第15章 最短路径问题（将军饮马模型）专项练习 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

轴对称——最短路径问题（将军饮马模型）专项练习 人教版八年级上册 一、模型回顾 将军饮马问题的核心就一句话：利用轴对称，把直线同侧的两个点翻到异侧，再用「两点之间线段最短」。 最基本的模型：直线 l 同侧有 A、B 两点，在 l 上找一点 P 使 PA + PB 最小。做法是作 A 关于 l 的对称点 A'，连 A'B 交 l 于 P。 常见变式 ① 角内一点型：角内 P，在两边上各取一点使三角形周长最小——分别作 P 关于两边的对称点，连线与两边交点即为所求。 ② 造桥选址型：河宽固定，要架一座垂直河岸的桥——把岸边点平移一个河宽，再连直线。 二、分层练习 （一）基础过关 1. 如图，直线 l 同侧有两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA + PB 最短。（保留作图痕迹，不写作法） 作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B，交 l 于点 P。由对称性 PA = PA'，所以 PA + PB = PA' + PB = A'B，两点之间线段最短。 2. 等边三角形 ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 的中点。求 EM + CM 的最小值。 AD 是等边三角形的对称轴，B、C 关于 AD 对称，所以 CM = BM。连接 BE 交 AD 于 M，此时 EM + CM = EM + BM = BE。E 是 AC 中点，BE 就是 AC 边上的高，BE = √(4² - 2²) = 2√3。 3. 正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 在 BC 上且 BE = 2，点 P 在对角线 BD 上运动。求 PE + PC 的最小值。 BD 是正方形的对称轴，A、C 关于 BD 对称，PC = PA。连接 AE 交 BD 于 P，PE + PC = PE + PA = AE。在 Rt△ABE 中，AB = 8，BE = 2，AE = √(8² + 2²) = 2√17。 4. 如图，∠AOB = 30°，角内有一点 P，OP = 8。在 OA、OB 上分别取点 M、N，使△PMN 周长最小。求这个最小值。 分别作 P 关于 OA、OB 的对称点 P₁、P₂，连接 P₁P₂，与 OA、OB 的交点就是 M、N。此时 PM = P₁M，PN = P₂N，周长 = P₁M + MN + P₂N = P₁P₂。由对称性 OP₁ = OP₂ = OP = 8，且∠P₁OP₂ = 2∠AOB = 60°，△P₁OP₂ 是等边三角形，P₁P₂ = 8。 5. 在平面直角坐标系中，点 A(1, 3)，B(4, 1)，点 P 在 x 轴上运动。求 PA + PB 的最小值及此时 P 点坐标。 作 A 关于 x 轴的对称点 A'(1, -3)，连接 A'B 交 x 轴于 P。PA + PB = PA' + PB = A'B = √((4-1)² + (1+3)²) = 5。直线 A'B 过(1,-3)、(4,1)，斜率 4/3，方程 y + 3 = (4/3)(x - 1)。令 y = 0，得 x = 13/4。所以 P(13/4, 0)。 6. 菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，边长为 6，对角线 AC 上有一动点 P，E 是 AB 中点。求 PB + PE 的最小值。 菱形对角线 AC 是对称轴，B、D 关于 AC 对称，PB = PD。连接 DE 交 AC 于 P，PB + PE = PD + PE = DE。建立坐标系：B(0,0)，A(6,0)，C(3, 3√3)，D(9, 3√3)，E 是 AB 中点 E(3, 0)。DE = √((9-3)² + (3√3)²) = √(36 + 27) = 3√7。 7. 如图，直线 l 是一条河，A、B 两村在河的同侧。A 到河的距离为 2 km，B 到河的距离为 3 km，两村在垂直于河方向上的水平距离为 5 km。在河边建水泵站 P，求 PA + PB 的最短距离。 作 A 关于河 l 的对称点 A'，连接 A'B 交 l 于 P。A' 到河的距离也是 2 km，A' 与 B 在河两侧，竖直方向距离和为 2 + 3 = 5 km，水平距离 5 km。PA + PB = A'B = √(5² + 5²) = 5√2 km。 8. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = BC = 4，D 是 BC 中点，E 是 AB 上的动点。求 CE + DE 的最小值。 作 C 关于 AB 的对称点 C'，连接 C'D 交 AB 于 E，CE = C'E，CE + DE = C'E + DE = C'D。建系：C(0,0)，A(4,0)，B(0,4)，直线 AB：x + y = 4。C(0,0) 关于 AB 的对称点 C'(4, 4)。D 是 BC 中点 D(0, 2)。C'D = √((4-0)² + (4-2)²) = 2√5。 （二）中档提升 9. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD = 120°，∠B = ∠D = 90°，AB = AD = 2。在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小。求这个最小值。 作 A 关于 BC 的对称点 A₁，关于 CD 的对称点 A₂，连接 A₁A₂ 交 BC、CD 于 M、N。此时 AM = A₁M，AN = A₂N，周长 = A₁M + MN + A₂N = A₁A₂。AA₁ = 2AB = 4，AA₂ = 2AD = 4。∠A₁AA₂ = 60°（两个直角减去 120° 夹角），△AA₁A₂ 中两边为 4、夹角 60°，A₁A₂ = √(4² + 4² - 2×4×4×cos120°) = √48 = 4√3。 10. 平面直角坐标系中，点 A(2, -3)，B(4, -1)。点 P 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴上。求四边形 PABQ 周长的最小值。 周长 = PA + AB + BQ + QP，AB 是定值 = √((4-2)² + (-1+3)²) = 2√2。作 A 关于 x 轴对称点 A'(2, 3)，作 B 关于 y 轴对称点 B'(-4, -1)。PA = PA'，BQ = B'Q，PA + BQ + QP = PA' + B'Q + QP ≥ A'B'。A'B' = √((-4-2)² + (-1-3)²) = 2√13。周长最小值 = 2√2 + 2√13。 11. 如图，∠AOB = 45°，角内一点 P，PO = 10。在 OA、OB 上取点 Q、R，使△PQR 周长最小。求这个最小值。 作 P 关于 OA 的对称点 P₁，关于 OB 的对称点 P₂，连接 P₁P₂ 交 OA、OB 于 Q、R。周长 = PQ + QR + PR = P₁Q + QR + P₂R = P₁P₂。OP₁ = OP₂ = OP = 10，∠P₁OP₂ = 2∠AOB = 90°，P₁P₂ = √(10² + 10²) = 10√2。 12. 如图，在△ABC 中，AC = BC = 4，∠C = 90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点。求 CE + DE 的最小值。 同第 8 题。作 C 关于 AB 的对称点 C'(4, 4)，D(0, 2)，C'D = 2√5。 13. 如图，正方形 ABCD 边长为 4，E 是 BC 中点，点 P 在对角线 BD 上移动。求 PE + PC 的最小值。 BD 是对称轴，A、C 关于 BD 对称，PC = PA。连接 AE 交 BD 于 P，PE + PC = PE + PA = AE。AB = 4，BE = 2，∠B = 90°，AE = √(4² + 2²) = 2√5。 14. 如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥ BC 于 D，E 是 AC 中点，M 是 AD 上的动点。求 EM + CM 的最小值。 AD 是对称轴，B、C 关于 AD 对称，CM = BM。连接 BE 交 AD 于 M，EM + CM = EM + BM = BE。BE 是等边三角形 AC 边上的高，BE = √(6² - 3²) = 3√3。 （三）压轴挑战 15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A(1, 5)，B(5, 1)，x 轴为一条河。河边有一段路 MN，M(2, 0)，N(4, 0)，必须沿 MN 走一段。求从 A 到河边、沿 MN 行走、再到 B 的最短路程。 MN 长度固定为 2，沿 MN 走的路程就是 MN = 2。把 A 沿 MN 方向（水平向右）平移 2 个单位到 A'(3, 5)，问题转化为在 x 轴上找一点使 A' 到 B 的路径最短。作 A' 关于 x 轴的对称点 A''(3, -5)，A''B = √((5-3)² + (1+5)²) = 2√10。总路程 = 2√10 + 2。 16. 如图，∠MON = 20°，A、B 分别为射线 OM、ON 上的点，且 OA = OB = 10。在 OM 上另取一点 C，ON 上另取一点 D，求折线段 AD + DC + CB 的最短长度。 作 A 关于 ON 的对称点 A'，作 B 关于 OM 的对称点 B'。AD = A'D，CB = CB'，总长度 = A'D + DC + CB' ≥ A'B'。OA' = OA = 10，OB' = OB = 10，∠A'OB' = 20° + 20° + 20° = 60°，△OA'B' 是等边三角形，A'B' = 10。 