31.1.4 垂径定理（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级下册

31.1.4 垂径定理 第三十一章 圆 沪教版九年级下册 学习目标 1.理解垂径定理分清条件（垂直弦、过圆心）和结论（平分弦、平分弦所对的两条弧）； 一 2. 能识别垂径定理的基本图形，会构造直角三角形，结合勾股定理进行线段长度、半径、弦心距、弦长的求解计算； 3. 能用垂径定理进行简单的证明。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情景引入 垂径定理 赵州桥是一座隋代石拱桥，距今已有1400多年，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔圆弧形石拱桥，现在是全国重点文物保护单位和国家AAAA级旅游景区 如何测量其桥拱的宽度？高度？半径，分析其蕴藏的数学原理？这些问题的答案，都指向一个核心定理一一垂径定理。它揭示了圆的直径与弦之间的特殊位置关系，是解决圆相关问题的关键钥匙。 合作探究 👉 提问：在纸上画一个圆，怎样操作能快速找到圆的圆心？ 将圆对折，折痕就是直径；折叠两次，折痕的交点就是圆心。 直径为折痕进行折叠，可以发现，圆上位于折痕两侧的部分完全重合说明圆是____对称图形，___________________是其对称轴. 动手操作：探究圆的对称性 垂径定理 轴 ·O 直径所在的直线 合作探究 👉 提问：圆形纸片上有条弦AB，怎样操作能快速找到弦AB 的中点和弧的中点？ ♀操作：将圆对折，使A 点与B 点重合，则折痕与AB的交点就是弦AB 的中点，折痕与弧的交点就是弧的中点。 动手操作、探究猜想 垂径定理 ·O A B ·E C D ☆猜想：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 合作探究 论证猜想、定理证明 垂径定理 ·O A B ·E C D 求证：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 已知，如图⊙O 中，AB 为弦，CD 为直径，且CD⊥AB 于点E， 求证：AE=BE，， 解析：连接OA、OC 由等腰三角形的三线合一性质可知AE=BE，∠AOE=∠BOE; ∵∠AOE=∠BOE，∴， 由等式性质-即可证得 合作探究 论证猜想、定理证明 垂径定理 ·O A B ·E C D 求证：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 思考：如果AB 也是直径，CD 还依然平分AB，且平分AB 所对的弧吗？ 因为O与E重合，自然有AE=BE； ∵CD ⊥AB ∴ ∴, ·O A B · （E） C D 定理的符号语言： ∵CD是直径，CD⊥AB ∴AE=BE,, 可简化为： ∵OE（OC）⊥AB ∴AE=BE, 例题讲解 定理的理解与应用 垂径定理 例1 如图,已知：在以点0为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C、D. 求证：AC=BD. 证明 如图，过点O作OE⊥AB于点E ∵OE⊥AB ∴AE=BE,CE=DE ∴AE-CE=BE-DE ∴AC=BD 总结： 作弦心距是圆里常见的辅助线之一。 定理的理解与应用 垂径定理 例2 赵州桥已知它的桥拱跨度(弧所对的弦的长)约为37.02m ,拱高(弧的中点到弦的距离)约为7.2m. 求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1m). 解 如图，如图,用表示桥拱，设所在圆的圆心为O,⊙O的半径为Rm.连接AB,过圆心O作半径OC⊥AB,垂足为D. 18.51²+(R-7.2)²=R². 解得R≈27.4. 答：桥拱所在圆的半径约为27.4 m. 根据垂径定理，可知D是AB的中点，C是的中点，于是CD就是拱高. 根据题意得 AD=AB=2×37.02=18.51(m), OD=OC-CD=R-7.2(m). 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 例题讲解 定理的理解与应用 垂径定理 利用垂径定理计算时，常需要作辅助线构造“垂径三角形”利用勾股定理计算. 如图，由半径OB（r）、弦心距OD（d）、弦长一半BD（l）组成的三角形叫作垂径三角形。 r、d、l 之间满足的关系：; 例题讲解 求两条平行弦间的距离 垂径定理 思考：在⊙O中，半径为5，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 例题讲解 ·E ·F 解析：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F， 由垂径定理可知AE=BE=3，CE=DE=4 若AB与CD在圆心的同侧，则 A’ B’ EF==-=1 若AB与CD在圆心的异侧，则 EF==+=7 1或7 利用垂径定理推理证明 垂径定理 如图，点A,B,C,D都在⊙O上，AD 是⊙O的直径，OB⊥AC于E． (1)求证：AB=BC； (2)若AE=3，CD=8,求BE长． 例题讲解 解析(1)∵OB⊥AC ∴,AE=EC ∴AB=BC (2)∵AO=D0，AE=EC ∴OE=CD=4 ∴OA=5 ∴OB=5 ∴BE=OB-OE=1 垂径定理 1. 如图，已知⊙0的弦AB 长为10,半径为7，OC⊥AB，C为垂足.求OC 的长. 巩固练习 解析：连接OA， ∵OC⊥AB 由垂径定理可知AC=BC=5 由勾股定理得 OC==2 垂径定理 2. 如图，已知⊙O 中OC⊥AB，垂足为D, AD长2cm, 长5cm. (1)求弦AB的长； (2)求的长. 巩固练习 解析：（1）∵OC⊥AB 由垂径定理可知AD=BD ∴AB=2AD=4(cm) （2）∵OC⊥AB 由垂径定理可知===2.5(cm) 垂径定理 3. 如图，P为⊙0 内不同于圆心的一点.你能在⊙O上找到两个点A、B,使得P恰为线段AB的中点吗?说说你的理由. 巩固练习 解析：连接OP， 过点P作AB⊥OP交⊙O于点A、B， 点A、B为符合条件的点． ∵OＰ⊥AB 由垂径定理可知ＡＰ＝ＢＰ A B 小结梳理 垂径定理 考试链接 1.（2026·四川南充·中考真题）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，OB＝CD＝２，则OE长为（     ） A．1　 B． C．2　 D． B 垂径定理 考试链接 2.（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，OE⊥AB，OF⊥AC,垂足分别为G，H，AM//OF交于OE点M，AN//OE交OF于点N． (1)求证：∠AOE=∠AOF； (2)求证：四边形AMON是菱形； (3)若AB=16，AO=10，则OM=_______． 提示：（1）证即可证∠AOE=∠AOF; 垂径定理 （2）由AM//OF,AN//OE可证得平行四边形，再由∠AOE=∠AOF证得有一组邻边相等； （３）先由垂径定理求得AG=８，再由勾股定理求得OG=６，设OM=ｘ，则AM=ｘ，由勾股定理列方程求得ｘ= 作业布置 必做题：31.1 第7 题. 垂径定理 作业布置 选做题： 垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，E点在⊙O上，连接DE． (1)若点B是的中点，求证：AB=DE； (2)若CD=4，AB=16，求⊙O的半径． 提示：（1）证 即可证 ∴AB=DE; （2）连接OA， 设OD=OA=ｘ，则OC=ｘ-4，AC=8, 由勾股定理列方程求得ｘ=10 沪教版九年级下册 谢谢观看！ $