31.1.3 垂径定理（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级下册

第三十一章 圆 31.1（3） 垂径定理 课标要点 1. 理解垂径定理分清条件（垂直弦、过圆心）和结论（平分弦、平分弦所对的两条弧）； 2. 能识别垂径定理的基本图形，会构造直角三角形，结合勾股定理进行线段长度、半径、弦心距、弦长的求解计算； 3. 能用垂径定理进行简单的证明。 学习重难点 重点： 垂径定理内容、基本图形；利用垂径定理 + 勾股定理计算弦长、半径、弦心距； 难点： 学会连半径、作弦心距的辅助线思路，转化为直角三角形问题，感受转化思想。 知识点 圆的对称性 1. 中心对称图形 在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合，所以圆具有旋转对称性； 当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 轴对称性 定理：圆是轴对称性图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 知识点 垂径定理（重点） （1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 简称：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。 符号语言： 如图31-1-18，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB垂足为E， ∴AE=BE， 或者，∵OD⊥AB ∴∴AE=BE， （2）垂径定理的逆命题 如图31-1-20，如果圆的一条直径CD平分一条弦AB（弦AB不是直径），那么这条直径CD垂直于弦AB，并且平分这条弦所对弧。 如图31-1-19，如果弦AB也是直径，那么这条直径CD一定能平分弦AB，但CD不一定垂直于弦AB. 3. 垂径三角形 如图，由半径OB（r）、弦心距OD（d）、弦长一半BD（）组成的三角形叫作垂径三角形。r,d,l之间满足的关系是， 4. 圆的平行弦 （1）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图AB、CD是圆的两条平行弦，过点O作MN⊥CD于点E，交AB于点F，则由垂径定理有，，所以-，即 （2）两条平行弦之间的距离（d=||） 随学随练 1. 下列语句中不正确的有（   ） ①长度相等的弧是等弧  ②垂直于弦的直径平分弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆  ⑤半圆是圆中最长的弧 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的相关概念辨析，根据等弧的定义可判断①；根据垂径定理可判断②；根据对称轴的定义可判断③；根据确定圆的条件可判断④；根据优弧比半圆长可判断⑤． 【详解】解：①同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误； ②垂直于弦的直径平分弦，原说法正确； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误； ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，原说法正确； ⑤半圆不是圆中最长的弧，原说法错误； ∴说法不正确的有3个， 故选：C． 2. 如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：是的直径，， 垂直平分， ，， ． ， ． (2)的长为6或8 【分析】（1）由垂径定理可知垂直平分，故，再根据等腰三角形三线合一知，又由对顶角相等即可证明； （2）连接，，根据已知条件可说明，解直角三角形可得，设，则，在中，根据勾股定理列式即可解答． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接，． ， ． 由（1）得， ， ． ， ， ． ， ， ． 由（1）知， 设，则． 在中，由勾股定理可得， 即， 解得或， 的值为或， ，， 或8， 即的长为6或8． 题型 与垂径定理有关性质的辨析 ▌例1下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【分析】错误选项均缺少对应结论成立的限定条件，可据此判断正误． 【详解】解：A、若被平分的弦是直径，平分该弦的直径不一定与它垂直，错误； B、同一平面内，若三点共线，则无法确定一个圆，错误； C、若不在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧不相等，错误； D、三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，故任何三角形有且只有一个外接圆，正确． ▌对点练1.如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直径垂直于弦于点， ，，，故选项A，B，D正确；无法得出，故C错误． ▌对点练2．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． ▌对点练3．已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交    于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】试题分析：根据垂径定理可知PC=CQ，则①正确；由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确；根据平行线的性质可得出∠POQ=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ=∠POQ，OC平分∠AOB，结论④正确；由于∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误．故正确的结论有3个，故选C． 题型与垂径定理有关的作图题 ▌例1 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． 【答案】(1)见解析 (2) (3)圆心，垂直平分线的交点，勾股 【分析】（1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心，以为半径画圆即可得到所求的圆； （2）连接，设半径为，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径； （3）根据（1）（2）的解题思路即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求的圆． （2）解：连接， 设半径为，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为． （3）解：思考1：求残片所在的圆，关键是找出圆心，即两条弦的垂直平分线的交点． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解． ▌对点练1. 如图，P为内一点，你能用尺规作出的一条弦，使P恰为的中点吗？请说明理由． 【答案】解：如图： 理由： ∵， ∴，即P恰为的中点. ▌对点练2.学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 小亮的作法如下： 如图， （1）连接AB； （2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T； （3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，CH，交弧AB于N，P两点； 那么N，M，P三点把弧AB四等分． (1)小明否定了小亮四等分弧AB作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； (2)请你利用直尺和圆规四等分所给的弧AB（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）． 【答案】(1)EF、CH平分的不是弧AM 、弧BM所对的弦；（答案不唯一）， (2)见解析 【分析】（1）直线EF，GH不是平分弦，的弦； （2）作图见解析部分． 【详解】（1）EF、CH平分的不是弧AM 、弧BM所对的弦；（答案不唯一）， （2）如图，点E，F，G是四等分点． 作法步骤：作AB的垂直平分线交于点F，连接AF、BF， 分别作线段AF，线段BF的垂直平分线交于点E，G， 题型 利用垂径定理进行简单的计算 ▌例1 如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】由垂径定理结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 是的直径，且， ， 由垂径定理可得，且， 在中，由勾股定理可得． ▌对点练1.如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】连接，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，最后根据即可求出． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∵是的弦，半径， ∴， ∴， ∴． ▌对点练2.如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为，则的长为______． 【答案】 【分析】由垂径定理求出，再由勾股定理求出，则，然后由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴，， ∵的直径为10， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：. 题型 利用垂径定理借助方程思想求半径 ▌例1如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． 【答案】10 【分析】根据垂径定理求出的长，设半径为，表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． ▌对点练1.如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． 【答案】 5 【分析】连接并延长交于点，连接，设的半径为，在中，由勾股定理列式计算求得半径的长；在和中，利用垂径定理和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，连接， 设的半径为，则 ，， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，即的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得① ， 在中，由勾股定理得② ， 得 ， 解得， ∴， ∴． ▌对点练2.如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 题型 两条弦之间的距离 ▌例1 在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． 【答案】14或2 【分析】分弦与在圆心O的异侧和同侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当弦与在圆心O的异侧时，如图1所示， 过O作， ∵， ∴， 根据题意得：， 此时两平行弦间的距离； 当弦与在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得： ， 综上，两平行弦间的距离等于14或2． ▌对点练1. 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． ▌对点练2. 如图，已知的直径为26，弦，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、、，由垂径定理得到，，，，，由勾股定理得到，，当时，M、O、N三点共线时，当、位于点O的同侧时，线段的长度最短，当、位于点O的两侧时，线段的长度最长，分别求解即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示，    ∵的直径为26， ∴， ∵点M、N分别是弦的中点，，， ∴，，，， ∴，， 当时，M、O、N三点共线， 当、位于点O的同侧时，线段的长度最短， 当、位于点O的两侧时，线段的长度最长， ∴线段的长度的取值范围是， 故选：A． 题型6 垂径定理的实际应用 ▌例1 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． 【答案】(1)如图，圆心即为求作的； (2) 【分析】（1）在圆上任取一点，连接，作的垂直平分线，的垂直平分线，两直线的交点即为圆心； （2）设直线交于，交优弧于，连接，根据勾股定理及垂径定理求得 的长进而可求最大深度． 【详解】（1）略 （2）解：设直线交于，交优弧于，连接， 由作图可知：直径所在直线，的长为， ，， 中，， ， ． 答：瓶内液体最大深度为． ▌对点练1. 如图1所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑．如图2是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； 【答案】(1) (2)圆的半径为 【分析】（1）结合题意，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求． （2）连接，由题意得，于点，则设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由题意得，． 由（1）知，于点， ． 设圆的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 圆的半径为． ▌对点练2. 一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 题型7 利用垂径定理证明 ▌例1 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明：∵交于点， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据垂径定理：垂直于弦的半径平分弦所对的弧．在同圆中，等弧对等弦即可求证； （2）根据直径所对圆周角是直角得，为的中位线得，由勾股定理得出， ． 【详解】（1）略 （2）解：∵点在圆上，是的直径， ∴． ∵交于点， ∴，， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴在中，， ∴， ∴ ， 即． ▌对点练1. 在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． 【答案】(1)与相等， 理由如下： 如图，过点O作于点E， ∵点O为两个同心圆的圆心， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）过点O作于点E，根据垂径定理可得，即可； （2）连接，则，分别在和中，根据勾股定理求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，则，    由（1）得：，， 在中，， 在中， ， ∴． ▌对点练2. 如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，，，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 基础通关 1. 下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点确定一个圆；③正六边形是轴对称图形；④垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是圆的基本概念辨析，掌握圆、确定圆的条件、正多边形的性质、垂径定理的概念是解题的关键． 利用圆的概念、确定圆的条件、正多边形的性质、垂径定理判断即可． 【详解】解：直径是弦，则①正确； 经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，则②错误； 正六边形是轴对称图形，则③正确； 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，则④正确； 故选C． 2. 如图，是圆的直径，为的弦，，垂足为，下面结论正确的有（    ）    ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系及垂径定理对各小项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵是圆的直径，为的弦，，垂足为， ∴垂直平分， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 由已知条件得不出，故④错误； ∴正确的结论有个． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，解答此题的关键是熟知以上知识． 3．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为（　　） A．2 B．5 C．2或8 D．4 【答案】C 【详解】解：分为两种情况：①如图1，当圆心在三角形的内部时，连接AO并延长交BC于D点，连接OB，∵AB=AC，∴弧AB=弧AC，根据垂径定理得AD⊥BC，则BD=4，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，∵OB=5，BD=4，∴OD=3，∴高AD=5+3=8； ②当圆心在三角形的外部时，如图2， 三角形底边BC上的高AD=5﹣3=2． 所以BC边上的高是8或2，故选C． 点睛：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论． 4．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 5．桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出米，设桥洞的半径为r，则：米，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴（米）， 设桥洞的半径为r，则：米， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即桥洞的半径为5米． 6．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 【答案】3 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____． 【答案】 【分析】根据题意在中求出，利用垂径定理得出结果． 【详解】由题意，在中，，， 由垂径定理知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 8．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ . 【答案】 【详解】解：连接BE ∵⊙的半径,AB=2 ∴ 且 , 若设⊙的半径为，则. 在△ACO中,根据勾股定理有, 即， 解得：. ∴. ∵是⊙的直径， ∴ . 故答案为： 9. 在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 【答案】(1)4 (2) 过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵， ∴， 连接、、、， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，，过点作，则为，的中点，得出，，根据勾股定理即可求出的长； （2）过作，作，垂足分别为、，得出，，，，连接、、、，通过证明和，即可得证． 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 10．如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查圆和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理和解直角三角形的方法．过点O作于点F，于点G，连接、、，根据垂径定理得到的长，用勾股定理求出的长，得到是等腰直角三角形，，再利用含角的直角三角形性质求出的长，在中用勾股定理求出的长，即可得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点F，于点G，连接、、， 则，， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 素养提升 1．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为点，，，的延长线交于点，连接．则下列说法：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题．连接，，由可得，再证明和即可判断相关结论. 【详解】解：连接，， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴，故③正确. 综上，四个选项都正确， 故选：D． 2．如图，在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中①AP=PB；②PO=PD；③∠BOD=2∠ACD；④AP2=PC•PD，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据垂径定理即可判断;②无法判断; ③根据垂径定理以及三角形外角的性质即可判断；④根据相似三角形的性质即可判断. 【详解】①项，因为弦CD⊥AB于点E，根据垂径定理，，故①项正确； ②项，不能判断和的关系，故②项错误； ③项，根据垂径定理，有， 则 故③项正确； ④项，连接AD, ； 故④项正确. 综上所述，①③④正确. 故选:C. 3. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴， ∵点P的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 4．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 【答案】 【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦， ∴的直径为，半径为，最短弦长为， ∵根据垂径定理，最短弦被点平分， ∴最短弦一半的长度为， ∴由勾股定理得． 5．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________． 【答案】12或4 【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可. 【详解】解：∵OM⊥AB， ∴AM=BM， 若∠OAM=30°， 则tan∠OAM=， ∴AM=6， ∴AB=2AM=12； 若∠AOM=30°， 则tan∠AOM=， ∴AM=2， ∴AB=2AM=4. 故答案为：12或4. 【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论. 6．如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 7.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 8．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 10. 如图是一张半圆形纸片，是其直径，是半圆上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径AB于点．若点恰好落在点处． (1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点（保留作图痕迹）； (2)分别连接、、、，与、分别交于点F、G，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上取一点，使，根据菱形的性质即可求解． （2）利用轴对称性得出，，结合半径，得出，即可得四边形是菱形；证明，求出，同理得出，，则可求，即可求解． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，以为半径画弧交于点，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∵折叠，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点即为折叠前点的对应点； （2）连接 是点关于直线AC的对称点， ∴四边形是菱形 ， ， ， 同理， ． 迁移创新 1．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm． （1）求圆心O到弦AB的距离； （2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？ 【答案】（1）cm；（2）以O为圆心，以cm为半径的圆周． 【分析】（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可； （2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周． 【详解】解:（1）如图，连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离， ∵OC⊥AB，OC过圆心O， ∴AC=BC=AB=8cm， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：（cm）， 答：圆心O到弦AB的距离是cm． （2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是cm， ∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以cm为半径的圆周． 2. 在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（   ） A．若，则长的取值范围是 B．若，则的长可以是 C．若，则长的最小值是 D．若，则长的最大值是 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、三角形的三边关系和勾股定理的应用，正确的画出图象是解决本题的关键． 根据垂径定理可得，且，设，则，当时，M轨迹为圆，求出范围；当时，可得点M在以P为圆心、2为半径的圆上，且M在圆内，结合三角形三边关系可得，再根据和求解即可． 【详解】解：∵半径为2，点M为弦中点， ∴，且， 设，则， 若，则，， ∵， ∴为P到M的距离，如下图， ∴，， ∴不成立，A选项错误，不符合题意； ∵， ∴不可以为，B选项错误，不符合题意； 若，， 由题意得，点M在以P为圆心、2为半径的圆上（），且M在圆内，如图， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 得，； 由， ∵， ∴， ∴，最大值为， ∴C选项错误，不符合题意； ∴D选项正确，符合题意． 故选D． 3.如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，连AD交⊙O于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OA、OF． ①当∠ABC＝　 　°时，点F为 的中点； ②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，则⊙O的半径是　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）①72；②3． 【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD＝∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD＝∠CDB，根据直径和等式的性质得 ，则AB＝BC，即可得出结论； （2）①由题意得出∠AOF＝∠EOF＝m，证出∠ABE＝∠ADE＝m，则∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； ②先设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，根据∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值，证△AOF是等边三角形，得出OF＝AF＝3即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵CD∥AB， ∴∠ABD＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴AB＝BC＝CD， ∵CD∥AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：如图所示： ①F为的中点，则∠AOF＝∠EOF， 设∠AOF＝∠EOF＝m， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADE， ∵∠AOD＝2∠ABE， ∴∠ABE＝∠ADE＝m， ∴∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m， ∵∠AOF+∠OAF+∠OFA＝180°， ∴2m+2m+m＝180°， ∴m＝36°， ∴∠ABE＝72°， 即∠ABC＝72°时，点F为的中点， 故答案为：72； ②∵∠AOF＝3∠FOE， 设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x， ∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x， ∵OA＝OF， ∴∠OAF＝∠OFA＝ (180°﹣3x)， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝2x， ∴∠ABC＝4x， ∵BC∥AD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∴4x+2x+ (180°﹣3x)＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠AOF＝3x＝60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴OF＝AF＝3， 即⊙O的半径是3； 故答案为：3．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 圆 31.1（3） 垂径定理 课标要点 1. 理解垂径定理分清条件（垂直弦、过圆心）和结论（平分弦、平分弦所对的两条弧）； 2. 能识别垂径定理的基本图形，会构造直角三角形，结合勾股定理进行线段长度、半径、弦心距、弦长的求解计算； 3. 能用垂径定理进行简单的证明。 学习重难点 重点： 垂径定理内容、基本图形；利用垂径定理 + 勾股定理计算弦长、半径、弦心距； 难点： 学会连半径、作弦心距的辅助线思路，转化为直角三角形问题，感受转化思想。 知识点 圆的对称性 1. 中心对称图形 在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合，所以圆具有旋转对称性； 当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 轴对称性 定理：圆是轴对称性图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 知识点 垂径定理（重点） （1）定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。 简称：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。 符号语言： 如图31-1-18，∵CD是直径，AB是弦，CD⊥AB垂足为E， ∴AE=BE， 或者，∵OD⊥AB ∴∴AE=BE， （2）垂径定理的逆命题 如图31-1-20，如果圆的一条直径CD平分一条弦AB（弦AB不是直径），那么这条直径CD垂直于弦AB，并且平分这条弦所对弧。 如图31-1-19，如果弦AB也是直径，那么这条直径CD一定能平分弦AB，但CD不一定垂直于弦AB. 3. 垂径三角形 如图，由半径OB（r）、弦心距OD（d）、弦长一半BD（）组成的三角形叫作垂径三角形。r,d,l之间满足的关系是， 4. 圆的平行弦 （1）圆的两条平行弦所夹的弧相等。 如图AB、CD是圆的两条平行弦，过点O作MN⊥CD于点E，交AB于点F，则由垂径定理有，，所以-，即 （2）两条平行弦之间的距离（d=||） 随学随练 1. 下列语句中不正确的有（   ） ①长度相等的弧是等弧  ②垂直于弦的直径平分弦  ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆  ⑤半圆是圆中最长的弧 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2. 如图，的直径，弦，E是劣弧上一点，连接交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型 与垂径定理有关性质的辨析 ▌例1下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．同一平面内三点确定一个圆 C．相等的圆周角所对的弧相等 D．任何三角形有且只有一个外接圆 ▌对点练1.如图，是的直径，弦于点，连接、，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练2．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 ▌对点练3．已知∠AOB，作图． 步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q； 步骤2：过点M作PQ的垂线交    于点C； 步骤3：画射线OC． 则下列判断：①=；②MC∥OA；③OP=PQ；④OC平分∠AOB，其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型与垂径定理有关的作图题 ▌例1 如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交于点C，交弦于点D．已知，． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． (3)思考1：求残片所在的圆，关键是找出______，即两条弦的______． 思考2：求半径的长，可以作辅助线构造直角三角形，利用______定理求解． ▌对点练1. 如图，P为内一点，你能用尺规作出的一条弦，使P恰为的中点吗？请说明理由． ▌对点练2.学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 小亮的作法如下： 如图， （1）连接AB； （2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T； （3）分别作线段AT，线段BT的垂直平分线EF，CH，交弧AB于N，P两点； 那么N，M，P三点把弧AB四等分． (1)小明否定了小亮四等分弧AB作法的正确性，请你帮小明简要说明判断小亮作法错误的理由； (2)请你利用直尺和圆规四等分所给的弧AB（仿照小亮，写出简要的作法步骤，保留作图痕迹）． 题型 利用垂径定理进行简单的计算 ▌例1 如图，的直径垂直于弦，垂足为点M，，，则的长为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 ▌对点练1.如图，是的弦，半径于点．若，，则的长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 ▌对点练2.如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为，则的长为______． 题型 利用垂径定理借助方程思想求半径 ▌例1如图，是的半径，是的弦，且于点．若，则半径的长是__________． ▌对点练1.如图，为四边形的外接圆，，若D是的中点，且，，则的半径为______， ______． ▌对点练2.如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 题型 两条弦之间的距离 ▌例1 在中，圆心O到两平行弦的距离分别为6、8，则两平行弦间的距离等于________． ▌对点练1. 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（     ） A．8 B．9 C．10 D．12 ▌对点练2. 如图，已知的直径为26，弦，弦，若点分别是弦的中点，则线段的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型6 垂径定理的实际应用 ▌例1 化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶（图1），它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图2所示． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中的圆的圆心： (2)已知图2中圆的半径为，液面宽的长为，求瓶内液体最大深度． ▌对点练1. 如图1所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑．如图2是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，． (1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求圆的半径； ▌对点练2. 一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 题型7 利用垂径定理证明 ▌例1 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． (1)求证：； (2)若，，求． ▌对点练1. 在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．    (1)与相等吗？为什么？ (2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长． ▌对点练2. 如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，求证：四边形是正方形． 基础通关 1. 下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点确定一个圆；③正六边形是轴对称图形；④垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如图，是圆的直径，为的弦，，垂足为，下面结论正确的有（    ）    ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为（　　） A．2 B．5 C．2或8 D．4 4．如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 5．桥洞是拱桥桥梁下方的孔洞结构，是桥梁工程的重要组成部分，如图所示，桥洞可看作是一段圆弧，桥洞下方水面为6米，拱顶到水面的距离为9米，则桥洞的半径为（   ） A．米 B．米 C．米 D．5米 6．如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1）、B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴于点C、D，则CD的长是____． 8．如图，⊙的半径于点，连接并延长交⊙于点，连接.若,则的长为 ___ . 9. 在同心圆中，大圆的弦交小圆于C，D两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 ___________． (2)如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若，求证． 10．如图，在半径为的中，弦与相交于点，求的长． 素养提升 1．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为点，，，的延长线交于点，连接．则下列说法：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中①AP=PB；②PO=PD；③∠BOD=2∠ACD；④AP2=PC•PD，正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______． 5．是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________． 6．如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 7.如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为_____． 8．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 9. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． (1)求证：为中点； (2)求的长． 10. 如图是一张半圆形纸片，是其直径，是半圆上一点，将纸片沿直线翻折后，交直径AB于点．若点恰好落在点处． (1)尺规作图：在图中作出点折叠前的对应点（保留作图痕迹）； (2)分别连接、、、，与、分别交于点F、G，求的值． 迁移创新 1．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm． （1）求圆心O到弦AB的距离； （2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？ 2. 在半径为2的中，点M为弦的中点，点P是平面内一点，且．下列说法正确的是（   ） A．若，则长的取值范围是 B．若，则的长可以是 C．若，则长的最小值是 D．若，则长的最大值是 3.如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，，过点C作CD∥AB交BE的延长线于D，连AD交⊙O于点F． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）连接OA、OF． ①当∠ABC＝　 　°时，点F为 的中点； ②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，则⊙O的半径是　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $