31.1.1 点和圆的位置关系及圆的确定（讲义）数学新教材沪教版五四制九年级下册

第三十一章 圆 31.1（1） 点和圆的位置关系及圆的确定 课标要点 1.理解圆的静态、动态定义； 2.掌握点与圆的三种位置关系； 3.掌握定理：不在同一直线上的三点确定一个圆；理解三角形外接圆、外心、内接三角形概念，会画三角形外接圆. 学习重难点 重点： 1. 点和圆的位置关系判定（d 与 r）； 2.不在同一直线上三点确定一个圆，三角形外心的概念； 难点： 1. 钝角三角形外心在外部； 2.同圆或者等圆中圆的半径都相等，学生容易漏掉这个基本条件。 知识点 圆的概念 1. 圆的静态定义 平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，这个定点叫作圆心，定长称为半径. 以点O为圆心的圆简称“圆0”,记作“⊙0”.P是⊙0上一点，则线段OP的长是半径. 2. 圆的动态定义 圆也可以看作一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫作圆. 3. 圆内、圆外 在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分称为圆的内部(简称“圆内”)； 不含圆心的部分称为圆的外部(简称“圆外”). 知识点 点和圆的位置关系（重点） 一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与该圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 记⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d. 如果点P在圆内，那么0≤d<r；如果0≤d<r,那么点P在圆内. 如果点P在圆上，那么d=r；如果d=r,那么点P在圆上. 如果点P在圆外，那么d>r；如果d>r,那么点P在圆外. 知识点 圆的确定（重点） 1. 过一点的圆 经过一点能画无数个圆. 2. 过两点的圆 经过两点能画无数个圆，圆心的轨迹是以这两点为端点的线段垂直平分线。 3. 过三点的圆 定理：经过不在同一直线上的三个点，可以作一个并且只能作一个圆，即不在同一直线上的三点确定一个圆。 4. 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，相应地，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，即三角形内接于它的外接圆。 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。 5. 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形的内部； 钝角三角形的外心在三角形的外部； 直角三角形的外心是斜边的中点。 随学随练 1. 如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 2. 如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 3. 已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于______． 题型 圆的概念辨析 ▌例1到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． ▌对点练1. 圆的位置由_____决定，圆的大小由_____决定．画圆时，圆规两脚间的距离是厘米，画出的圆的直径是_____厘米． ▌对点练2．《墨经》中记载“圆，一中同长也．”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( ) ▌对点练3．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形． 题型点和圆的位置关系的判断 ▌例1 已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 ▌对点练2.如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 题型 由点和圆的位置关系求半径范围 ▌例1 已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． ▌对点练1.如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． ▌对点练2.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练3. 在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 题型 根据点在圆上的性质解题 ▌例1 如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB ▌对点练1. 如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b________c（填＜、=、＞）   ▌对点练2. 如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． (1)求的长； (2)求的半径． 题型 圆的确定 ▌例1 下列说法错误的是（     ） A．平面内不共线的三个点可以作一个圆 B．已知平面内两点可以作无数个圆 C．已知圆心和半径可以作一个圆 D．平面内任意三点可以作一个圆 ▌对点练1. 已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ▌对点练2. 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 题型6 三角形的外接圆 ▌例1 点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 ▌对点练1. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 ▌对点练2. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 题型6 点到圆上一点的最值问题 ▌例1 若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． ▌例2如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为________．    ▌对点练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． ▌对点练2. 如图，在正方形中，边长为4，记对角线、交O点，将一个直角三角板的直角顶点放在O点，过D点作于点H，_______，连接，现将直角三角板绕点O旋转一周，在旋转的过程中，的最小值是_______． 基础通关 1．早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是___________． 2．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 3．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） ５.　已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． ６．在直角坐标平面内，的半径为，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系． ７．如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． 求证：； ８.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，求该半圆的半径长。 ９．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 10. 命题证明：有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆 已知：在与中，， 求证：与有相同的外接圆．请选择图1或图2进行证明． 命题运用：求证：锐角三角形三边上的高交于同一点． 已知：如图3，是锐角三角形，求证：的三条高交于同一点． 拓展应用：如图4，已知是的直径，P是内的一点， 仅用无刻度的直尺过点P作的垂线，垂足为D，交上方的弧为C； 素养提升 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 3. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为______． 6．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 7．如图，已知． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点． 8. 如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN=2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． 迁移创新 1．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F． （1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）； （2）在（1）的条件下求BG的长； （3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外． 2. 【问题提出】 （1）如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O， 【直接应用】 （2）如图，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． 【拓展应用】 （3）如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一章 圆 31.1（1） 点和圆的位置关系及圆的确定 课标要点 1.理解圆的静态、动态定义； 2.掌握点与圆的三种位置关系； 3.掌握定理：不在同一直线上的三点确定一个圆；理解三角形外接圆、外心、内接三角形概念，会画三角形外接圆. 学习重难点 重点： 1. 点和圆的位置关系判定（d 与 r）； 2.不在同一直线上三点确定一个圆，三角形外心的概念； 难点： 1. 钝角三角形外心在外部； 2.同圆或者等圆中圆的半径都相等，学生容易漏掉这个基本条件。 知识点 圆的概念 1. 圆的静态定义 平面上到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆，这个定点叫作圆心，定长称为半径. 以点O为圆心的圆简称“圆0”,记作“⊙0”.P是⊙0上一点，则线段OP的长是半径. 2. 圆的动态定义 圆也可以看作一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的图形叫作圆. 3. 圆内、圆外 在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分称为圆的内部(简称“圆内”)； 不含圆心的部分称为圆的外部(简称“圆外”). 知识点 点和圆的位置关系（重点） 一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与该圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 记⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d. 如果点P在圆内，那么0≤d<r；如果0≤d<r,那么点P在圆内. 如果点P在圆上，那么d=r；如果d=r,那么点P在圆上. 如果点P在圆外，那么d>r；如果d>r,那么点P在圆外. 知识点 圆的确定（重点） 1. 过一点的圆 经过一点能画无数个圆. 2. 过两点的圆 经过两点能画无数个圆，圆心的轨迹是以这两点为端点的线段垂直平分线。 3. 过三点的圆 定理：经过不在同一直线上的三个点，可以作一个并且只能作一个圆，即不在同一直线上的三点确定一个圆。 4. 三角形外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的外心，相应地，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，即三角形内接于它的外接圆。 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。 5. 三角形外心的位置 锐角三角形的外心在三角形的内部； 钝角三角形的外心在三角形的外部； 直角三角形的外心是斜边的中点。 随学随练 1. 如图，的半径，圆心O到直线l的距离．在直线l上有P，Q，R三点，并且，，．