17. 如图，河宽为 1 km，河两岸平行。A 村在河北岸距河边 0.5 km，B 村在河南岸距河边 1.5 km，A、B 两村在平行于河岸方向上相距 5 km。要在河上架一座垂直于河岸的桥，使 A 经桥到 B 的总路程最短。求这个最短路程。 把 A 沿垂直河岸方向向河平移河宽 1 km 到 A'，则从 A 到桥头的路程等于从 A' 到桥尾的路程。A' 与 B 在两岸的竖直距离和为 0.5 + 1.5 = 2 km，水平距离 5 km。A'B = √(5² + 2²) = √29。总路程 = A'B + 桥长 = √29 + 1 km。 学科网（北京）股份有限公司 $ 轴对称——最短路径问题（将军饮马模型）专项练习 人教版八年级上册 一、模型回顾 将军饮马问题的核心就一句话：利用轴对称，把直线同侧的两个点翻到异侧，再用「两点之间线段最短」。 最基本的模型：直线 l 同侧有 A、B 两点，在 l 上找一点 P 使 PA + PB 最小。做法是作 A 关于 l 的对称点 A'，连 A'B 交 l 于 P。 常见变式 ① 角内一点型：角内 P，在两边上各取一点使三角形周长最小——分别作 P 关于两边的对称点，连线与两边交点即为所求。 ② 造桥选址型：河宽固定，要架一座垂直河岸的桥——把岸边点平移一个河宽，再连直线。 二、分层练习 （一）基础过关 1. 如图，直线 l 同侧有两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA + PB 最短。（保留作图痕迹，不写作法） 2. 等边三角形 ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 的中点。求 EM + CM 的最小值。 3. 正方形 ABCD 的边长为 8，点 E 在 BC 上且 BE = 2，点 P 在对角线 BD 上运动。求 PE + PC 的最小值。 4. 如图，∠AOB = 30°，角内有一点 P，OP = 8。在 OA、OB 上分别取点 M、N，使△PMN 周长最小。求这个最小值。 5. 在平面直角坐标系中，点 A(1, 3)，B(4, 1)，点 P 在 x 轴上运动。求 PA + PB 的最小值及此时 P 点坐标。 6. 菱形 ABCD 中，∠ABC = 60°，边长为 6，对角线 AC 上有一动点 P，E 是 AB 中点。求 PB + PE 的最小值。 7. 如图，直线 l 是一条河，A、B 两村在河的同侧。A 到河的距离为 2 km，B 到河的距离为 3 km，两村在垂直于河方向上的水平距离为 5 km。在河边建水泵站 P，求 PA + PB 的最短距离。 8. 等腰直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AC = BC = 4，D 是 BC 中点，E 是 AB 上的动点。求 CE + DE 的最小值。 （二）中档提升 9. 如图，四边形 ABCD 中，∠BAD = 120°，∠B = ∠D = 90°，AB = AD = 2。在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△AMN 周长最小。求这个最小值。 10. 平面直角坐标系中，点 A(2, -3)，B(4, -1)。点 P 在 x 轴上，点 Q 在 y 轴上。求四边形 PABQ 周长的最小值。 11. 如图，∠AOB = 45°，角内一点 P，PO = 10。在 OA、OB 上取点 Q、R，使△PQR 周长最小。求这个最小值。 12. 如图，在△ABC 中，AC = BC = 4，∠C = 90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点。求 CE + DE 的最小值。 13. 如图，正方形 ABCD 边长为 4，E 是 BC 中点，点 P 在对角线 BD 上移动。求 PE + PC 的最小值。 14. 如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥ BC 于 D，E 是 AC 中点，M 是 AD 上的动点。求 EM + CM 的最小值。 （三）压轴挑战 15. 如图，在平面直角坐标系中，点 A(1, 5)，B(5, 1)，x 轴为一条河。河边有一段路 MN，M(2, 0)，N(4, 0)，必须沿 MN 走一段。求从 A 到河边、沿 MN 行走、再到 B 的最短路程。 16. 如图，∠MON = 20°，A、B 分别为射线 OM、ON 上的点，且 OA = OB = 10。在 OM 上另取一点 C，ON 上另取一点 D，求折线段 AD + DC + CB 的最短长度。 17. 如图，河宽为 1 km，河两岸平行。A 村在河北岸距河边 0.5 km，B 村在河南岸距河边 1.5 km，A、B 两村在平行于河岸方向上相距 5 km。要在河上架一座垂直于河岸的桥，使 A 经桥到 B 的总路程最短。求这个最短路程。 学科网（北京）股份有限公司 $