云南省名校协作体2026-2027学年高三上学期11月期中数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 如 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.若复数z满足z=(1+2i)(1一i),则复数z= C.-1-i ☒ A.-1+i B.3+i D.-3-i 2.已知e1,e2是两个不共线向量，向量a与e1,e2均不共线，且a=3e1十te2,则实数t不可能为 救 A.-1 B.0 C.1 D.元 3.已知集合M= tan 7 4,cos ,2sin 2 13r,3b ,N=(x|-2<x-1<1),则M∩N= A.0,1}》 B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 4.二项式(x一是) 的展开式中常数项为 A.10 B.-10 C.5 D.-5 5.观星台是我国现存最古老的天文台.包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为 世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高9.46米，台下正四边形 边长16米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为 A.1388米3 B.1398米 C.1406米 D.1456米3 6.已知a∈(g,),cos(2a-)=-日，则cos(a-晋)- A B 4 n-是 【高三期中考试题·数学第1页（共4页）】 27-T-129C 7已知函数fx)=ln(1+x)-1千之，则不等式f(x-1)>f(2x-3)的解集为 A(侍，+∞ B(，2 C.(-∞，2) D.(o,) 8.一盒子中装有6个编号分别为1,2,3,4,5,6的小球（小球的其余特征完全一致）.从中有放回 地随机取球2次，每次取1个小球.记“第1次取出的小球的编号为1”为事件E,“第2次取出 的小球的编号为1”为事件F,“两次取出的小球的编号之和为5”为事件G,“两次取出的小球 的编号之和为奇数”为事件H,则 A.事件E与事件G互斥 B.事件F与事件G相互独立 C.事件E与事件H相互独立 D.P(E+F)=号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若a<0<b,且a十b>0,则下列说法正确的是 A6>-1 B2+6>0 C.a2<62 D.(a-1)(b-1)<0 10.已知函数f(x)=4sin(2x+苓)(x∈R),则 A.由f(x1)=f(x2)=0可得x1一x2必是π的整数倍 B.y=f(x)的图象关于点(-否，0)对称 C.y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-若) D.y=f(x)的图象可由y=4sin(2x一哥)的图象向左平移个单位长度得到 11.设定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f(x),对于Hx∈R,都有f(2十x)=一f(x),当 0≤x<1时，f(x)=一x2+2x,则 A.曲线y=f'(x)关于y轴对称 B.f(x)是周期函数 C.当1<x≤2时，f(x)=一x2十4x-3 D(贸)=- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若命题p:3x∈[一2,2]，使得x2一2x一m2+2m≥0为假命题，则实数m的取值范围为 13已知椭圆E差+芳=1(a>6>0)的左顶点为A,上顶点为B,0为坐标原点，若万1OA1= 2OB引，则E的离心率为 14,若1gx+1gy=2,则y十1+x十1的取值范围是 【高三期中考试题·数学第2页（共4页）】 27-T-129C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a5=4a4,S3=42. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若6，=oga,10g2a,+1,求数列(6.}的前n项和T 16.(本小题满分15分) 已知函数(x)=号x2十ax2+bx的两个极值点分别为一2和3. (1)求f(x)的解析式； (2)若直线y=一4x十c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，求c的值. 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC=2√3，D为边AB上的一点，且 a=2bsin(C+若) (1)求B; (2)若BD=1,∠ACD=,求AC的长. 【高三期中考试题·数学第3页（共4页）】 27-T-129C 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,E为 线段PB的中点，F为线段BD上的动点. (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; (2)设点G是线段PC上的一点，且满足PG=2GC.在线段BD上是否存在点F,使得A,E, G,F四点共面？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由； (3)求平面AEF与平面PCD夹角的余弦值的最大值， : : : 好 19.(本小题满分17分) 甲、乙两人进行投篮练习，每人最多投篮2n(n≥3，n∈N")次，约定如下：若先投篮者有两次 投篮不中，则换成另一人投篮，否则一直投篮2次假设甲每次投篮投中的概率为子，且各 次投篮结果相互独立.若甲先投篮，随机变量X表示换成乙投篮时甲投篮的次数， (1)求P(X=2),P(X=3); (2)求X的分布列； (3)求P(X=2|X≤n) 【高三期中考试题·数学第4页（共4页）】 27-T-129C参考答案、提示及评分细则 1.Bz=(1+2i)(1-i)=1+2i-i-22=3+i.故选B. 2.B因为向量a与e1,e2均不共线，且a=3e1十te2,所以t≠0.故选B. 3.A由题意得M={-1,0,1,2},N={x-1<x<2},所以M∩N={0,1}.故选A. 4.D 二项式(x-) 展开式的通项为T+1=Cxr(-是）广'=(-1)Cx,令5-5r=0,解得r=1,所 以二项式(x-子)）目 的展开式中常数项为一C=一5.故选D, 5.D设该四棱台的下底面边长为a,高为k,则上底面边长为号，体积V=号(c+军+受)A=7,其中h= 9.46,16<a<17,所以1412.7<V<1594.8.故选D. 6.C因为os(2a-平)=cos[2(。-晋)]=2cos(。-吾)-1=-g,所以os(。-晋)=品又a∈ (g,贤)，所以a-吾∈（受x,所以cos(。-吾）<0，os(。-吾)=-只故选C 7.B由题知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，十∞)上单调递增，故由f(x一1)>f(2x一3)可得 1x-1>2x-31,解得号<x<2.故选B &C由题意知，事件E与事件G可以同时发生，放二者不互斥，故A错误：P(F)-8-言，P(G)=支。 4 日，P(FG)=6文G高P(PG)≠PFP(G,P(HX88X3-,P(E)6-言，P(EH 11 6×6 一6又6一2，所以P(EH)=P(E)P(H),故事件F和事件G不相互独立，事件E与事件H相互独立：又 3 P(EF)= 文6需，P(E+P)=P(E)+P(F)-P(EF)=日+日-元品故D借误故选C 9.AC因为a<0<b,且a+b>0,所以b>-a>0,所以0<-分<1，即-1<分<0，故A正确：因为b>-a> 0.a十6>0，所以日+合-由<0，放B错误：因为a<0<6,所以1a=-a,6=6,由a+6>0可得 1b>a,所以a2<,故C正确；因为当a=-弓，b=号，此时(a-1)b-1)>0,故D错误.故选AC 10.BC对于A,m,2是f(x)的两个零点，即一2是的整数倍，故A错误；对于B,f(-石)=0，故B正 确，对于C,y=4sin(2x+号)=4cos（受-2x-号)=4cos(2x-晋)，故C正确：对于D,y=f(x)= 4sin2(x+否)的图象可由y=4sin(2x-号）=4sin2(x一否)的图象向左平移号个单位长度得到，故D 错误.故选BC 11.ABD因为f(x)是R上的奇函数，所以f(一x)=一f(x),两边取导数得一f(一x)=一f(x),则f(一x) =f(x),所以f(x)是偶函数，即曲线y=f(x)关于y轴对称，故A正确；设h(x)=f(2+x)十f(x),则 h'(x)=f(2+x)+f(x)=0,所以h(x)=c,当x=-1时，h(-1)=f(1)+f(一1)=0，因此c=0,所以 f(2十x)=一f(x),则f(4十x)=-f(2十x)=f(x),所以4为f(x)的一个周期，故f(x)是周期函数，故 B正确；因为f(-x)=一f(x),f(2十x)=一f(x),所以f(2+x)=f(一x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=1对称，当1<x≤2时，2-x∈[0,1)，所以f(x)=f(2-x)=-（2-x)2+2(2-x)=-x2+2x,故C错 误：由周期性可知（受）=f(16+号)=f(受)=f(2+)=一f(号)=一是，故D正确，故选ABD 12.(-∞，-2)U(4,+∞)因为p为假命题，所以7p:Hx∈[-2,2]，x2-2x-m2+2m<0为真命题，即 当-2≤x≤2时，x2-2x-m2+2m<0恒成立.因为f(x)=x2-2x-m2+2m=(x-1)2-m2+2m-1图 【高三期中考试题·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-129C 象的对称轴为x=1,所以f(x)mx=f(-2)=-m2+2m十8，所以-m2+2m十8<0，即m2-2-8>0, 解得m<-2或m>4,即实数m的取值范围为（一∞，一2）U(4,十∞). 13.号 由题意，得8-名又51OA1=21OB1,所以名-停所以E的离心率为e=√-（合了- 1[号，+∞）由gx+gy=2,得x>0>0,且xy=10.因为1+=+号++}≥2+ y y 2√=2+2√而-号当且仅当=y=10时取“-“故士+少的取值范周是[号+)》 15.解：(1)设{an}的公比为q,由a5=4a4,得q=4.… …2分 由S,=42,得404)=42，解得a,=2. 1-4 …4分 所以an=a1以1=2…4w-1=22w1.…6分 (2)由an=22m-1,得 log2an·log2am+i …10分 所以=1吉)+号（兮吉）++（之）1 =2n+1 …13分 16.解：(1)f(x)=x2十2a.x十b,… …1分 由题意，得一2和3是关于x的方程f(x)=0的两根，… …2分 由韦达定理，得二汁3二一2u,解得a=2 1-2×3=b, (b=-6, 此时f(x)=x2-x-6=(x-3)(x十2). 5分 当x<-2时，f(x)>0;当-2<x<3时，f(x)<0;当x>3时，f(x)>0, 所以f(x)在（一∞，一2）和(3，十∞)上单调递增，在（一2,3）上单调递减， 所以x=一2是f(x)的极大值点，x=3是f(x)的极小值点，符合题意. 综上，fx)=3-合r-6x …7分 (注：如果不进行验证，扣2分.) (2)直线y=一4x十c与曲线y=f(x)有且仅有两个公共点，等价于关于x的方程f(x)=一4.x十c仅有两个 实根，即关于x的方程号2-22-2x一c=0仅有两个实根 …9分 设g)=号r-r-2x-c则g)=t-2-2=(x-2(x+1D. …10分 当x<-1时，g'(x)>0;当-1<x<2时，g'(x)<0;当x>2时，g'(x)>0, 所以g(x)在（一∞，一1）和(2，十∞)上单调递增，在（一1,2）上单调递减， 所以x=一1是g(x)的极大值点，x=2是g(x)的极小值点， 且g(-1)= 6 一c,g(2)= 3 c …13分 7 一c=0, ( 6 6-c>0, 根据题意，得 或 15分 10 -19-c=0 解得c=名或c=- 3 3 -c<0, 1一3 17.解：(1)因为a=2bsin(C+否）=b(,3sinC+cosC), 由正弦定理得sinA=sinB(W3sinC十cosC),…2分 即sin Bcos C+cos Bsin C=√3 sin Bsin C+sin Bcos C,所以cos Bsin C=√3 sin Bsin C, …4分 因为sinC>0,所以cosB=3sinB,即tanB= 3 6分 【高三期中考试题·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-129C 因为B∈(0，π)，所以B= 6 …7分 (2)因为BC=23,BD=1,B=,由余弦定理得 CD=BC+BD-2BC.BD·cosB=1+12-2X1X25×5=7,所以CD=/万. …9分 因为∠BDC=受+A,所以sim∠BDC=sin(受+A）=cosA. …11分 BC 在△BDC中由弦定理得in BDC B所以23.即cosA织snA2 cos A 1 7, …13分 2 所以mA-2号-是解得AC=四 2 15分 18.(1)证明：因为底面ABCD为正方形，所以BCLAB.…1分 又PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD,所以PA⊥BC. 2分 因为AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,…3分 又AEC平面PAB,所以BC⊥AE.…4分 在△PAB中，PA=AB,E为PB的中点，所以AE⊥PB,且BC∩PB=B,BC,PBC平面PBC, 所以AEL平面PBC,…5分 又AEC平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.…6分P (2)解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为之轴，建立如图所示的空 间直角坐标系. 因为AB=2,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),由PG =2c.得G(号，号号)， 则Ai=(20.0.Bd=(-2,2.0.Ai=1,0.1).A心-（侍，专，号） 设B=Bd,A∈[0,1，AF=AB+1Bd=(2-2,2,0). 四点A,E,G,F共面，即存在实数m,n使得AF=mA立+nAG, 即2-2以2以0)=m10.0+(告专，号)，得方程组： 4 2-2λ=m+3, 4 2λ=31： …9分 0=m号 解得 m=- 3, n=1, 即存在唯一点F在BD上，使得A,E,F,G四点共面，此时BF=号BD(F点在线段BD上靠近D点的三等 分点处) …11分 (3)解：由(2)知PC=(2,2,-2),Pd=(0,2,-2), PC·m=0, (2x1+2y1-2a=0./x1=0, 设平面PCD的一个法向量为m=(x,y,之)，则 即 PD.m=0, 2y1-221=0 (y1=3, 取m=(0,1,1), …12分 AEn=0, 设平面AEF的一个法向量为n=(x2,y2,2),则 即 x2十22=0， AF·n=0,(2-2)x2+2λ2=0， 【高三期中考试题·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-129C 取x2=λ，得n=(入，入-1，一入)，λ∈[0,1].… 14分 设平面AEF与平面PCD的夹角为0，则 m·n cos0=TmT·TnT =0·入+1·(-1)+1·(-A)⊥ √2+(0-1)2+(-λ)F·√2√2·√32-2+1 1 2 当入=号时，c0s0取得最大值， 所以平面AEF与平面PCD夹角的余弦值的最大值是 17分 1.解：1P(X=2)=3×3-日 2分 PX=30=号×号×号+×号× 1 4 4分 (2)当X=k(2≤k≤21一1，k∈N*)时，第k次投篮未进， 则前面一1次投篮中有1次未投中，所以PX=)=,×号×（号）×弓-，×（号）》， …7分 当X=2n(n≥2，n∈N*)时， 若前面2m一1次投篮都投中，其概率为（号）， 若前面2”一1次投篮中有1次未投中，其概率为2×（层）产。 故Px=2=(号)+2×（号）=2×（号 2- ,…10分 所以X的分布列为 X 3 4 … 2n-1 2n P 日×（号）” 号×（号）} 号×（号） 9 ×(号)产 3 …11分 (3)由上可知P(X=2)=日 pX≤=g×(号）广+号×（号）广+…叶"写×（号），①…12分 号PX≤w=×(号)广+号×（号）广‘++”写×（号），② ①-@得gPX≤w=[1+(号)广+（号++（号）]”号×（号）…13分 9 y-号 1 3 所以PX≤)=1-"×（号）， …15分 故PX=2引X≤W-fX” P(X=2) 31 30-2 9-3u+2)(号)7-3-3m+20x27-(m2)x2. …17分 【高三期中考试题·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-129C