那么，P，Q，R三点与圆分别有怎样的位置关系？ 【答案】点P在圆上；点Q在圆外；点R在圆内； 【分析】连接，利用勾股定理计算的长度，即可作出判断． 【详解】解：连接，如图， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， 在中，，则点P在圆上； 在中，，则点Q在圆外； 在中，，则点R在圆内； 2. 如图，已知点、是平面内两点，线段长度一定，在平面内作使得它过点、且半程长为（尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的作图说明）． 【答案】 如下图：即为所求： 【分析】本题主要考查了作图，画圆，作线段垂直平分线，连接，作的垂直平分线，以点A为圆心线段a为半径画弧交于点O，再以点O为圆心线段为半径作圆即为所求． 【详解】略 3. 已知直角的斜边长为6，则这个三角形的外接圆的半径等于______． 【答案】3 【分析】根据直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，计算圆的半径为3． 【详解】∵直角的斜边长为6， ∴这个三角形的外接圆的半径等于3， 故答案为：3． 题型 圆的概念辨析 ▌例1到已知点的距离等于的所有点组成的图形是以__________为圆心，__________长为半径的圆． 【答案】 点 【分析】圆的定义是在同一平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形，所以到定点O的距离等于的所有点组成的图形是圆． 【详解】解：根据圆的定义可知，到定点O的距离等于的所有点组成的图形是以点O为圆心，为半径的圆． 故答案为：点O，． 【点睛】本题考查了圆的定义，根据定义可知，初中阶段所研究的圆，指的是圆周，而不是圆面． ▌对点练1. 圆的位置由_____决定，圆的大小由_____决定．画圆时，圆规两脚间的距离是厘米，画出的圆的直径是_____厘米． 【答案】 圆心 半径 【分析】根据圆的基本性质确定前两个空，再利用同圆中直径与半径的关系计算第三空． 【详解】解：根据圆的基本性质可知，圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径决定， ∵画圆时圆规两脚间的距离是所画圆的半径，可得该圆半径为厘米. 又∵同圆中直径等于半径的倍 ∴该圆的直径为厘米． ▌对点练2．《墨经》中记载“圆，一中同长也．”这句话中“一中”是指( )，“同长”是指( ) 【答案】 圆心 半径长度相等 【分析】本题考查圆的概念及特点，熟练掌握圆的概念及特点是解题的关键．根据圆的特征：连接圆心到圆上任意一点的距离，叫做半径，在同圆中，所有的半径都相等；“圆，一中同长也”，即圆有一个圆心，圆心到圆上各点的距离（即半径）都相等． 【详解】由分析可得，《墨经》中记载“圆，一中同长也．”这句话中“一中”是指圆心，“同长”是指半径长度相等， 故答案为：圆心、半径长度相等． ▌对点练3．画出由所有到已知点O的距离大于或等于．并且小于或等于的点组成的图形． 【答案】 如图所示的阴影部分． 【分析】作出以O为圆心、2cm和3cm为半径的圆环即可． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系（点在圆内、点在圆上、点在圆外），解题时注意圆的集合定义的应用，难度不大．假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：d＜r点在圆内，d=r点在圆上，d＞r点在圆外． 题型点和圆的位置关系的判断 ▌例1 已知的直径为，点到圆心的距离为，则点在（     ） A．外 B．内 C．上 D．无法确定 【答案】A 【分析】当点到圆心距离大于半径时，点在圆外；当点到圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离小于半径时，点在圆内． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵点到圆心的距离， ∴， ∴点在外． ▌对点练1. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是，则点P与的位置关系是（     ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点P坐标算出的长度d，设圆的半径为r，，则点在圆上． 【详解】解：， 的半径， ， 在上． ▌对点练2.如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，． (1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标； (2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系． 【答案】(1)半径为5，圆心 (2)在圆上 【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案； （2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆， 将化成， 表示的圆的半径为5，圆心的坐标为； （2）解：将原点代入， 左边右边， 原点在表示的圆上． 【点睛】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键． 题型 由点和圆的位置关系求半径范围 ▌例1 已知的直径为8，若，则点P在_______；若，则点P在_______；若______，则点P在内． 【答案】 外 上 【分析】先求出的半径，再比较与半径的大小，根据点和圆的位置关系即可求解． 【详解】解：的直径为， 的半径， 当时， ， 点在外； 当时， ， ∴点在上； 当点在内时，根据点与圆的位置关系可得． ▌对点练1.如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围． 【详解】解：，，， ， ， ． 可得三点到点距离：，，． 要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外： 当，三点都不在圆内，不符合题意； 当，三点都不在圆外，不符合题意； 当时，，点在内；，点在外，满足条件． 的半径的取值范围为． ▌对点练2.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以点A为圆心、r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系以及勾股定理，利用勾股定理求出各格点到点的距离是解题的关键． 利用勾股定理求出各格点到点的距离，结合点与圆的位置关系，即可得出结论． 【详解】解：给各点标上字母，如图所示．   ，，，，， 时，以为圆心，为半径画圆，选取的格点中除点外恰好有3个在圆内． 故选：B． ▌对点练3. 在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 题型 根据点在圆上的性质解题 ▌例1 如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（　　） A．DE=EB B．DE=EB C．DE=DO D．DE=OB 【答案】D 【详解】解：连接EO. ∴∠B=∠OEB， ∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D， ∴∠B+∠D=3∠D， ∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D， ∴∠DOE=∠D， ∴ED=EO=OB， 故选D. ▌对点练1. 如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是b________c（填＜、=、＞）   【答案】= 【分析】根据矩形的两条对角线相等,即可作出判断. 【详解】 连OM,OD. 四边形OEDF是矩形. 同理 故答案为:=. ▌对点练2. 如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且，若． (1)求的长； (2)求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出； （2）连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，； （2）解：， 连接，如图， ∵， ∴在中，， 即⊙O的半径为． 题型 圆的确定 ▌例1 下列说法错误的是（     ） A．平面内不共线的三个点可以作一个圆 B．已知平面内两点可以作无数个圆 C．已知圆心和半径可以作一个圆 D．平面内任意三点可以作一个圆 【答案】D 【分析】不共线三点确定一个圆，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：平面内不共线的三点可作一个圆，共线三点不可作圆，故A选项正确，D选项错误， 已知平面内两点时，圆心可在两点连线的垂直平分线上任意选取，可作无数个圆，故B选项正确， 已知圆心和半径可确定一个圆，故C选项正确． ▌对点练1. 已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． ▌对点练2. 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（     ） A．3个 B．4个 C．2个 D．0个 【答案】A 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆， ∴共有3个． 题型6 三角形的外接圆 ▌例1 点是的外心，则点是的（    ） A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答． 【详解】解：点I是的外心，则点I是的三条垂直平分线交点， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键． ▌对点练1. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C ▌对点练2. 已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 题型6 点到圆上一点的最值问题 ▌例1 若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为__． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． ▌例2如图，点E是正方形边上一动点（点E不与点B、C重合），连接，过点A作交于F，垂足为P，连接，已知正方形的边长为2，则的最小值为________．    【答案】 【分析】以为直径作，连接，交为点P，根据点圆最值的性质，则为最小距离，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上一段圆弧上， 如图，取中点H，连接，交为点P，则为所求，    ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键． ▌对点练1. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，， ∵，经过点， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动， ∴当点C运动至的延长线与的交点处时， 取得最大值为， 当点C运动至与的交点处时， 取得最小值为， 在中，， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． ▌对点练2. 如图，在正方形中，边长为4，记对角线、交O点，将一个直角三角板的直角顶点放在O点，过D点作于点H，_______，连接，现将直角三角板绕点O旋转一周，在旋转的过程中，的最小值是_______． 【答案】 / 【分析】此题考查的是点与圆的位置关系、正方形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．根据已知可得的长，根据圆的性质可知点H的运动轨迹为以为直径的圆上，当过圆心时，即为最小值，求出的长度即可得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形，边长为4， ， ， ∴点H的运动轨迹是以为直径的圆上， 取的中点，以为圆心，为半径作圆， ，当且仅当三点共线时取相等， 则最小值， 如下图，过作于点K， ， ， ， 的最小值为：， 故答案为：． 基础通关 1．早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圆（这里读），一中同长也”这就是说．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是___________． 【答案】圆心 【分析】本题考查了圆的基本概念辨析，根据圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合，则定点是圆心，即可作答． 【详解】解：∵圆是平而内到定点的距离等于定长的点的集合， ∴定点是圆心， 故答案为：圆心 2．下列说法中正确的是（　　） A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 【答案】D 【分析】本题考查了确定圆的条件，掌握相关知识点是解题关键．根据定点和定长与圆的关系，逐项分析即可． 【详解】解：A、经过一个定点，以定长为半径，由于圆心不确定，即可以作无数个圆，原说法错误，不符合题意； B、经过两个定点，以定长为半径，圆心在两个定点所连线段的垂直平分线上，即能作0个或1个或2个圆，原说法错误，不符合题意； C、经过不在同一条直线上的三个定点，只能作一个圆，原说法错误，不符合题意； D、经过三角形的三个顶点，只能作一个圆，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 4．已知的半径为5，点P在内，则的长_______5．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】已知的半径和点的位置，根据点与圆的位置关系的判定规则即可得到结论． 【详解】解：∵点与圆的位置关系规则为：点在圆内时，点到圆心的距离小于圆的半径， ∵的圆心为，半径为，点在内， ∴． ５.　已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意； B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意； C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意； D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意． ６．在直角坐标平面内，的半径为，圆心的坐标为，试判断点与的位置关系． 【答案】在圆外 【分析】确定的长度，然后与半径比较即可得出点与的位置关系． 【详解】解：∵圆心的坐标为，点， ∴， ∵， ∴， ∴在圆外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形性质的知识，解题的关键是能够求得线段OP的长，难度不大． ７．如图，在中，和是弦，半径、分别交于点、，且． 求证：； 【答案】(1) 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ８.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，求该半圆的半径长。 【答案】C 【分析】连接、、，证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，列出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∵小正方形的面积为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去），， ， 即该半圆的半径为． ９．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)， 画图如下： (2)点D在内，证明如下： 解：圆的半径， 线段， 点D在内． 10. 命题证明：有公共斜边的两个直角三角形有相同的外接圆 已知：在与中，， 求证：与有相同的外接圆．请选择图1或图2进行证明． 命题运用：求证：锐角三角形三边上的高交于同一点． 已知：如图3，是锐角三角形，求证：的三条高交于同一点． 拓展应用：如图4，已知是的直径，P是内的一点， 仅用无刻度的直尺过点P作的垂线，垂足为D，交上方的弧为C； 【答案】命题证明： 选择图1， 证明：取中点M，连接、，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点A、B、C、D在以点M为圆心为半径的圆上， ∴与有相同的外接圆． 选择图2，同理可证． 命题应用： 证明：设中，、边上的高、交于点F，连接并延长交于H，连接，如图， 则和的斜边均为，和的斜边均为， 由命题证明可知，A、E、F、D四点共圆，B、C、D、E四点共圆， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为中边上的高， ∴三边上的高交于同一点． 拓展应用： 如图所示，即为所求： 素养提升 1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 2．若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 3. 如图，在中，点是斜边的中点，以为边作正方形，下列三角形中，外心不是点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，连接，根据点是斜边的中点，得到，得到点是的外心，根据正方形的性质得到，求得，得到点是的外心，点是的外心，由于，得到点不是的外心，证得，是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，点是斜边的中点， ， 点是的外心， 四边形是正方形， ， ， 点是的外心，点是的外心， 在等腰中，，则由勾股定理可得， ， 点不是的外心， 故选：C． 4．如图，A为上一动点，D为圆外一点，AD交于点B，OD交于点C，延长DO交于点E． (1)若，B恰为AD的中点，则OD的长为________． (2)若，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形外角和及圆内三角形的综合运用等，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边中线定理可求的长，根据半径相等求得，进而根据勾股定理即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，设未知数x表示，根据三角形外角和定理可得从而求解。 【详解】（1）解：如图①，连接OB． ，B为AD的中点， ．又． 在中，由勾股定理，得． 故答案为：． （2）如图②，连接OB． ， 和均为等腰三角形．设，则，， 解得，即． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、P的坐标分别为 ，， ．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是的外心，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【分析】如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆，在圆上的格点即为所求． 【详解】解：如图所示，以P为圆心，以的长为半径画圆， 在圆上的格点有，，， ∵P是的外心，即点C在圆P上，且点C在第一象限， ∴点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形外接圆，熟知点C在圆P上是解题的关键． 6．已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 【答案】(−1, 3) 【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A(0,2)，点B(2,0)， ∴， 解得， ∴y=−x+2. 解方程组，得， ∴当P的坐标为(−1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 故答案为(−1, 3). 【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质. 7．如图，已知． (1)用尺规作的外接圆（保留作图痕迹，标出圆心O） (2)说明圆心O为什么是的垂直平分线的交点． 【答案】(1)如图所示 (2)连接， ∵， ∴点O在的垂直平分线上，且在的垂直平分线上， ∴圆心O是的垂直平分线的交点． 8. 如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN=2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． 【答案】 （1）证明：∵P是AB的中点， ∴PA=PB， 在△APM和△BPN中， ， ∴△APM≌△BPN； （2）由（1）得：△APM≌△BPN， ∴PM=PN， ∴MN=2PN， ∵MN=2BN， ∴BN=PN， ∴α=∠B=50°； （3）∵△BPN的外心在该三角形的内部， ∴△BPN是锐角三角形， ∵∠B=50°， ∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°． 迁移创新 1．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝CD＝4，BC＝5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F． （1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）； （2）在（1）的条件下求BG的长； （3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外． 【详解】解：（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．理由如下： ∵AD∥BC，AB=CD, ∴∠AFB＝∠EBC，∠ABC＝∠DCB， ∵BF平分∠ABC, CG平分∠BCD, ∴∠ABF＝∠BCG=∠ABC＝∠DCB， ∴△ABF∽△GBC； ∵DF∥BC， ∴△FDE∽△BCE； ∵∠AFB＝∠DCG=∠ABC＝∠DCB，∠DEF＝∠CEG， ∴△FDE∽△CGE. ∴△FDE∽△CGE∽△BCE． （2）∵BE平分∠B， ∴∠ABE＝∠EBC， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠AFB， ∴AB＝AF． ∴AF＝4，DF＝1． ∵AD∥BC， ∴DF：BC＝DE：EC， ∴DE＝，CE＝． ∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠BCD＝∠ABC． ∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC， ∴∠CBG＝∠BCG， ∴BG＝CG． 设BG＝CG＝x，则由△FDE∽△CGE，得 DF：CG＝DE：GE， ∴GE＝x． 又由△CGE∽△BCE，得 EC2＝EG•EB， 即＝x•（x+x）， ∴x＝， 即BG＝． （3）①连接AP，当BP＝AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP＝， 即BP＞AP时，点A在⊙P内． ∴当＜BP≤时，点A在⊙P内． ②根据①求得BE＝， ∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外 ∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外． 【点睛】此题综合考查了相似三角形的判定和性质以及点和圆的位置关系与数量之间的联系． 2. 【问题提出】 （1）如图1，是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 小明在完成此题解答后提出：如图2，若的交点为点O， 【直接应用】 （2）如图，等边三角形中，，P为边上一动点，，垂足分别为D、E．则的最小值为 ． 【拓展应用】 （3）如图，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值； 问题解决： 【答案】 （1）证明：点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下： 如图：连接， ∵M是的中点， ∴ ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴ ∴ ∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上； 点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下： 如图，连接，取的中点N，连接， 则 ， ∵、是的高， ∴均为直角三角形 ∴， ∴， ∴点A、D、O、E四点在同一个圆上； （2）如图，连接，设中点为O，连接， ∵ ∴P，D，C，E四点共圆，为直径，O为圆心， ∴， ， ∴， 设圆O的半径为r， 如图：过O作， ∴， ∴，即， 要使最小，则的半径r最小，故直径最小． 当时，运用等边三角形的性质及勾股定理可得， ∴ ∴． （3）取的中点，连接， 根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧， 、为定值，当、、共线时，取得最小值， 四边形是正方形， ，． 是的中点， ． 在中，， 的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $