第六单元 探索乐园（知识清单）-2026-2027学年四年级上册数学冀教版（新教材）

第六单元 探索乐园 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识框架 知识梳理 知识点 1：多边形分割三角形的规律 (1) 动手操作与发现 ① 从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，可以把多边形分割成若干个三角形。 ② 以四边形为例：从一个顶点可画 1 条线段，分成 2 个三角形。 ③ 五边形可画 2 条线段、分成 3 个三角形；六边形可画 3 条线段、分成 4 个三角形。 (2) 发现的规律（用字母 n 表示边数，n≥4） ① 从一个顶点画出的线段条数＝边数 − 3，即 n−3。 ② 分割成的三角形个数＝边数 − 2，即 n−2。 (3) 规律的应用 ① 求具体边数：如 n=12 时，线段条数＝12−3＝9（条），三角形个数＝12−2＝10（个）。 ② 逆向求边数：三角形个数＋2＝边数；线段条数＋3＝边数。 【易错点】 ① 画线段只能从“一个顶点”向“与它不相邻的顶点”画，不能连自身和相邻顶点。 ② 把两条规律记反：线段条数比边数少 3，三角形个数比边数少 2。 ③ 逆向求边数时加错数：由三角形个数求边数要＋2，由线段条数求边数要＋3。 知识点 2：多边形的内角和 (1) 转化的方法 ① 三角形的内角和是 180°。 ② 把多边形分割成若干三角形，所有三角形的内角和加起来就是多边形的内角和。 (2) 内角和公式 ① 多边形的内角和 ＝ 180° ×（边数 − 2），即 内角和 ＝ 180°×(n−2)（n≥3）。 ② 例：n=12 时，内角和 ＝ 180°×(12−2) ＝ 1800°。 (3) 公式的应用与变形 ① 已知边数求内角和：直接代入公式计算。 ② 已知内角和求边数：边数 ＝ 内角和÷180° ＋ 2。 ③ 求正多边形每个内角：单内角 ＝ 内角和 ÷ 边数（正多边形各内角相等）。 【易错点】 ① 公式记错：内角和 ＝ 180°×(n−2)，不是 180°×n。 ② 逆向求边数时运算顺序出错：先用内角和÷180°，再加 2，不能先加再除。 ③ 求正多边形每个内角时忘记除以边数。 知识点 3：植树问题的基本量与间隔数 (1) 间隔与间隔数 ① 相邻两棵树之间的距离叫作一个间隔。 ② 间隔数 ＝ 总长 ÷ 间隔长度。例：40 米、每 5 米一个间隔，间隔数 ＝ 40÷5 ＝ 8（个）。 (2) 求棵数的前提 ① 不同种法，棵数与间隔数的关系不同，必须先分清是“两头都种、一头种、两头都不种”还是“封闭图形”，再套用对应规律。 【易错点】 ① 先求出“间隔数”再求棵数，不要把总长直接当成棵数。 ② 混淆“间隔长度”与“间隔数”：间隔长度是两个数之间的一个距离，间隔数是共有多少个这样的距离。 知识点 4：直线型植树问题（三种情况） (1) 两头都种 ① 棵数 ＝ 间隔数 ＋ 1。 ② 例：40÷5＋1 ＝ 9（棵）。 (2) 一头种，一头不种 ① 棵数 ＝ 间隔数。 ② 例：40÷5 ＝ 8（棵）。 (3) 两头都不种 ① 棵数 ＝ 间隔数 − 1。 ② 例：40÷5−1 ＝ 7（棵）。 (4) 路的每边都种 ① 一条路两边都植树：棵数 ＝ 一边植树的棵数 × 2。 【易错点】 ① 三种情况记混：两头都种加 1，一头种一头不种不加不减，两头都不种减 1。 ② 题目问“两边都种”时，算完一边忘记乘 2。 ③ 忘记先算间隔数，直接求棵数导致错误。 知识点 5：封闭型植树问题 (1) 规律 ① 封闭图形（正方形、长方形、圆形等）四周植树：棵数 ＝ 间隔数 ＝ 周长 ÷ 间隔长度。 (2) 正方形鱼塘角上种树 ① 四个角必须各种一棵时，角上的树不能重复计算。 ② 方法一：先算一条边棵数＝间隔数＋1，再 ×4，最后减 4（去掉四个角多算的）。 ③ 方法二：每边只算一个角上的树，棵数＝间隔数，再 ×4。 ④ 方法三：把封闭图形拉成一条直线，棵数＝间隔数＝总长÷间隔长度。 (3) 应用 ① 例：正方形鱼塘边长 48 米，每 6 米种一棵，棵数 ＝ 48×4÷6 ＝ 32（棵）。 ② 长方形绿地四周植树：棵数 ＝ 周长 ÷ 间隔长度。 【易错点】 ① 角上的树重复计算：四条边相加时，四个角上的树各被算了两次。 ② 误把封闭图形当直线型加 1 或减 1：封闭型棵数＝间隔数，不加也不减。 ③ 求周长时忘记用（长＋宽）×2。 典例精讲 考点1、多边形的内角和 【典型例题1】古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 【练习1】下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】如图，三角形纸片中有一个角是，剪去这个角后剩下图形的内角和是( )°。 【练习2】如图，剪去直角三角形的直角，剩下图形中，∠1＋∠2＝( )度；∠3＋∠4＝( )度。 【典型例题3】求未知角的度数。 【练习3】求下面图形中未知角的度数。       考点2、植树问题（一端栽一端不栽） 【典型例题4】一辆客车从起点到终点一共要行39千米，如果每隔3千米停靠一次（起点不算），那么这辆客车一共要停靠（    ）次。 A．13 B．14 C．12 D．15 【练习4】在某地举行的长跑比赛中，每隔3km设置了一个饮水站以确保选手少量多次补水（起点和终点不在同一个地点，起点不设，终点设）。全程42千米，一共设置了几个饮水站？（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【典型例题5】学校计划要在一条小道旁每隔5米放一个垃圾桶，如果小道的另一端不放，一共可以放15个垃圾桶，问这条小道有多长？ 【练习5】某大桥全长4500m，在大桥的两旁每隔45m安装一块广告牌（一端安装，另一端不安装）。这座大桥一共可以安装多少块广告牌？ 考点3、植树问题（两端都栽） 【典型例题6】在一段公路的两边按株距8m栽树1402棵。如果两端都栽，这段公路长（    ）m。 A．5600 B．5616 C．5608 D．11208 【练习6】为迎接2026年元旦的到来，工人叔叔计划在一条全长400m的街道两旁挂上红灯笼（两端都要挂），每隔10m挂一盏。一共要挂（    ）盏红灯笼。 A．3 B．78 C．41 D．82 【典型例题7】要在50米长的小路两旁栽树，每5米栽一棵（两端都栽），一共可以栽( )棵。 【练习7】在一条长100米的校道一侧插彩旗，每5米插一面（两端都要插），一共要插( )面彩旗。 【典型例题8】晶晶上楼，从1楼走到2楼需要走12级台阶，每层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从1楼走到6楼需要走几级台阶？ 【练习8】学校准备在一条走廊两边放些绿萝，每隔5米放一盆绿萝，从起点到终点一共放了20盆。这条走廊长多少米？ 考点4、植树问题（两端都不栽） 【典型例题9】一根木头锯成2段，需要3分钟，要锯成6段，一共需要( )分钟。 【练习9】一根木头锯成5段，每锯断一次需要3分钟，锯完这根木头需要( )分钟。 【典型例题10】晶晶和小亮两人爬楼梯比赛，晶晶跑到三楼时，小亮跑到四楼，照这样计算，当晶晶跑到十一楼时，小亮跑到了几楼？ 【练习10】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到3楼时，乙恰好跑到2楼，按照这样的计算，甲跑到7楼时，乙跑到多少楼？ 【典型例题11】一个六边形花坛，边长为10米，每条边上每隔1米摆1盆花，六个角上不摆。一共要摆多少盆花？ 【练习11】要在54米的路两侧摆鲜花，每隔6米摆一盆，路两端都不放，一共需要多少盆花？ 考点5、封闭图形上的植树问题 【典型例题12】“湖边春色分外娇，一株柳树栽得妙。平湖周围三千米，五米一棵都栽到。漫步湖畔赏美景，可知柳树有多少？”根据这段话，可以求出柳树有（    ）棵。 A．399 B．400 C．401 D．600 【练习12】百货商场要在一个长方形广场的四周插一些小旗进行宣传活动。广场的长是24m，宽是8m，每隔4m插一面小旗（4 个顶点都插），一共要插（    ）面小旗。 A．16 B．12 C．20 D．18 【典型例题13】一个圆形防护栏的周长为30米，在防护栏上每隔2米打一个桩，一共需要打( )个桩。 【练习13】学校圆形花坛一周栽了16棵月季花，每两棵月季花之间栽一棵杜鹃花，栽了( )棵杜鹃花。 【典型例题14】正方形鱼塘四周栽树，一共栽了72棵，四个角都栽1棵，平均每边栽多少棵树？ 【练习14】广场上有一个长100米，宽80米的长方形花坛，现准备在花坛四周种上白桦树且四个角上都种，每隔4米种一棵，一共要种多少棵？ 巩固练习 一、填空题 1．如图为一个三角形零件，加工过程中不小心切掉了一个小角，切掉的小角∠C＝( )°，剩下零件的内角和是( )°。 2．第九届烟台马拉松比赛将于2025年10月19日举行，全长约42千米，平均每3千米设置一个补水点（起点不设，终点设）。比赛全程一共设置( )个补水点。 3．在一条长150米的大路两边各栽一行树（起点和终点都栽），每行相邻两棵之间的距离均为3米，一共栽了( )棵树。 4．一段木头长15米，要把它平均截成5段（每次只能锯一段），每锯下一段需要4分钟，锯完一共要花( )分钟。 5．在某校周长为400m的环形跑道上，每隔8m插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间插一面黄旗，应准备黄旗( )面。 二、选择题 6．计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 7．为迎接春节，街道工作人员计划在一条700m长的单行道一侧的路灯上安装灯笼，每隔10m安装一盏灯笼，总共安装了70盏灯笼，下列安装方式正确的是（    ）。 A．两端都不安装 B．只安装一端 C．两端都安装 D．无法确定 8．学校买来一些鲜花，摆放在广场四周，准备每隔3米摆放一盆。放到第13盆时发现鲜花不够了，于是决定重新摆放，改为每隔4米摆放一盆。这样重新摆放时，有（    ）盆花的位置不用重摆。 A．1 B．2 C．3 D．4 9．一根木料锯成4段需要12分钟，如果锯成8段需要（    ）分钟。 A．21 B．24 C．28 D．32 10．学校团体操表演五年级同学排成一个空心方阵，若最外层共有64人，最内层每边有7名学生，整个方阵共有（    ）名学生。 A．220 B．253 C．264 D．273 三、计算题 11．列式计算如图角的度数。 (1) (2) (3) 四、解答题 12．大峡谷漂流全程约为3千米，为了保护游客的人身安全，平均每300米安排一名救生员（起点不安排，终点安排），全程一共需要安排多少名救生员？ 13．园林工人在一条东西方向的人行道两旁植树（包括端点），路北种杨树，路南种柳树，每相邻两棵杨树距离是5米，每相邻两棵柳树距离是6米，已知种了31棵杨树，问种了多少棵柳树？ 14．如图，要在公园与动物园之间的马路两旁植树（两端都不植树），每两棵树之间相距5米，一共要植多少棵树？ 15．景区为了保护一棵古树，要为它做一个长45米的圆形防护栏。如果每隔3米打一个桩，一共需要打多少个桩？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 探索乐园 知识清单 【知识框架+知识梳理+典例精讲+巩固练习】 知识框架 知识梳理 知识点 1：多边形分割三角形的规律 (1) 动手操作与发现 ① 从多边形的一个顶点出发，向与它不相邻的顶点画线段，可以把多边形分割成若干个三角形。 ② 以四边形为例：从一个顶点可画 1 条线段，分成 2 个三角形。 ③ 五边形可画 2 条线段、分成 3 个三角形；六边形可画 3 条线段、分成 4 个三角形。 (2) 发现的规律（用字母 n 表示边数，n≥4） ① 从一个顶点画出的线段条数＝边数 − 3，即 n−3。 ② 分割成的三角形个数＝边数 − 2，即 n−2。 (3) 规律的应用 ① 求具体边数：如 n=12 时，线段条数＝12−3＝9（条），三角形个数＝12−2＝10（个）。 ② 逆向求边数：三角形个数＋2＝边数；线段条数＋3＝边数。 【易错点】 ① 画线段只能从“一个顶点”向“与它不相邻的顶点”画，不能连自身和相邻顶点。 ② 把两条规律记反：线段条数比边数少 3，三角形个数比边数少 2。 ③ 逆向求边数时加错数：由三角形个数求边数要＋2，由线段条数求边数要＋3。 知识点 2：多边形的内角和 (1) 转化的方法 ① 三角形的内角和是 180°。 ② 把多边形分割成若干三角形，所有三角形的内角和加起来就是多边形的内角和。 (2) 内角和公式 ① 多边形的内角和 ＝ 180° ×（边数 − 2），即 内角和 ＝ 180°×(n−2)（n≥3）。 ② 例：n=12 时，内角和 ＝ 180°×(12−2) ＝ 1800°。 (3) 公式的应用与变形 ① 已知边数求内角和：直接代入公式计算。 ② 已知内角和求边数：边数 ＝ 内角和÷180° ＋ 2。 ③ 求正多边形每个内角：单内角 ＝ 内角和 ÷ 边数（正多边形各内角相等）。 【易错点】 ① 公式记错：内角和 ＝ 180°×(n−2)，不是 180°×n。 ② 逆向求边数时运算顺序出错：先用内角和÷180°，再加 2，不能先加再除。 ③ 求正多边形每个内角时忘记除以边数。 知识点 3：植树问题的基本量与间隔数 (1) 间隔与间隔数 ① 相邻两棵树之间的距离叫作一个间隔。 ② 间隔数 ＝ 总长 ÷ 间隔长度。例：40 米、每 5 米一个间隔，间隔数 ＝ 40÷5 ＝ 8（个）。 (2) 求棵数的前提 ① 不同种法，棵数与间隔数的关系不同，必须先分清是“两头都种、一头种、两头都不种”还是“封闭图形”，再套用对应规律。 【易错点】 ① 先求出“间隔数”再求棵数，不要把总长直接当成棵数。 ② 混淆“间隔长度”与“间隔数”：间隔长度是两个数之间的一个距离，间隔数是共有多少个这样的距离。 知识点 4：直线型植树问题（三种情况） (1) 两头都种 ① 棵数 ＝ 间隔数 ＋ 1。 ② 例：40÷5＋1 ＝ 9（棵）。 (2) 一头种，一头不种 ① 棵数 ＝ 间隔数。 ② 例：40÷5 ＝ 8（棵）。 (3) 两头都不种 ① 棵数 ＝ 间隔数 − 1。 ② 例：40÷5−1 ＝ 7（棵）。 (4) 路的每边都种 ① 一条路两边都植树：棵数 ＝ 一边植树的棵数 × 2。 【易错点】 ① 三种情况记混：两头都种加 1，一头种一头不种不加不减，两头都不种减 1。 ② 题目问“两边都种”时，算完一边忘记乘 2。 ③ 忘记先算间隔数，直接求棵数导致错误。 知识点 5：封闭型植树问题 (1) 规律 ① 封闭图形（正方形、长方形、圆形等）四周植树：棵数 ＝ 间隔数 ＝ 周长 ÷ 间隔长度。 (2) 正方形鱼塘角上种树 ① 四个角必须各种一棵时，角上的树不能重复计算。 ② 方法一：先算一条边棵数＝间隔数＋1，再 ×4，最后减 4（去掉四个角多算的）。 ③ 方法二：每边只算一个角上的树，棵数＝间隔数，再 ×4。 ④ 方法三：把封闭图形拉成一条直线，棵数＝间隔数＝总长÷间隔长度。 (3) 应用 ① 例：正方形鱼塘边长 48 米，每 6 米种一棵，棵数 ＝ 48×4÷6 ＝ 32（棵）。 ② 长方形绿地四周植树：棵数 ＝ 周长 ÷ 间隔长度。 【易错点】 ① 角上的树重复计算：四条边相加时，四个角上的树各被算了两次。 ② 误把封闭图形当直线型加 1 或减 1：封闭型棵数＝间隔数，不加也不减。 ③ 求周长时忘记用（长＋宽）×2。 典例精讲 考点1、多边形的内角和 【典型例题1】古代青砖常设计为六边形，这种六边形地砖的内角和是（    ）。 A．180° B．360° C．480° D．720° 【答案】D 【分析】 三角形内角和为，计算多边形内角和可以将多边形拆分为若干个互不重叠的三角形，如下图： 【详解】由分析可知：将六边形拆分成4个三角形，所以六边形内角和为：180°×4＝720°。 【练习1】下面的度数不可能是一个多边形的内角和的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和一定是的整数倍，只需判断各选项能否被180整除即可。 【详解】多边形内角和公式为：（为大于等于3的整数），因此内角和一定是的整数倍。 A．，可能是一个多边形的内角和。 B．，可能是一个多边形的内角和。 C．，可能是一个多边形的内角和。 D．，不可能是一个多边形的内角和。 【典型例题2】如图，三角形纸片中有一个角是，剪去这个角后剩下图形的内角和是( )°。 【答案】360 【分析】三角形截取一个角后，得到的是四边形，根据内角和定理即可求解。 【详解】剩下部分是四边形，四边形的内角和是360°。 【练习2】如图，剪去直角三角形的直角，剩下图形中，∠1＋∠2＝( )度；∠3＋∠4＝( )度。 【答案】 270 90 【分析】根据题意可知，原来是一个直角三角形。三角形内角和是180度，直角是90度的角，那么用内角和减去90度可求出∠3与∠4的度数和。剪掉直角后就变成了四边形，四边形的内角和是360度，再用360度减去∠3与∠4的度数和即可求出∠1与∠2的度数和。 【详解】∠3＋∠4：180－90＝90（度） ∠1＋∠2：360－90＝270（度） 即剩下图形中，∠1＋∠2＝270度，∠3＋∠4＝90度。 【典型例题3】求未知角的度数。 【答案】； 【分析】因为三角形内角和为，所以用内角和减去已知的两个角的度数，即可得到未知角的度数。因为四边形内角和为，且直角为，所以用内角和减去已知的三个角的度数，即可得到未知角的度数。 【详解】① ② 【练习3】求下面图形中未知角的度数。       【答案】100°；40° 【分析】四边形内角和是；第一个图形，已知的三个角分别为、、，用内角和减去三个已知角的度数，即可得到未知角的度数。第二个图形，先用四边形内角和减去已知的三个角度数求出四边形的第四个内角，因为所求未知角与该第四个内角组成平角，所以用减去该内角的度数，即可得到未知角的度数。 【详解】     图1中未知角的度数是100°，图2中未知角的度数是40° 考点2、植树问题（一端栽一端不栽） 【典型例题4】一辆客车从起点到终点一共要行39千米，如果每隔3千米停靠一次（起点不算），那么这辆客车一共要停靠（    ）次。 A．13 B．14 C．12 D．15 【答案】A 【分析】解答这道题需熟知“一端栽一端不栽”的植树问题的两个公式：间隔数＝路长÷间距；棵数＝间隔数。题目中已知路长为39千米，间距为3千米。“起点不算”说明这道题属于“一端栽一端不栽”的植树问题，所以间隔数就是停靠的次数。据此解答。 【详解】根据分析： （次） 所以这辆客车一共要停靠13次。 故答案为：A 【练习4】在某地举行的长跑比赛中，每隔3km设置了一个饮水站以确保选手少量多次补水（起点和终点不在同一个地点，起点不设，终点设）。全程42千米，一共设置了几个饮水站？（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】已知起点和终点不在同一个地点，这意味着比赛路线不是环形的，起点和终点是分开的两个地点，起点不设饮水站，终点设饮水站，且每隔3km设置了一个饮水站，即从起点开始，每跑3公里就有一个饮水站，终点有饮水站，又已知比赛的总长度是42公里，间隔段＝总长度间隔长，代入数据计算，此题属于一端植树的植树问题，间隔段＝棵数，即为饮水站的个数。 【详解】（个） 即一共设置了14个饮水站。 故答案为：C 【典型例题5】学校计划要在一条小道旁每隔5米放一个垃圾桶，如果小道的另一端不放，一共可以放15个垃圾桶，问这条小道有多长？ 【答案】75米 【分析】先判断垃圾桶摆放是一端放、另一端不放的情况，间隔数＝垃圾桶个数，再用间隔数乘每个间隔的长度就能算出小道长度。 【详解】（米） 答：这条小道长75米。 【练习5】某大桥全长4500m，在大桥的两旁每隔45m安装一块广告牌（一端安装，另一端不安装）。这座大桥一共可以安装多少块广告牌？ 【答案】200块 【分析】一端安装另一端不安装时，每侧广告牌数等于间隔数，先算出一侧的广告牌数量，再乘2得到两侧总数量。 【详解】一旁广告牌数量：（块） 两旁总数量：（块） 答：这座大桥一共可以安装200块广告牌。 考点3、植树问题（两端都栽） 【典型例题6】在一段公路的两边按株距8m栽树1402棵。如果两端都栽，这段公路长（    ）m。 A．5600 B．5616 C．5608 D．11208 【答案】A 【分析】由题意得先用总棵数÷2，求出公路的一边栽多少棵树，因为两端都栽，说明间隔数＝树的棵数－1，所以用树的棵数－1求出树之间间隔的个数，最后用间隔数×每两棵树之间的间隔长度。 【详解】1402÷2＝701（棵） 701－1＝700（个） 700×8＝5600（m） 如果两端都栽，这段公路长5600m。 【练习6】为迎接2026年元旦的到来，工人叔叔计划在一条全长400m的街道两旁挂上红灯笼（两端都要挂），每隔10m挂一盏。一共要挂（    ）盏红灯笼。 A．3 B．78 C．41 D．82 【答案】D 【分析】先只考虑街道一旁，根据植树问题的解题方法，两端都植，棵数＝段数＋1，街道全长÷间距＋1＝街道一旁红灯笼个数，再乘2就是街道两旁红灯笼个数。 【详解】间隔数：（段） 一旁灯笼数：（盏） 两旁总灯笼数：（盏） 【典型例题7】要在50米长的小路两旁栽树，每5米栽一棵（两端都栽），一共可以栽( )棵。 【答案】 22 【分析】首先根据路长除以间隔长度求出一旁的间隔数，再根据“两端都栽，棵数＝间隔数＋1”求出一旁栽树的棵数，最后乘2求出两旁一共栽树的棵数。 【详解】 （棵） 【练习7】在一条长100米的校道一侧插彩旗，每5米插一面（两端都要插），一共要插( )面彩旗。 【答案】 【分析】先求出总长度里有多少个间隔（100÷5），两端都插彩旗，彩旗数量比间隔数多1。 【详解】100÷5＝20（个） 20＋1＝21（面） 【典型例题8】晶晶上楼，从1楼走到2楼需要走12级台阶，每层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从1楼走到6楼需要走几级台阶？ 【答案】60级 【分析】从1楼走到2楼只走了1层楼梯，楼层之间间隔的层数＝终点楼层－起点楼层。先求从1楼到6楼一共走了几层楼梯，再乘每层楼梯的台阶数，得到总台阶数。 【详解】12×（6－1） ＝12×5 ＝60（级） 答：晶晶从1楼走到6楼需要走60级台阶。 【练习8】学校准备在一条走廊两边放些绿萝，每隔5米放一盆绿萝，从起点到终点一共放了20盆。这条走廊长多少米？ 【答案】 45米 【分析】先算出走廊单边的绿萝盆数，由于起点终点都放，间隔数比单边盆数少1，用间隔数乘每个间隔的长度即可求出走廊长度。 【详解】单边绿萝盆数：（盆） 间隔数：（个） 走廊长度：（米） 答：这条走廊长45米。 考点4、植树问题（两端都不栽） 【典型例题9】一根木头锯成2段，需要3分钟，要锯成6段，一共需要( )分钟。 【答案】15 【分析】锯木头的次数和段数的关系是：锯的次数 ＝ 段数－1。 根据题意，把一根木头锯成2段，也就是锯了1次，用了3分钟，说明锯一次的时间是3分钟；那么锯成6段，只锯5次就可以了，然后再乘上锯一次的时间即可。 【详解】 （分钟） 【练习9】一根木头锯成5段，每锯断一次需要3分钟，锯完这根木头需要( )分钟。 【答案】 12 【分析】根据题意，锯1次可以锯成2段，锯2次可以锯成3段……也就是锯的次数＋1＝锯成的段数；锯成的段数－1＝锯的次数，用每锯一次用的时间和锯的次数相乘，即可计算出要用的总时间。 【详解】5－1＝4（次） 3×4＝12（分钟） 【典型例题10】晶晶和小亮两人爬楼梯比赛，晶晶跑到三楼时，小亮跑到四楼，照这样计算，当晶晶跑到十一楼时，小亮跑到了几楼？ 【答案】16楼 【分析】爬楼梯时，楼层数减1才是实际爬的楼梯层数。晶晶到3楼，实际爬了2层楼梯，小亮到4楼，实际爬了3层楼梯，也就是晶晶每爬2层楼梯，小亮爬3层楼梯。先算出晶晶到11楼实际爬了几层楼梯，再看里面有几个2层，就对应几个3层，最后加上1层得到小亮所在的楼层。 【详解】晶晶到3楼爬3－1＝2（层），小亮到4楼爬4－1＝3（层）； 晶晶到11楼爬11－1＝10（层）； 10÷2＝5（个），10里面有5个2层； 小亮爬5×3＝15（层），小亮在15＋1＝16（楼）。 答：小亮跑到了16楼。 【练习10】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到3楼时，乙恰好跑到2楼，按照这样的计算，甲跑到7楼时，乙跑到多少楼？ 【答案】4楼 【分析】爬楼梯时，从1楼开始，实际爬的楼梯段数等于楼层数减1。甲跑到3楼，实际爬了2层楼梯；乙跑到2楼，实际爬了1层楼梯。相同时间内，乙爬的楼梯段数是甲的一半。甲跑到7楼时，爬了6层楼梯，乙爬的楼梯段数＝6÷2，再加上1就是乙所在的楼层。 【详解】甲到3楼爬3－1＝2（层），乙到2楼爬2－1＝1（层），乙爬的层数是甲的一半； 甲到7楼爬7－1＝6（层），乙爬6÷2＝3（层）； 乙在3＋1＝4（楼） 答：此时乙跑到4楼。 【典型例题11】一个六边形花坛，边长为10米，每条边上每隔1米摆1盆花，六个角上不摆。一共要摆多少盆花？ 【答案】54盆 【分析】先根据边长和间隔距离算出每条边的间隔数，因为六个角上不摆花，所以每条边的花盆数比间隔数少1，再用每条边的花盆数乘6得到总盆数。 【详解】（个） （盆） （盆） 答：一共要摆54盆花。 【练习11】要在54米的路两侧摆鲜花，每隔6米摆一盆，路两端都不放，一共需要多少盆花？ 【答案】 盆 【分析】先根据路的总长和间隔长度算出一侧的间隔数，路两端都不放花，因此一侧的花盆数等于间隔数减1，再乘2得到两侧的总花盆数。 【详解】 （盆） （盆） 答：一共需要16盆花。 考点5、封闭图形上的植树问题 【典型例题12】“湖边春色分外娇，一株柳树栽得妙。平湖周围三千米，五米一棵都栽到。漫步湖畔赏美景，可知柳树有多少？”根据这段话，可以求出柳树有（    ）棵。 A．399 B．400 C．401 D．600 【答案】D 【分析】封闭图形植树，棵数＝段数，1千米＝1000米，平湖周围长度÷间距＝柳树棵数。 【详解】3千米＝3000米 3000÷5＝600（棵） 柳树有600棵。 【练习12】百货商场要在一个长方形广场的四周插一些小旗进行宣传活动。广场的长是24m，宽是8m，每隔4m插一面小旗（4 个顶点都插），一共要插（    ）面小旗。 A．16 B．12 C．20 D．18 【答案】A 【分析】一共要插小旗的面数＝间隔数＝（广场的长＋宽）×2÷间距。 【详解】（24＋8）×2÷4 ＝32×2÷4 ＝64÷4 ＝16（面） 一共要插16面小旗。 【典型例题13】一个圆形防护栏的周长为30米，在防护栏上每隔2米打一个桩，一共需要打( )个桩。 【答案】15 【分析】求一共需要打多少个桩，就是求30里面有多少个2，据此用除法列式计算。 【详解】30÷2＝15（个） 【练习13】学校圆形花坛一周栽了16棵月季花，每两棵月季花之间栽一棵杜鹃花，栽了( )棵杜鹃花。 【答案】16 【分析】圆形花坛属于封闭路线，首尾相连，树的棵数等于间隔数。16棵月季花围成一圈，就产生16个间隔，每一个间隔里面栽一棵杜鹃花，杜鹃花棵数就等于间隔数。 【详解】一共有16棵月季花，所以有16个间隔。 每个间隔栽1棵杜鹃花：16×1＝16（棵）。 所以栽了16棵杜鹃花。 【典型例题14】正方形鱼塘四周栽树，一共栽了72棵，四个角都栽1棵，平均每边栽多少棵树？ 【答案】19棵 【分析】正方形属于封闭图形，且四个角都栽树，说明每个角上的树被相邻的两条边共用。在封闭图形中，树的总棵数等于总间隔数。要求平均每边栽多少棵树，可以先用总棵数除以边数求出每条边的间隔数，再根据“两端都栽”的规律，每条边的棵数等于间隔数加。 【详解】 （棵） 答：平均每边栽棵树。 【练习14】广场上有一个长100米，宽80米的长方形花坛，现准备在花坛四周种上白桦树且四个角上都种，每隔4米种一棵，一共要种多少棵？ 【答案】90棵 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2。封闭图形中的植树问题，棵数＝间隔数，间隔数＝封闭图形的周长÷间距。先求长方形的周长，再用周长除以间距求出间隔数，棵数等于间隔数。 【详解】 （米） （棵） 答：一共要种90棵。 巩固练习 一、填空题 1．如图为一个三角形零件，加工过程中不小心切掉了一个小角，切掉的小角∠C＝( )°，剩下零件的内角和是( )°。 【答案】 30 360 【分析】三角形内角和为180°，用180°减去已知的∠A和∠B即可得到∠C；三角形切去一个角后会变为四边形，根据多边形内角和公式（为边数），代入即可计算剩下零件的内角和。 【详解】 切掉的小角∠C＝30°，剩下零件的内角和是360°。 2．第九届烟台马拉松比赛将于2025年10月19日举行，全长约42千米，平均每3千米设置一个补水点（起点不设，终点设）。比赛全程一共设置( )个补水点。 【答案】14 【分析】根据植树问题，一端点植树则间隔数等于服务点数，用除法计算间隔数即可解答。 【详解】42÷3＝14（个） 即第九届烟台马拉松比赛将于2025年10月19日举行，全长约42千米，平均每3千米设置一个补水点（起点不设，终点设）。比赛全程一共设置14个补水点。 3．在一条长150米的大路两边各栽一行树（起点和终点都栽），每行相邻两棵之间的距离均为3米，一共栽了( )棵树。 【答案】102 【分析】根据两端都栽的情况可知，棵数＝间隔数＋1。先根据间隔数＝总距离÷间距，用大路总长除以间距求出间隔数，进而求出一边需要栽树的棵数，最后乘2求出两边共栽树的棵数。 【详解】150÷3＝50（个） 50＋1＝51（棵） 51×2＝102（棵） 4．一段木头长15米，要把它平均截成5段（每次只能锯一段），每锯下一段需要4分钟，锯完一共要花( )分钟。 【答案】16 【分析】先根据“锯的次数＝段数－1”求出锯的次数，再用每次的时间乘次数求出总时间。 【详解】（5－1）×4 ＝4×4 ＝16（分钟） 5．在某校周长为400m的环形跑道上，每隔8m插一面红旗，然后在相邻两面红旗之间插一面黄旗，应准备黄旗( )面。 【答案】50 【分析】在环形路段植树，植树棵数＝间隔数，所以用跑道的长度除以间隔的长度，即可求出一共有的间隔数，也就是红旗的面数；有几个间隔就会有几面黄旗。 【详解】间隔数：400÷8＝50（个） 环形跑道红旗有50面，每个间隔插1面黄旗，应准备黄旗50面。 二、选择题 6．计算五边形内角和，符合算式“”的思考方式的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】多边形内角和推导方法：从同一个顶点向不相邻的顶点画对角线，把五边形分割成若干个三角形。一个三角形内角和是180°，算式180°×3，说明要分成3个三角形。 【详解】A．从五边形中心点连接各个顶点，分成5个三角形，不符合题意。 B．从五边形的一条边上的一点连接其余三个顶点，分成4个三角形，不符合题意。 C．从五边形同一个顶点，向不相邻顶点画对角线，分成3个三角形，对应算式180°×3，符合题意。 D．连接五边形的两个顶点，得到一个三角形和一个四边形，不符合题意。 7．为迎接春节，街道工作人员计划在一条700m长的单行道一侧的路灯上安装灯笼，每隔10m安装一盏灯笼，总共安装了70盏灯笼，下列安装方式正确的是（    ）。 A．两端都不安装 B．只安装一端 C．两端都安装 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题属于植树问题的安装方式判定，公式是：两端都安装：灯笼盏数＝间隔数＋1，只安装一端：灯笼盏数＝间隔数，两端都不安装：灯笼盏数＝间隔数－1，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。 【详解】间隔数：700÷10＝70（个） A．两端都不安装：70－1＝69（盏），不符合题意。 B．只安装一端：70（盏），符合题意。 C．两端都安装：70＋1＝71（盏），不符合题意。 D．不符合题意。 安装方式正确的是只安装一端。 8．学校买来一些鲜花，摆放在广场四周，准备每隔3米摆放一盆。放到第13盆时发现鲜花不够了，于是决定重新摆放，改为每隔4米摆放一盆。这样重新摆放时，有（    ）盆花的位置不用重摆。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】从第1盆到第13盆的间隔数为13－1＝12，间隔数×间距＝总距离，求出摆放花盆的总距离，间距是3和4最小公倍数的花盆不用重摆。用总距离÷间距（3和4的最小公倍数）＋1＝不用重摆的数量。 【详解】13－1＝12（个） 12×3＝36（米） 3×4＝12（米） 36÷12＋1 ＝3＋1 ＝4（盆） 9．一根木料锯成4段需要12分钟，如果锯成8段需要（    ）分钟。 A．21 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】明确锯的时间取决于锯的次数，而不是段数。锯的次数与段数的关系为：锯的次数＝段数－1。先根据锯成4段需要12分钟求出锯一次需要的时间，再求出锯成8段需要锯的次数，最后求出总时间。 【详解】4－1＝3（次） 12÷3＝4（分钟） 8－1＝7（次） 4×7＝28（分钟） 即锯成8段需要28分钟。 10．学校团体操表演五年级同学排成一个空心方阵，若最外层共有64人，最内层每边有7名学生，整个方阵共有（    ）名学生。 A．220 B．253 C．264 D．273 【答案】C 【分析】先求出最外层每边人数，再求出中间空心部分每边人数，最后用实心方阵总人数减去中间空心部分的方阵人数，即可得到整个方阵的总人数；最外层每边人数＝最外层总人数÷4＋1；最内层每边有7名学生，则空心部分最外层每边有7－2＝5名学生；方阵总人数＝每边人数×每边人数。 【详解】：64÷4＋1 ＝16＋1 ＝17（人） 7－2＝5（人） 17×17－5×5 ＝289－25 ＝264（人） 整个方阵共有264名学生，C选项符合题意。 三、计算题 11．列式计算如图角的度数。 (1) (2) (3) 【答案】(1)73° (2)60° (3)50° 【分析】（1）（2）三角形内角和是180°，用180°减去已知两个角的度数即可求出∠1的度数。 （3）四边形内角和是360°，用360°减去已知三个角的度数即可求出未知角的度数。 【详解】（1）∠1＝180°－40°－67° ＝140°－67° ＝73° （2）∠2＝180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° （3）∠3＝360°－90°－90°－130° ＝270°－90°－130° ＝180°－130° ＝50° 四、解答题 12．大峡谷漂流全程约为3千米，为了保护游客的人身安全，平均每300米安排一名救生员（起点不安排，终点安排），全程一共需要安排多少名救生员？ 【答案】10名 【分析】根据题意，首先进行单位换算，1千米＝1000米，因为起点不安排救生员，终点安排，属于植树问题中只种一端的情况，救生员数量等于间隔数，所以用总长度除以间隔距离，即可解题。 【详解】3千米＝3000米 3000÷300＝10（名） 答：全程一共需要安排10名救生员。 13．园林工人在一条东西方向的人行道两旁植树（包括端点），路北种杨树，路南种柳树，每相邻两棵杨树距离是5米，每相邻两棵柳树距离是6米，已知种了31棵杨树，问种了多少棵柳树？ 【答案】26棵 【分析】两端都植树时，棵数比间隔数多1。先根据杨树的棵数和间距求出人行道长度，再用路长和柳树的间距计算柳树的棵数。柳树棵数＝间隔数＋1；间隔数＝人行道长度÷6。 【详解】杨树间隔31－1＝30（个），人行道长30×5＝150（米）； 柳树间隔150÷6＝25（个），柳树共25＋1＝26（棵）。 答：种了26棵柳树。 14．如图，要在公园与动物园之间的马路两旁植树（两端都不植树），每两棵树之间相距5米，一共要植多少棵树？ 【答案】238棵 【分析】已知马路长600米，每两棵树之间相距5米，根据“间隔数＝总长度÷间距”，用马路总长600米除以每两棵树的间距5米，得出间隔数。根据两端不植树的核心公式“棵数＝间隔数－1”，求出一侧的植树棵数。因为要在马路两侧植树，所以用单侧的棵数乘2，得到总棵数。据此解答。 【详解】（600÷5－1）×2 ＝（120－1）×2 ＝119×2 ＝238（棵） 答：一共要植238棵树。 15．景区为了保护一棵古树，要为它做一个长45米的圆形防护栏。如果每隔3米打一个桩，一共需要打多少个桩？ 【答案】 15个 【分析】圆形防护栏是封闭图形，打桩的个数等于间隔数，用防护栏总长度除以每个间隔的长度，即可求出打桩的总个数。 【详解】45÷3＝15（个） 答：一共需要打15个桩。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $