第八单元 探索乐园（知识清单）-2026-2027学年六年级上册数学冀教版（新教材）

第八单元 探索乐园 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识框架 知识梳理 知识点 1：抽屉原理的认识与最不利原则 (1) 抽屉原理的情境 ① 把多于 n 个物品任意放进 n 个“抽屉”（n 为非 0 自然数），总有 1 个“抽屉”至少放进 2 个物品。 ② 例：把 10 个苹果放进 9 个抽屉，无论怎样放，总有一个抽屉至少放 2 个苹果。 ③ 生活中的例子：把苹果放进抽屉、把书放进抽屉、把鸽子放进鸽笼。 (2) 最不利原则 ① “至少”二字要求我们用最不利（最坏）的情形来思考。 ② 要让每个抽屉尽量少，就先平均分；余下的物品无论怎样分配，都会使某一个抽屉再多 1 个。 【易错点】 ① 分不清“苹果”（要分的物品）和“抽屉”（放置的容器），以及它们各自的数量。 ② 忽略“至少”二字，只答“可能放”，没有用最不利情形思考。 ③ 平均分后忘记把余数算进其中一个抽屉，导致少算 1 个。 知识点 2：抽屉原理的数学模型 (1) 用有余数除法表示 ① 7 本书放进 3 个抽屉：7÷3 ＝ 2……1，总有一个抽屉至少放 3 本。 ② 8 本书放进 3 个抽屉：8÷3 ＝ 2……2，总有一个抽屉至少放 3 本。 ③ 18 本书放进 5 个抽屉：18÷5 ＝ 3……3，总有一个抽屉至少放 4 本。 (2) 抽屉问题的模型 ① 用 a 表示物品数，b 表示抽屉数，c 和 d 分别表示商和余数：a÷b ＝ c……d。 ② 条件：a＞b，d＜b，b≠0。 ③ 结论：总有一个抽屉至少放（c＋1）个物品。 ④ 商 c 表示平均分配后每个抽屉的基础数量，余数 d 表示剩下的物品；不管余数是几，都是“商加 1”。 【易错点】 ① 把“商加 1”错写成“商加余数”或只写商。 ② 忘记 a＞b 的条件：物品数必须多于抽屉数。 ③ 余数 d 不小于抽屉数 b 时说明还能继续平均分，此时商没有求对。 知识点 3：抽屉原理的应用 (1) 常见应用举例 ① 六（1）班有 42 名同学，42÷12 ＝ 3……6，至少有 4 个同学在同一月份过生日。 ② 17 本书放 3 个抽屉：17÷3 ＝ 5……2，至少放 6 本。 ③ 12 只鸽子飞 5 个鸽笼：12÷5 ＝ 2……2，至少 3 只。 ④ 18 个苹果放 4 个盘子：18÷4 ＝ 4……2，至少 5 个。 ⑤ 46 名同学站 6 列：46÷6 ＝ 7……4，至少 8 人。 (2) 解题步骤 ① 先确定“物品”的数量和“抽屉”的数量。 ② 用物品数 ÷ 抽屉数，求出商和余数。 ③ “至少”的数量 ＝ 商 ＋ 1。 【易错点】 ① 确定抽屉数量出错：如“同一个月”的抽屉是 12 个月，不是同学人数。 ② 求出商后忘记加 1。 ③ 把物品数÷抽屉数颠倒成抽屉数÷物品数。 知识点 4：400 米跑道结构与周长关系 (1) 400 米标准跑道的组成 ① 400 米标准跑道内圈由两个半径 36.5 米的半圆和两条 84.39 米的直道组成。 ② 共 8 条跑道，每条跑道宽 1.22 米。 (2) 各条跑道周长与差距的关系 ① 直道部分各条跑道的长度相同。 ② 相邻跑道的差距只来自弯道部分。 ③ 弯道部分的长度与圆周率、半径有关，弯道可看作圆周长的一部分。 【易错点】 ① 忘记直道部分各条跑道一样长，误以为差距来自直道。 ② 混淆内圈半径与跑道宽度：跑道宽度是 1.22 米，内圈半径是 36.5 米。 ③ 把跑道宽度和半径混在一起，计算内圈外圈时出错。 知识点 5：相邻跑道起跑线的差距 (1) 200 米赛跑 ① 200 米赛跑只跑一个弯道，相邻跑道起跑线的差距 ＝ 1.22 × π。 (2) 400 米赛跑 ① 400 米赛跑要跑两个弯道，相当于一个圆的周长，相邻跑道起跑线的差距 ＝ 1.22 × 2 × π。 (3) 计算 ① 差距 ＝ 跑道宽度 × 圆周率 × 弯道个数（π 通常取 3.14）。 【易错点】 ① 200 米与 400 米弯道个数弄错：200 米 1 个弯道，400 米 2 个弯道。 ② 忘记乘跑道宽度 1.22 米。 ③ 直接用半径差求周长时把系数（2）弄错。 知识点 6：起跑线差距的一般规律 (1) 一般公式 ① 相邻跑道起跑线的差距 ＝ 跑道宽度 × 圆周率 × 弯道个数。 (2) 应用与延伸 ① 800 米采用部分分道跑规则：第 1 个弯道分道跑，之后并道跑，起跑线按对应的弯道个数计算。 ② 可实际测量学校操场跑道，把“算”延伸到“测”，从课内走向课外。 (3) 意义 ① 起跑线前移是为了保证每位运动员跑的路程相等，体现比赛的公平。 【易错点】 ① 忘记公式中“跑道宽度”要乘“弯道个数”。 ② 分不清“起点相同、终点不同”和“终点相同、起点不同”哪种是公平安排。 ③ 实际计算时忘记用 π 的近似值 3.14。 典例精讲 考点1、鸽巢问题初步 【典型例题1】在任意的40个人中，至少有（    ）人的属相相同。 A．2 B．4 C．6 D．9 【练习1】把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放（    ）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 【典型例题2】仓库存放红、黄、蓝三种电芯各6盒，至少取出( )盒电芯，才能保证拿到两盒颜色相同的电芯。 【练习2】小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于( )环。 【典型例题3】把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 【练习3】王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 考点2、鸽巢问题进阶 【典型例题4】密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【练习4】暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个（除颜色外其余都相同），至少要摸出（    ）个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。 A．5 B．13 C．17 D．26 【典型例题5】小学生知识竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，打错一题倒扣1分，若有2026人参加，至少有( )人得分相同。 【练习5】从编号1到50的50个彩色球中取出若干个球，且取出的任意两个球的编号差都不是11的倍数，最多能取( )个球。 【典型例题6】把165本书分给六（3）班的学生，如果总有人至少分到5本书，那么六（3）班最多有多少人？ 【练习6】图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 考点3、最不利原则 【典型例题7】饲养员给10只猴子分香蕉，无论怎么分总有一只猴子至少得到6根香蕉，饲养员至少要拿来（    ）根香蕉。 A．11 B．51 C．60 D．61 【练习7】书桌上有红、黄、蓝三种颜色的卡片各6张，至少随意抽取（    ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 A．4 B．6 C．7 D．5 【典型例题8】一个盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出( )个球。 【练习8】“端午食粽，一年安康”。端午节，妈妈做了红枣粽、八宝粽和豆沙粽各4个，若要保证一次取出3种不同口味的粽子，则至少要取出( )个粽子。 【典型例题9】有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的球各6个，放到同一个盒子里，最少摸出几个才能保证至少有两种颜色的球？ 【练习9】有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30。现挑选出若干个小孩排成一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码的乘积小于100。最多能挑选出多少个孩子？说明理由。 巩固练习 一、填空题 1．某汽车销售公司2025年下半年一共销售了92辆新能源小汽车，那么总有一个月至少卖出了( )辆新能源小汽车。 2．“六一”儿童节，学校组织游园活动。三年级的45名同学被分成6个小组进行“寻宝游戏”。负责分发礼物的王老师发现，不管怎么分组，总有一个小组至少分到( )名同学。 3．某校共2650名学生，这些学生中至少( )人是在同一天过生日。 4．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 5．口袋里有红、黄、蓝三种相同的玻璃珠，每种颜色各5个，最少取出( )个才能保证有2个同色的。 6．某箱子里装有红球、黄球、白球各10个，每次至少摸出( )个球，才能保证摸出的球一定有2种不同的颜色。 二、选择题 7．10个孩子分进4个班，则总有一个班分到的学生人数不少于（    ）人。 A．1 B．2 C．3 D．4 8．同学们在树林里安装了4个人工鸟巢，发现一共有13只小鸟入住，那么总有一个鸟巢至少住进了（    ）。 A．3只 B．4只 C．5只 D．6只 9．盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，从盒子里任意摸出一张卡片，至少要摸（    ）次，才能保证摸到两张颜色相同的卡片。 A．10 B．8 C．5 D．2 10．把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起，如果闭上眼睛拿，最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带？（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 11．从1至20这些自然数中，至少取多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数（    ）。 A．6个 B．5个 C．16个 D．15个 12．45支铅笔最多放在（    ）个笔筒中，才能保证总有一个笔筒中至少放7支铅笔。 A．6 B．7 C．8 D．9 三、解答题 13．一个抽屉里装有大小相同但颜色不同的球若干个（球足够多）。已知球的颜色有粉、蓝、黄三种，至少要取出多少个球，才能保证有6个球是同色的？ 14．老师在黑板上写了3个字（如图），让同学们任意选择两个字组成一个词语。全班共41名同学，至少有多少人写的词语相同？为什么？ 15．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 16．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 探索乐园 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识框架 知识梳理 知识点 1：抽屉原理的认识与最不利原则 (1) 抽屉原理的情境 ① 把多于 n 个物品任意放进 n 个“抽屉”（n 为非 0 自然数），总有 1 个“抽屉”至少放进 2 个物品。 ② 例：把 10 个苹果放进 9 个抽屉，无论怎样放，总有一个抽屉至少放 2 个苹果。 ③ 生活中的例子：把苹果放进抽屉、把书放进抽屉、把鸽子放进鸽笼。 (2) 最不利原则 ① “至少”二字要求我们用最不利（最坏）的情形来思考。 ② 要让每个抽屉尽量少，就先平均分；余下的物品无论怎样分配，都会使某一个抽屉再多 1 个。 【易错点】 ① 分不清“苹果”（要分的物品）和“抽屉”（放置的容器），以及它们各自的数量。 ② 忽略“至少”二字，只答“可能放”，没有用最不利情形思考。 ③ 平均分后忘记把余数算进其中一个抽屉，导致少算 1 个。 知识点 2：抽屉原理的数学模型 (1) 用有余数除法表示 ① 7 本书放进 3 个抽屉：7÷3 ＝ 2……1，总有一个抽屉至少放 3 本。 ② 8 本书放进 3 个抽屉：8÷3 ＝ 2……2，总有一个抽屉至少放 3 本。 ③ 18 本书放进 5 个抽屉：18÷5 ＝ 3……3，总有一个抽屉至少放 4 本。 (2) 抽屉问题的模型 ① 用 a 表示物品数，b 表示抽屉数，c 和 d 分别表示商和余数：a÷b ＝ c……d。 ② 条件：a＞b，d＜b，b≠0。 ③ 结论：总有一个抽屉至少放（c＋1）个物品。 ④ 商 c 表示平均分配后每个抽屉的基础数量，余数 d 表示剩下的物品；不管余数是几，都是“商加 1”。 【易错点】 ① 把“商加 1”错写成“商加余数”或只写商。 ② 忘记 a＞b 的条件：物品数必须多于抽屉数。 ③ 余数 d 不小于抽屉数 b 时说明还能继续平均分，此时商没有求对。 知识点 3：抽屉原理的应用 (1) 常见应用举例 ① 六（1）班有 42 名同学，42÷12 ＝ 3……6，至少有 4 个同学在同一月份过生日。 ② 17 本书放 3 个抽屉：17÷3 ＝ 5……2，至少放 6 本。 ③ 12 只鸽子飞 5 个鸽笼：12÷5 ＝ 2……2，至少 3 只。 ④ 18 个苹果放 4 个盘子：18÷4 ＝ 4……2，至少 5 个。 ⑤ 46 名同学站 6 列：46÷6 ＝ 7……4，至少 8 人。 (2) 解题步骤 ① 先确定“物品”的数量和“抽屉”的数量。 ② 用物品数 ÷ 抽屉数，求出商和余数。 ③ “至少”的数量 ＝ 商 ＋ 1。 【易错点】 ① 确定抽屉数量出错：如“同一个月”的抽屉是 12 个月，不是同学人数。 ② 求出商后忘记加 1。 ③ 把物品数÷抽屉数颠倒成抽屉数÷物品数。 知识点 4：400 米跑道结构与周长关系 (1) 400 米标准跑道的组成 ① 400 米标准跑道内圈由两个半径 36.5 米的半圆和两条 84.39 米的直道组成。 ② 共 8 条跑道，每条跑道宽 1.22 米。 (2) 各条跑道周长与差距的关系 ① 直道部分各条跑道的长度相同。 ② 相邻跑道的差距只来自弯道部分。 ③ 弯道部分的长度与圆周率、半径有关，弯道可看作圆周长的一部分。 【易错点】 ① 忘记直道部分各条跑道一样长，误以为差距来自直道。 ② 混淆内圈半径与跑道宽度：跑道宽度是 1.22 米，内圈半径是 36.5 米。 ③ 把跑道宽度和半径混在一起，计算内圈外圈时出错。 知识点 5：相邻跑道起跑线的差距 (1) 200 米赛跑 ① 200 米赛跑只跑一个弯道，相邻跑道起跑线的差距 ＝ 1.22 × π。 (2) 400 米赛跑 ① 400 米赛跑要跑两个弯道，相当于一个圆的周长，相邻跑道起跑线的差距 ＝ 1.22 × 2 × π。 (3) 计算 ① 差距 ＝ 跑道宽度 × 圆周率 × 弯道个数（π 通常取 3.14）。 【易错点】 ① 200 米与 400 米弯道个数弄错：200 米 1 个弯道，400 米 2 个弯道。 ② 忘记乘跑道宽度 1.22 米。 ③ 直接用半径差求周长时把系数（2）弄错。 知识点 6：起跑线差距的一般规律 (1) 一般公式 ① 相邻跑道起跑线的差距 ＝ 跑道宽度 × 圆周率 × 弯道个数。 (2) 应用与延伸 ① 800 米采用部分分道跑规则：第 1 个弯道分道跑，之后并道跑，起跑线按对应的弯道个数计算。 ② 可实际测量学校操场跑道，把“算”延伸到“测”，从课内走向课外。 (3) 意义 ① 起跑线前移是为了保证每位运动员跑的路程相等，体现比赛的公平。 【易错点】 ① 忘记公式中“跑道宽度”要乘“弯道个数”。 ② 分不清“起点相同、终点不同”和“终点相同、起点不同”哪种是公平安排。 ③ 实际计算时忘记用 π 的近似值 3.14。 典例精讲 考点1、鸽巢问题初步 【典型例题1】在任意的40个人中，至少有（    ）人的属相相同。 A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】把12个属相看作12个抽屉，40个人看作40个元素，从最差情况考虑，尽量平均分配每个抽屉的元素数来计算。 【详解】（人）（人） （人） 【练习1】把10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放（    ）个苹果。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先用苹果总数除以抽屉数，若有余数，总有一个抽屉至少放的苹果数为商加1。 【详解】（个）（个） （个） 总有一个抽屉至少放4个苹果。 【典型例题2】仓库存放红、黄、蓝三种电芯各6盒，至少取出( )盒电芯，才能保证拿到两盒颜色相同的电芯。 【答案】4 【分析】考虑最不凑巧的情况：前3次取出的电芯，红、黄、蓝三种颜色各拿到了1盒，这时候还没有两盒颜色相同。接下来只要再多取1盒，不管这盒是什么颜色，一定会和之前拿到的某一种颜色的电芯凑成两盒同色的。 【详解】3＋1＝4（盒） 【练习2】小然和家人到驻马店的皇家驿站游玩，在“羽箭俱乐部”玩射箭，射了8支箭，成绩是57环。小然射出的箭至少有一箭不低于( )环。 【答案】 【分析】将环总成绩看作物体总数，支箭看作抽屉数。为了求“至少有一箭不低于多少环”，需要考虑最不利的情况，即把总成绩尽可能平均地分配给每一支箭。通过计算平均数及余数，利用抽屉原理的结论（至少数 等于 商加）进行求解。 【详解】57÷8＝7（环）……1（环） （环） 小然射出的箭至少有一箭不低于环。 【典型例题3】把33个乒乓球分装进盒子里，不管怎么放，总有1个盒子里至少有5个乒乓球。最多有几个盒子？ 【答案】 8个 【分析】利用抽屉原理反向求最多盒子数，先把每个盒子先放4个，余下的1个任意放就满足至少有1盒有5个，用总数减1再除以4即可算出最多盒子数。 【详解】 答：最多有8个盒子。 【练习3】王老师把63颗糖果放入若干个袋子里，要求无论小朋友要几颗糖果（不超过63颗），王老师都只要取出若干个袋子就可以满足要求。问王老师要准备几个袋子，每个袋子里的糖果应怎么放？ 【答案】王老师至少要准备6个袋子，里面分别装有1，2，4，8，16，32颗糖果。 【分析】要想满足取出任意数量（1至63颗）的要求，需要从最小的数1开始考虑。必须有一个袋子放1颗才能组成1；有了1，要组成2，必须有一个袋子放2颗；有了1和2，最大能组成3，要组成4，必须有一个袋子放4颗。以此类推，每个袋子的糖果数是前一个袋子糖果数的2倍，直到所有袋子糖果数之和等于63为止。 【详解】为了能取出1颗糖果，第一个袋子放1颗。 为了能取出2颗糖果，第二个袋子放2颗。此时可以组成1至3颗（1、2、1＋2＝3）。 为了能取出4颗糖果，第三个袋子放4颗。此时可以组成1至7颗（1至3、4、4＋1至4＋3）。 为了能取出8颗糖果，第四个袋子放8颗。此时可以组成1至15颗。 为了能取出16颗糖果，第五个袋子放16颗。此时可以组成1至31颗。 为了能取出32颗糖果，第六个袋子放32颗。此时可以组成1至63颗。 验证糖果总数：1＋2＋4＋8＋16＋32＝63（颗） 统计袋子数量：一共准备了6个袋子。 答：王老师要准备6个袋子，每个袋子里分别放1颗、2颗、4颗、8颗、16颗、32颗。 考点2、鸽巢问题进阶 【典型例题4】密封的纸盒里有60粒大小相同的珠子，每15粒是同一种颜色，为保证一次取出3粒颜色相同的珠子，至少要取出（    ）粒。 A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】先用60除以15求出一共有4种颜色的珠子；把“摸珠子问题”与“鸽巢问题”联系起来，即把4种颜色看成4个鸽巢（同种颜色就是同一个鸽巢），把要摸出的珠子看成分放的物体。由“鸽巢原理”可推导出，（至少数－1）×鸽巢数＋1＝物体数，此题中至少数是3粒，鸽巢数是4个，据此可求出要摸出的珠子的粒数。 【详解】颜色数（鸽巢数）：60÷15＝4（种） 珠子的最少粒数：（3－1）×4＋1 ＝2×4＋1 ＝8＋1 ＝9（粒） 所以至少要取出9粒。 故答案为：B 【点睛】此题考查了应用“鸽巢原理”解决实际问题。把实际问题转化成“鸽巢问题”关键要弄清“鸽巢”（“鸽巢是什么，有几个鸽巢）和分放的物体。 【练习4】暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个（除颜色外其余都相同），至少要摸出（    ）个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。 A．5 B．13 C．17 D．26 【答案】C 【分析】根据题意，暗箱中混放着白、红、黄、蓝四种颜色的球各8个，运气最差的情况为先摸出每种颜色的球各4个，此时再任意摸出一个球，一定会出现有5个颜色相同的球。 【详解】4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 至少要摸出17个球，才能保证从中摸出5个颜色相同的球。 故答案为：C 【点睛】本题考查鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 【典型例题5】小学生知识竞赛，共20道题，有20分基础分，答对一题给3分，不答给1分，打错一题倒扣1分，若有2026人参加，至少有( )人得分相同。 【答案】50 【分析】全部答对：20＋20×3＝80分；全部打错：20－20×1＝0分；设答对x道，不答y道，答错z道；一共20道题，x＋y＋z＝20道；z＝20－x－y；得分：20＋3x＋y－z；把在z＝20－x－y代入得分，即20＋3x＋y－（20－x－y），化简得4x＋2y，最后化为2（2x＋y），2是偶数，所以得分是偶数。得分只能取0，2，4，6…80；0到80之间偶数有（80－0）÷2＋1个，求出偶数的个数；把偶数的个数看作抽屉数量，把人数看作元素；用元素÷抽屉数量，再加上1，即可求出至少有多少人得分相同。 【详解】全部答对：20＋20×3＝20＋60＝80（分） 全部答错：20－20×1＝20－20＝0（分） 设答对x道，不答y道，答错z道。 则x＋y＋z＝20，z＝20－x－y。 得分：20＋3x＋y－z ＝20＋3x＋y－（20－x－y） ＝20＋3x＋y－20＋x＋y ＝4x＋2y ＝2（2x＋y） 2（2x＋y）是偶数。得分是偶数，只能取0，2，4，6，8，…，80。 0~80之间偶数有： （80－0）÷2＋1 ＝80÷2＋1 ＝40＋1 ＝41（个） 2026÷41＝49……17 49＋1＝50（人） 【练习5】从编号1到50的50个彩色球中取出若干个球，且取出的任意两个球的编号差都不是11的倍数，最多能取( )个球。 【答案】11 【分析】根据题意，若两个数的差是11的倍数，这两数除以11的余数相同，因此为满足题意需要满足：将1到50这50个编号按除以11的余数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10分成11组（抽屉），据此解答。 【详解】如果从同一余数组的编号中任取2个球，它们编号的差一定是11的倍数，所以要保证题意，同一个余数组里最多只能取1个球，11组最多能取11个球。 【典型例题6】把165本书分给六（3）班的学生，如果总有人至少分到5本书，那么六（3）班最多有多少人？ 【答案】41人 【分析】本题相当于是求抽屉数，如果没有余数，那么5就是商，用被除数165除以5，得到的就是抽屉数；如果有余数，那么余数至少是1，而此时商是4，164除以4得到抽屉数，然后进行比较。 【详解】（人） （人） 显然最多有41人； 答：六（3）班最多有41人。 【点睛】抽屉原理其实就是平均原则和最不利原则的体现，要使得数量最多的一个不那么突出，那么就尽可能平均分。 【练习6】图书角有A、B、C、D四类书，六（1）班有42名学生，每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，至少有几名学生所借的书的类型完全相同？ 【答案】5名 【分析】因为每名学生最多可借两本不同类型的书，最少借一本，所以借书的情况有10种∶A、B、C、D、、、、、、。把这10种情况看作10个抽屉，（名）……2（名），把42名学生看作42个苹果，根据鸽巢原理，每个抽屉里放4个苹果，还剩2个，这2个无论放在哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有个苹果，即至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【详解】（种） （名）……2（名） （名） 答：至少有5名学生所借的书的类型完全相同。 【点睛】本题考查了抽屉原理，抽屉原理的解答思路，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，是解题关键。 考点3、最不利原则 【典型例题7】饲养员给10只猴子分香蕉，无论怎么分总有一只猴子至少得到6根香蕉，饲养员至少要拿来（    ）根香蕉。 A．11 B．51 C．60 D．61 【答案】B 【分析】要保证总有一只猴子至少得到6根香蕉，需考虑最不利的情况：每只猴子先都分到5根香蕉，此时再多1根香蕉，就能满足条件。 【详解】（根） （根） 饲养员至少要拿来51根香蕉。 【练习7】书桌上有红、黄、蓝三种颜色的卡片各6张，至少随意抽取（    ）张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】C 【分析】考虑最不利的情况，即先把一种颜色的卡片全部取完，然后再取一张，就一定能保证取到两张不同颜色的卡片。据此解答。 【详解】因为三种颜色的卡片各有6张，所以最不利的情况下，先把一种颜色的6张卡片全部取完，此时再取1张卡片，这张卡片必然是另外两种颜色中的一种，这样就保证了取到两张不同颜色的卡片。 所以至少要抽取的卡片数量为：6＋1＝7（张） 即至少随意抽取7张卡片，才能保证取到两张不同颜色的卡片。 【典型例题8】一个盒子里装有同样大小的红球、黄球、蓝球各10个，要想摸出的球一定有3个同色的，至少要摸出( )个球。 【答案】7 【分析】考虑最倒霉的情况，摸出的前3个都是不同颜色的球，再摸3个还是不同颜色的球，此时每种颜色各2个球，再摸一个，无论什么颜色，都可保证有3个同色的，据此分析。 【详解】3×2＋1＝6＋1＝7（个） 【练习8】“端午食粽，一年安康”。端午节，妈妈做了红枣粽、八宝粽和豆沙粽各4个，若要保证一次取出3种不同口味的粽子，则至少要取出( )个粽子。 【答案】 9 【分析】运用“最不利原则”进行思考。要保证取出3种不同口味的粽子，需考虑最不利的情况，即先把其中两种口味的粽子全部取完，此时再取1个就能保证满足条件。 【详解】先取出红枣粽4个、八宝粽4个（两种口味全部取完）：4＋4＝8（个） 再取1个豆沙粽，就集齐3种口味：8＋1＝9（个） 【典型例题9】有红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的球各6个，放到同一个盒子里，最少摸出几个才能保证至少有两种颜色的球？ 【答案】7个 【分析】要保证摸出的球至少有两种颜色，需考虑最不利的情况：先摸出同一种颜色的全部球，此时再摸1个就一定是其他颜色，据此计算即可。 【详解】最不利情况下，先摸出同一种颜色的球共6个。再摸1个球，必然是其他颜色，满足至少两种颜色的要求： 6＋1＝7（个） 答：最少摸出7个才能保证至少有两种颜色的球。 【练习9】有30个孩子，每人胸前有一个号码，号码恰为1到30。现挑选出若干个小孩排成一个圆圈，使任何相邻两个孩子号码的乘积小于100。最多能挑选出多少个孩子？说明理由。 【答案】18个 【分析】找出1到30中，乘积小于100的两个数的组合，根据任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100这一要求，选择出合适的数进行构造。 【详解】将1至30中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下： （1×2）、（1×3）、（1×4）……（1×30） （2×3）、（2×4）、（2×5）……（2×30） …… （8×9）、（8×10）、（8×11）、（8×12） （9×10）、（9×11） 因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18×2＝36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数。 例如：（10×1）、（1×18）、（18×2）、（2×17）、（17×3） 、（3×16）、（16×4）、（4×15）、（15×5）、（5×14）、（14×6）、（6×13）、（13×7）、（7×12）、（12×8）、（8×11）、（11×9）、（9×10），共出现1至18号，共18个孩子。 若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对。那么在9组中取出19个数时，有19＝9×2＋1，由抽屉原理知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次（或三次以上）由分析知，这是不允许的。故最多挑出18个孩子。 答：最多能挑选出18个孩子。 巩固练习 一、填空题 1．某汽车销售公司2025年下半年一共销售了92辆新能源小汽车，那么总有一个月至少卖出了( )辆新能源小汽车。 【答案】16 【分析】把92辆新能源小汽车看作92个物体，下半年的6个月看作6个抽屉，根据抽屉原理，物品数除以抽屉数所得商加1即可。 【详解】92÷6＝15（辆）……2（辆） 15＋1＝16（辆） 2．“六一”儿童节，学校组织游园活动。三年级的45名同学被分成6个小组进行“寻宝游戏”。负责分发礼物的王老师发现，不管怎么分组，总有一个小组至少分到( )名同学。 【答案】8 【分析】将学生看作“物体”，将小组看作“抽屉”。要确定总有一个小组至少分到的学生人数，需要考虑最不利的情况，即尽可能平均分配。先用学生总数除以小组数，得到商和余数，商表示平均每个小组分到的人数，若有余数，则至少有一个小组的人数要在商的基础上加1。 【详解】45÷6＝7（名）……3（名） 7＋1＝8（名） 因此，总有一个小组至少分到8名同学。 3．某校共2650名学生，这些学生中至少( )人是在同一天过生日。 【答案】8 【分析】一年最多有366天，把天数看作抽屉数，把学生人数看作被分放物体数，被分放物体的数量÷抽屉的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量……剩下物体的数量，一个抽屉里至少分放物体的数量＝平均每个抽屉分放物体的数量＋1，据此解答。 【详解】2650÷366＝7（人）……88（人） 7＋1＝8（人） 某校共2650名学生，这些学生中至少8人是在同一天过生日。 4．把至少( )个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【答案】7 【分析】用果盘的个数加上1，即可求出把至少几个苹果放入6个果盘里，那么总有某个果盘里至少有2个苹果。 【详解】6＋1＝7（个） 【点睛】本题考查抽屉原理的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 5．口袋里有红、黄、蓝三种相同的玻璃珠，每种颜色各5个，最少取出( )个才能保证有2个同色的。 【答案】4 【分析】要保证摸出2个同色球，首先考虑最不利的情况，即每次摸出的球颜色都不重复。在摸出3个不同颜色球的基础上，再任意摸出一球，该球的颜色必然属于3种颜色中的一种，一定会和已有的某一个球颜色相同。 【详解】3＋1＝4（个） 6．某箱子里装有红球、黄球、白球各10个，每次至少摸出( )个球，才能保证摸出的球一定有2种不同的颜色。 【答案】11 【分析】因为要保证有2种不同颜色，所以最不利情况是先把同一种颜色的所有球全部摸出，此时再摸1个球，必然是另一种颜色。用单一颜色的总数量加1，即可得到需要摸出的最少球数。 【详解】（个）。 二、选择题 7．10个孩子分进4个班，则总有一个班分到的学生人数不少于（    ）人。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将4个班看作4个抽屉，10个孩子看作10个待放入抽屉的物体，用抽屉原理即可，据此用10÷4，如果有余数，商再加1即可。 【详解】（人）（人） （人） 总有一个班分到的学生人数不少于3人。 8．同学们在树林里安装了4个人工鸟巢，发现一共有13只小鸟入住，那么总有一个鸟巢至少住进了（    ）。 A．3只 B．4只 C．5只 D．6只 【答案】B 【分析】根据题意，先将13只小鸟平均分到4个人工鸟巢里，每个鸟巢里入住3只，还剩下1只，这1只小鸟，无论分给哪个鸟巢，总有一个鸟巢里至少有4只小鸟。 【详解】13÷4＝3（只）……1（只） 3＋1＝4（只） 9．盒子里有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，从盒子里任意摸出一张卡片，至少要摸（    ）次，才能保证摸到两张颜色相同的卡片。 A．10 B．8 C．5 D．2 【答案】C 【分析】由于盒子里共有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各5张，如果一次取4个，最差情况为红、黄、蓝、绿四种颜色各一张，所以只要再多取一张卡片，就能保证取到两张颜色相同的卡片。据此解答。 【详解】4＋1＝5（次） 即至少要摸5次，才能摸到两张颜色相同的卡片。 故答案为：C 【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。 10．把红、黄、绿三种颜色的鞋带各一双混在一起，如果闭上眼睛拿，最少拿出几根才能保证一定有一双同色的鞋带？（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【答案】C 【分析】根据抽屉原理，如果取出的头3根分别是3种不同的颜色，那么第4根取出后，能得到一双同色的鞋带。据此解题。 【详解】3＋1＝4（根） 所以，如果闭上眼睛拿，最少拿出4根才能保证一定有一双同色的鞋带。 故答案为：C 【点睛】本题考查了抽屉原理，关键是要从最差情况去考虑。 11．从1至20这些自然数中，至少取多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数（    ）。 A．6个 B．5个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】考虑最不利原则，把不是3的倍数的数全部取完，则再任意取一个，一定保证其中一定有一个数是3的倍数。 【详解】20内3的倍数有：3、6、9、12、15、18共6个； 20－6＋1＝15（个） 即从1至20这些自然数中，至少取15个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数。 12．45支铅笔最多放在（    ）个笔筒中，才能保证总有一个笔筒中至少放7支铅笔。 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】要保证总有一个笔筒中至少放支铅笔，需考虑最不利情况，即每个笔筒中都放了支铅笔，用铅笔总数除以每个笔筒放的支数，求出笔筒的数量。 【详解】 （个）……3（支） 商是，表示最多可以放个笔筒，每个笔筒里放6支，此时剩余的支铅笔无论放入哪个笔筒，都能保证总有一个笔筒中至少有支铅笔。 所以最多放在个笔筒中。 三、解答题 13．一个抽屉里装有大小相同但颜色不同的球若干个（球足够多）。已知球的颜色有粉、蓝、黄三种，至少要取出多少个球，才能保证有6个球是同色的？ 【答案】16个 【分析】要保证有6个球同色，需从最不利的情况考虑：先让每种颜色的球各取出5个，此时再取1个球，无论是什么颜色，都能满足要求。 【详解】（个） （个） 答：至少要取出16个球，才能保证有6个球是同色的。 14．老师在黑板上写了3个字（如图），让同学们任意选择两个字组成一个词语。全班共41名同学，至少有多少人写的词语相同？为什么？ 【答案】11人；任意选两个字组成的词语：情感、恩情、感情、感恩，共4个，所以抽屉数为4。（人）……1（人），（人），所以至少有11人写的词语相同。 【分析】鸽巢问题中：物品数量÷抽屉数量＝商……余数，至少数＝商＋1。根据“情、感、恩”3个字确定任意选两个字组成的词语数量（必须是有效词语）。将词语数量确定为抽屉数，再将全班41名同学确定为物品数，根据公式进行计算。 【详解】根据“情、感、恩”3个字确定任意选两个字组成的词语：情感、恩情、感情、感恩，共4个，所以抽屉数为4。 （人）……1（人） （人） 答：至少有11人写的词语相同。 15．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？ 【答案】5个 【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。 【详解】4＋1＝5（个） 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 16．有5种颜色的袜子各10只混装在纸箱内，从纸箱中至少取出多少只，能保证有3双袜子？ 【答案】10只 【分析】假设运气最差的情况，先取的5只袜子颜色都不一样，再取出1只就能配成一双；再从纸箱中取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；继续从纸箱续取1只和刚取走的那只颜色一样，又配齐5种颜色，再取一只又能配成一双；这样就配成了3双袜子。 【详解】5＋1＋1＋1＋1＋1＝10（只） 答：从纸箱中至少取出10只，能保证有3双袜子。 【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $