31.1.2 弧、弦、圆心角（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级下册

第三十一章 圆 31.1（2） 弧、弦、圆心角 课标要点 1. 了解弧、优弧、劣弧、等弧、弦、圆心角等概念； 2. 理解圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 学习重难点 重点： 1. 弧、弦、圆心角等概念； 2. 圆心角、弧、弦之间的关系； 难点： 圆心角、弧、弦之间的关系的综合应用。 知识点 圆的有关概念 1. 弦 (1)以圆上任意两点为端点的线段叫作弦； (2)经过圆心的弦称为直径,直径是圆内最长的弦； (3)最短的弦 过圆内一点最短的弦是与过该点的直径相垂直的弦。如图（1）中，过点P最长的弦是直径AB，最短的弦是EF。 2. 弧 (1)圆上任意两点间的部分称为圆弧，简称弧。如图（2），是圆上A,B两点之间的部分(图中绿色的部分)，不是两点之间的线段。 (2)直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧称为半圆。半圆属于弧。 (3)小于半圆的弧称为劣弧，通常用两个端点表示如图（2）中的、；大于半圆的弧称为优弧，通常用弧上的三个点表示，如图（2）中的； 3. 等圆与等弧 (1)能够重合的两个圆叫作等圆，半径相等的圆是等圆。 (2)能够重合的两条弧叫作等弧，等弧的半径相等，弧长也相等。 4. 圆心角 顶点在圆心的角称为圆心角，如图（2）中的∠AOB是所对的圆心角，圆心角∠BOC是所对的圆心角。 弧的度数即为它所对圆心角的度数，1°的圆心角所对的弧称为1°的弧。 知识点 弧、弦、圆心角的关系（重点） 1. 圆的对称性 既是轴对称图形还是旋转对称图形。在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合。当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 弧、弦、圆心角关系定理 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 这个定理用符号语言表示为： ∵∠AOB=∠A´OB´， ∴=，AB=A´B´ 推论：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中,相等的弦所对的劣弧相等，所对的优弧也相等。 随学随练 1. 如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 2. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 题型 圆的有关概念辨析 ▌例1下列说法中，正确的是_________．（请填写序号） ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧； ⑤直径是圆中最长的弦；⑥半径相等的两个圆是同圆；⑦长度相等的弧是等弧． 【答案】②⑤ 【分析】利用圆的相关概念逐一判断每个说法的正误即可得到结果； 【详解】解：①连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有过圆心的弦才是直径，因此不是所有弦都是直径，故①错误； ②弧是圆上任意两点间的部分，半圆是弧，故②正确； ③直径是过圆心且两个端点都在圆上的线段，仅过圆心的线段，端点不一定在圆上，故③错误； ④优弧的长度大于半圆的长度，因此半圆不是最长的弧，故④错误； ⑤直径过圆心，圆中任意其他弦的长度都小于直径，因此直径是圆中最长的弦，故⑤正确； ⑥半径相等的两个圆是等圆，圆心不同时是不同的圆，不是同圆，故⑥错误； ⑦等弧是能够完全重合的弧，仅长度相等的弧不一定能重合，因此不一定是等弧，故⑦错误； 综上，正确的说法是②⑤． ▌对点练1.下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 【答案】B 【分析】根据圆相关定义逐项判断即可． 【详解】解：A．过圆心且两端都在圆上的线段是直径，故原说法不正确，不符合题意； B．圆的对称轴为任意过圆心的直线，对称中心为圆心，既是轴对称图形又是中心对称图形，故原说法正确，符合题意； C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法不正确，不符合题意； D．半圆是弧，但弧包含优弧、劣弧、半圆，弧不一定是半圆，故原说法不正确，不符合题意； ▌对点练2．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 【答案】D 【分析】以等弧的定义为突破口，判断各选项正误． 【详解】解：A、B、C的说法均符合圆的相关概念，正确，不符合题意， ∵ 能完全重合的弧是等弧，仅长度相等的两段弧不一定能完全重合， ∴ D中说法错误，符合题意． 题型弧与弦大小的比较 ▌例1 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是(   ) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 【答案】C 【详解】试题分析：首先取的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中， =2，可证得==，即可得AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案． 解：取的中点E，连接AE，BE， ∵在⊙O中，=2， ∴==， ∴AE=BE=CD， ∵在△ABE中，AE+BE＞AB， ∴2CD＞AB． 故选C． 【变式1】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． ▌对点练2.如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴，， ∴，故D选项的结论错误； ∵， ∴，故选项的结论正确； 如图，连接 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故选项的结论正确； 作半径，如图， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项的结论正确； 故选：D． 题型 圆心角及圆心角的计算 ▌例1 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． ▌对点练1.如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ▌对点练2. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 题型 利用弧、弦、圆心角的关系转化 ▌例1 如图，点，，，在上，．求证： 证明：∵点，，，在上，， ∴， ∴， ∴. ▌对点练1.如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，弧、弦、圆心角的关系，灵活运用知识点是解决本题的关键． 连接，根据等边对等角和圆的性质可得，再根据平行线的性质可得，，则可得，即可得到解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． ▌对点练2. 如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ， ∵D、E分别是的中点，是的半径， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ，即 题型 添加辅助线——作弦心距 ▌例1 如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴，． ▌对点练1. 已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． 【答案】证明：如图，连接，作于点F，于点E，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A、D都在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴圆心O到弦的距离相等． ▌对点练2. 如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】 过点O作OE⊥BD，OF⊥AC，垂直分别为E，F 由练习1的结论可知OE=OF 在∆OEG和∆OFG中 OE=OF,OG=OG ∴∆OEG≌∆OFG． ． 平分． 基础通关 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 【答案】D 【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案． 【详解】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意； B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意； C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意； D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意． 故选：D． 2. 如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 2.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【答案】C 【详解】如图，在弧EF上取点M，使，∴AB=MF，∵，∴ ，∴CD=EM，在△MEF中，MF+ME>EF，∴AB+CD>EF，故选C. 3.结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） P ∵∠APD=∠BPC ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵∠APD和∠BPC不是圆心角，不能判定∴（3）不正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：A 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 4.如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【详解】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 5．如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：∵ ， 又， ， ， 故答案为：． 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 7. 如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 【答案】与相等， 理由如下： ∵， ∴， ∴ ∴. 9. 如图，点，，，在上，．求证：． 【答案】证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 10. 如图，为的弦，半径分别交于点，且．求证：． 【答案】证明：如解图，连接， ， ． ， ． 在和中， ， ． 素养提升 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】（1）直径的两个端点在圆上，符合弦的概念．（2）弦是连接圆上两点间的线段，只有过圆心的弦才是直径．（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆．比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧．（4）由等圆的定义判定，（5）等弧是能完全重合的两条弧，长度相等的两条弧不一定能重合． 【详解】解：（1）根据弦的概念，直径是一条线段，且两个端点在圆上，满足弦是连接圆上两点的线段这一概念，所以（1）正确； （2）弦是连接圆上两点的线段，只有过圆心的弦才是直径，其它的弦不是直径，所以（2）错误； （3）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆．所以（3）正确； （4）由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，所以（4）正确； （5）等弧是能完全重合的弧，只有长度相等的两条弧不一定能重合．所以（5）错误． 故选：B． 2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可． 【详解】①若，则，正确； ②若，则，故不正确； ③由不能得到，故不正确； ④若，则，故正确； 故选B． 3．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求弧长，解直角三角形．连接，，过点O作于点E，根据题意可得，进而得，从而，进而根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，，过点O作于点E， 由题意可得：， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A 4．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A．4 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】如图，连接OD，BD．首先证明O，D，C共线，进而利用三角函数解答即可． 【详解】如图，连接OD，BD． 由题意：OA＝OD＝AD， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵∠ADC＝∠AOB＝120°， ∴∠ADO+∠ADC＝180°， ∴O，D，C共线， ∵∠AOD＝∠DOB＝60°，OD＝OB， ∴△OBD是等边三角形， ∴∠BDO＝60°， ∵DC＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC＝30°， ∴∠OBC＝90°， ∴BC＝OB＝2， 故选：C． 5. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_____． 【答案】120°． 【分析】先求出这条弦所对圆心角的度数，然后分情况讨论这条弦所对圆周角的度数． 【详解】解：如图，连接OA、OB． 弦AB将⊙O分为1：2两部分， 则∠AOB＝×360°＝120°； 6．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm． 【答案】5 【详解】解：根据题意可得弧MN的长等于圆周长， ∴∠MON=120°， 作OP⊥MN于点M， 由等腰三角形的性质可得∠MOP=60°， 又∵OM=5，即可求得PM=, MN=. 7．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA=PC． 【答案】 （1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F， ∵AB=CD，OA=OB=OC=OD ∴∆AOB≌∆COD ∴OE=OF， ∴PO平分∠BPD； （2）在Rt△POE与Rt△POF中， ∵OP=OP，OE=OF， ∴Rt△POE≌Rt△POF， ∴PE=PF， ∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足， ∴AE=AB， CF=CD， ∴AE=CF， ∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC． 8. 如图，在中，，截三边所得的弦长，求∠AOC度数 【答案】125 【详解】解：过点O作OM⊥DE于M，OK⊥FG于K，OP⊥HI于P，如图， ∵ ∴OM=OK=OP， ∴OA平分∠BAC，OC平分∠ACB， ∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACB）=（180°∠B）=90°， ∴∠AOC=180°（∠OAC+∠OCA） =180° 迁移创新 1．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________． 【答案】/50度 【分析】连接，先根据折叠的性质、等边三角形的判定与性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，则， 由折叠的性质得：， ， 是等边三角形， ， ， ， 则弧的度数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、圆弧的度数，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 2. 如图，中，为直径，弦交于P，且，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】 【分析】连接OC、OD，根据OC=OD，推出∠D=∠C=∠COP，根据外角的性质证得∠AOD=3∠COP，即可得到结论． 【详解】解：连接OC、OD， ∵OC=OD， ∴∠C=∠D， ∵， ∴∠C=∠COP， ∴∠D=∠C=∠COP， ∵∠AOD=∠DPO+∠D=∠C+∠COP+∠D=3∠COP， ∴． 【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，等边对等角的性质，三角形外角性质，以及弧、弦、圆心角定理，熟记各定理并应用解决问题是解题的关键． 3. 如图（1），已知点是的平分线上的点，以点为圆心的圆与角两边分别交于和四点．        （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上，如图（2），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由； （3）若角的顶点在圆内，如图（3），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）点在圆上，（1）中的结论成立；（3）点在圆内，（1）中的结论成立．理由见解析． 【分析】（1）首先过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD； （2）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD； （3）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，由OP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可判定OG=OH，又由垂径定理，即可得AB=CD． 【详解】 （1）过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，连接OA,OB,OC,OD ∵OP平分∠EPF， ∴OG=OH， ∵OA=OB=OC=OD ∆OAG≌∆OBG≌∆OCG≌∆ODG ∴AG=BG=CG=DG ∴AB=CD．    （2）成立． 理由：过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H， ∵OP平分∠EPF， ∴OG=OH， 由（1）的结论可知AB=CD．    （3）成立． 理由：过点O作OG⊥AB于点G，作OH⊥CD于点H，    ∵OP平分∠EPF， ∴OG=OH， 由（1）的结论可知AB=CD． 【点睛】本题考查的是垂径定理，先根据角平分线的性质定理，得到两条弦心距相等，然后再说明两条弦相等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 圆 31.1（2） 弧、弦、圆心角 课标要点 1. 了解弧、优弧、劣弧、等弧、弦、圆心角等概念； 2. 理解圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 学习重难点 重点： 1. 弧、弦、圆心角等概念； 2. 圆心角、弧、弦之间的关系； 难点： 圆心角、弧、弦之间的关系的综合应用。 知识点 圆的有关概念 1. 弦 (1)以圆上任意两点为端点的线段叫作弦； (2)经过圆心的弦称为直径,直径是圆内最长的弦； (3)最短的弦 过圆内一点最短的弦是与过该点的直径相垂直的弦。如图（1）中，过点P最长的弦是直径AB，最短的弦是EF。 2. 弧 (1)圆上任意两点间的部分称为圆弧，简称弧。如图（2），是圆上A,B两点之间的部分(图中绿色的部分)，不是两点之间的线段。 (2)直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧称为半圆。半圆属于弧。 (3)小于半圆的弧称为劣弧，通常用两个端点表示如图（2）中的、；大于半圆的弧称为优弧，通常用弧上的三个点表示，如图（2）中的； 3. 等圆与等弧 (1)能够重合的两个圆叫作等圆，半径相等的圆是等圆。 (2)能够重合的两条弧叫作等弧，等弧的半径相等，弧长也相等。 4. 圆心角 顶点在圆心的角称为圆心角，如图（2）中的∠AOB是所对的圆心角，圆心角∠BOC是所对的圆心角。 弧的度数即为它所对圆心角的度数，1°的圆心角所对的弧称为1°的弧。 知识点 弧、弦、圆心角的关系（重点） 1. 圆的对称性 既是轴对称图形还是旋转对称图形。在平面上，一个圆绕着它的圆心旋转任意角度后与它自身重合。当旋转角度等于180°时，我们得到以下定理： 定理 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 2. 弧、弦、圆心角关系定理 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 这个定理用符号语言表示为： ∵∠AOB=∠A´OB´， ∴=，AB=A´B´ 推论：在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中,相等的弦所对的劣弧相等，所对的优弧也相等。 随学随练 1. 如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 2. 在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 题型 圆的有关概念辨析 ▌例1下列说法中，正确的是_________．（请填写序号） ①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧； ⑤直径是圆中最长的弦；⑥半径相等的两个圆是同圆；⑦长度相等的弧是等弧． ▌对点练1.下列说法正确的是（     ） A．过圆心的线段是直径 B．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．半圆是弧，弧也是半圆 ▌对点练2．下列说法错误的是（     ） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．三角形的外接圆有且只有一个 D．长度相等的两段弧是等弧 题型弧与弦大小的比较 ▌例1 如图，在⊙O中，，则下列结论正确的是(   ) A．AB>2CD B．AB＝2CD C．AB<2CD D．以上都不正确 【变式1】如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 ▌对点练2.如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（    ） A． B．若，则 C． D． 题型 圆心角及圆心角的计算 ▌例1 如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． ▌对点练1.如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 题型 利用弧、弦、圆心角的关系转化 ▌例1 如图，点，，，在上，．求证： ▌对点练1.如图，、是的直径，，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系无法确定 ▌对点练2. 如图，是的半径，且，D、E分别是的中点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型 添加辅助线——作弦心距 ▌例1 如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． ▌对点练1. 已知：如图，在中，，弦与弦相交于点P．求证：圆心O到弦，的距离相等． ▌对点练2. 如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 基础通关 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 2. 如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD=EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 3.结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） P ∵∠APD=∠BPC ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知、是的直径，，，则 6. 如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 7. 如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 8. 如图，都是的弦，，则与相等吗？为什么？ 9. 如图，点，，，在上，．求证：． 10. 如图，为的弦，半径分别交于点，且．求证：． 素养提升 1．下列说法：（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个圆是等圆；（5）长度相等的两条弧是等弧．其中错误的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转一个角度，使点O的对应点D落在弧上．点B的对应点为C．连接BC．则BC的长度是（　　） A．4 B． C．2 D．3 5. 一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆心角的度数为_____． 6．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是____cm． 7．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD． 求证：（1）PO平分∠BPD； （2）PA=PC． 8. 如图，在中，，截三边所得的弦长，求∠AOC度数 迁移创新 1．如图，在扇形OAB中，，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C，则弧AD的度数为____________． 2. 如图，中，为直径，弦交于P，且，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 3. 如图（1），已知点是的平分线上的点，以点为圆心的圆与角两边分别交于和四点．        （1）求证：； （2）若角的顶点在圆上，如图（2），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由； （3）若角的顶点在圆内，如图（3），其他条件不变，（1）中的结论成立吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $