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $