福建省泉州艺术学校2026-2027学年上学期25级综合高中《数学》学科第一次阶段性测试试卷

福建省泉州泉州艺术学校2026-2027学年上学期 25级综合高中《数学》学科第一次阶段性测试试卷 满分：150分 用时：120分钟 一、单选题（共40分） 1．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 2．在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 4．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 5．已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在三棱柱中，是的中点，下列化简错误的是： A． B． C． D． 7．已知空间中点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（    ） A．点与点关于z轴对称 B．点与点关于y轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 11．如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A．直线和所成的角为 B．四面体的体积是 C．点到平面的距离为 D．平面与平面所成二面角的正弦值为 三、填空题（共15分） 12．向量的相反向量_____________. 13．平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为____________． 14．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，点在底面的投影是与的交点，且是等边三角形，点在线段上，若直线与平面所成角为，则的取值范围为______．    四、解答题（共77分） 15．已知，，求： (1) ； (2) ； (3) . 16．已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 17．如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 18．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段 的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)求直线到平面的距离. 19．如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州艺术学校2026-2027学年上学期 25级综合高中《数学》学科第一次阶段性测试试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C D A B C BD BD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】 ，故选项A正确． 2．C 【详解】 3．D 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且 ， 所以 ，解得 . 故选：D. 4．C 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为 ， 所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为 ， 所以 ， ， 共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设 ， ， 共面，则存在实数 ，使得 ， 由于 为空间的一个基底，所以可得实数 的解为 ， 但 与 矛盾，假设不成立，即 不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为 ， 所以 共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 5．D 【分析】根据直线的方向向量与 共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与 共线， 而 ，所以 是该直线的方向向量. 故选：D. 6．A 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解. （2）由 ，利用向量加法的三角形法则即可求解. （3）利用向量减法的运算法则即可求解. （4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 故选：A 【点睛】本题主要考查了空间中中点的公式与点到点的距离公式,属于基础题. 7．B 【分析】由 四点共面，得 与 共面，利用共面向量定理列方程组求解即得． 【详解】因为 ， ， ， ， 所以 ， ， ， 因为 四点共面，所以 与 共面，即存在唯一实数对 ，使得 ， 所以 ， 所以 ，解得 ． 故选：B 8．C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得 ，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由 ， 所以 ，由于 ，所以 在正三棱锥中， ，则三角形 是等边三角形， 分别是 中点，所以 ， 所以 ，所以 . 故选：C 9．BD 【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可. 【详解】点 与点 关于x轴对称，故 错误； 点 与 关于y轴对称，故 正确； 点 与 不关于平面 对称，故 错误； 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故 正确． 故选： . 10．BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出 ，从而求出 ；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项， ，A错误， 对于B选项， ，B正确： 对于C选项， ，则 ， 则 ，C错误： 对于 ，则 ，D正确. 故选：BD. 11．BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、C、D，利用割补法求出四面体 的体积，即可判断B. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ， 对于A， ，故 ， 故 ，即直线 和 所成的角为 ，故A错误； 对于B，易得四面体 为正四面体， 则 ，故B正确； 对于C， ， 设平面 的法向量为 ，则有 ， 令 ，则 ，故点 到平面 的距离 ，故C正确； 对于D，设平面 的法向量为 ，则有 ， 令 ，则 ，所以 ， 所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ，故D正确． 故选：BCD 12． 【分析】显然可得． 13． （答案不唯一） 【分析】求出 ，由 ，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量 是平面 的一个法向量， 所以 ，令 ，则 故答案为： 14． 【分析】设 ，根据条件建系，设 ，求出相关向量的坐标和平面的法向量坐标，设 ，利用空间向量夹角的坐标公式求出 的表示式，再借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】    如图，设 ，因底面 为菱形，则 ，依题意， 平面 ， 故以点 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 . 设 ，因 是等边三角形，且 ，则 ， 于是， ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，故可取 ， 设 ，则 ， 且 ， 依题意， ， 因 ，则 ，故可得 . 故答案为： . 15．(1) ； (2) ； (3) 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为 ， ， 所以 . （2） . （3） . 16．(1) (2) ． 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出 ， 的坐标，由平行可得 ，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由 ，得 ． （2）由（1）知 ， 所以 ， ， 又 ，则 ， 即 ， 所以 ， 则 ． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得 ，又由（1）的结论 ，两个向量求数列积即可. 【详解】（1） ， . （2）因为 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以 18．(1)详见解答过程；(2) ；(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量与直线 的方向向量，即可得证； （2）求出平面 的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明 平面 ，则直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，再由空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， 又 为线段 的中点，所以 ， 所以 ，又平面 的法向量可以为 ， 所以 ，即 ，又 平面 ，所以 平面 . （2）由（1）可得 ，所以 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，取 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ； （3）因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离， 又 ， 所以点 到平面 的距离 ， 即直线 到平面 的距离为 . 19.(1)详见解答过程； (2)（i）详见解答过程； （ii） . 19.【分析】（1）通过证明 ， ，得出 平面 ，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设 在同一球面 上，在平面 中，得出点 坐标，进而得出点 在空间中的坐标，计算出 ，即可证明结论； （ii）写出直线 和 的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）证明：由题意证明如下， 在四棱锥 中， ⊥平面 ， ， 平面 ， 平面 ， ∴ ， ， ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 . （2）（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥 中， ， ， ， ∥ ， ， ， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴ ， 若 ， ， ， 在同一个球面上， 则 ， 在平面 中， ∴ ， ∴线段 中点坐标 ， 直线 的斜率： ， 直线 的垂直平分线 斜率： ， ∴直线 的方程： ， 即 ， 当 时， ，解得： ， ∴ 在立体几何中， ， ∵ 解得： ， ∴点 在平面 上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线 与直线 所成角为 ， ∴ . 法2：由几何知识得， ， ， ∥ ， ∴ ， 在Rt 中， ， ，由勾股定理得， ， 过点 作 的平行线，交 的延长线为 ，连接 ， ， 则 ，直线 与直线 所成角即为 中 或其补角. ∵ 平面 ， 平面 ， ， ∴ ， 在Rt 中， ， ，由勾股定理得， ， 在Rt 中， ，由勾股定理得， ， 在 中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线 与直线 所成角的余弦值为： . 答案第1 = 1 页（共2 = 2 页） 答案第1 = 1 页（共2 = 2 页） $