精品解析：天津市实验中学滨海学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027年度第一学期九年级第一次学情调研（数学）试卷 满分：120 考试时长：100分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. 2x+1=0； B. 3x2-x=10； C. ； D. . 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可判断． 【详解】解：A.是一元一次方程，故A错误； B. 是一元二次方程，故B正确； C. 不是整式方程，故C错误； D .不是一元二次方程，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：原方程可化为，此时； 也可化为，此时； 故只有选项D符合题意. 3. 方程经过配方后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，掌握配方法的计算是解题的关键． 找到一般式中一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， 故选：D ． 4. 一元二次方程的两个根为，，则等于（　　） A. B. 2 C. 3 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：由一元二次方程的两个根为，，可得： ； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：是解题的关键． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：△=22-4×4=-12<0，故没有实数根； 故选D． 考点：根的判别式． 6. 已知由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. x＞3时，y随x增大而增大 C. 其顶点坐标为（4，2） D. 其图象的对称轴为直线x＝4 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解答． 【详解】解：由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知：图象的开口向上，对称轴为直线x＝4，其顶点坐标为（4，-2），x＞4时，y随x增大而增大， 故选：D． 【点睛】此题考查顶点式函数解析式的性质，能根据函数解析式确定图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，函数的增减项是解题的关键． 7. 将抛物线经过怎样平移变换得到（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：； 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 8. 若A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）为二次函数 的图象上的三点，则y1， y2，y3的大小关系是（    ） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）分别代入二次函数的关系式，分别求得y1， y2，y3的值，最后比较它们的大小即可． 【详解】y=（x+2）2-4-m， ∴抛物线的对称轴为直线x=-2，开口向上 ∵当x＞-2时，y随x的增大而增大， ∴ y3＞y2    ∵点A离对称轴比点C离对称轴近， ∴ y3＞y1 ∴ y3＞y1＞y2  故答案为：C 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上． 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将抛物线的一般式化成顶点式是解题的关键． 利用配方法将抛物线解析式化成顶点式，即可求得其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 10. 某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，依题意得，得出答案，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，依题意得： ， 故选：C． 11. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根是和1；④若点是函数图象上的三点，则，其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断，，符号及关系；利用抛物线对称性求另一交点坐标，根据点离对称轴的距离比较函数值大小． 【详解】抛物线开口向上， ， 对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故错误； ， ，故正确； 与x轴的一个交点的坐标为，对称轴为直线， 与x轴的另一个交点的坐标为， 一元二次方程的两个根是和，故正确； ，，，且，抛物线开口向上， ，故错误； 综上所述，正确的选项有． 12. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①③ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】将点代入解析式求出a的值，确定函数关系式，根据顶点坐标判断①，令求出x判断②；令，求出x即可判断③． 【详解】解：将点代入，得，解得． ∴抛物线解析式为， ∵抛物线顶点坐标为，且， ∴铅球运动的高度可以是，①正确； 令，则，解得（舍去），  ∴，故②正确； 令，则，解得， ∴它离初始位置的水平距离为或，③错误． 综上，正确的结论是①②． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 二次函数的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求得二次函数的顶点坐标即可． 【详解】二次函数解析式为， 则此二次函数的顶点坐标为． 故答案为． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握其性质是解决问题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 16. 已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，掌握的性质是解题的关键． 由抛物线在轴左侧的部分是下降的，则，然后解不等式即可解答． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是下降的， ∴抛物线开口向上， ∴，解得：． 故答案为：． 17. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____． 【答案】﹣5≤y≤4 【解析】 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【详解】∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=1， ∴当x=1时，y有最大值4， 当0≤x≤1时，当x=0时，y有最小值3， 当1≤x≤4时，当x=4时，y有最小值﹣5， ∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4， 故答案为：﹣5≤y≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的增减性求得y的最大值和最小值是解题的关键． 18. 如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，当水面下降1米时，水面的宽度增加多少_______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点代入求出解析式可解． 【详解】解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点代入，得， 解得 ∴， 当时，， 解得 ∴水面下降米时，水面宽度增加米， 故答案为：米． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 20. 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 【答案】（1）减小 （2），3 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数图象即可作答； （2）根据图象可知抛物线交x轴于点、点，则问题即可得解； （3）结合二次函数图象即可作答； （4）将方程变形为：，根据图象可知，若，则原方程没有实数根，问题得解． 【小问1详解】 解：根据二次函数图象可知：时，y随x的增大而减小， 故答案为：减小； 【小问2详解】 解：根据图象可知：抛物线交x轴于点、点， 则的根为：、， 故答案为：，3； 【小问3详解】 解：根据图象可知：时，y＜0，最小值为， 即y的取值范围为：； 【小问4详解】 解：将方程变形为：， 根据二次函数图象可知： 若，则原方程没有实数根， 即此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想，是解答本题的关键． 21. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）（2）（1，4） 【解析】 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（3，0），B（－1，0）， ∴抛物线的解析式为；，即， （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）． （1）根据抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线的解析式． （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 22. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于已知方程有实数根，则，由此可以建立关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围； （2）设一元二次方程的两根为，根据两个实数根互为倒数得到，结合k的取值范围求出k的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两根为， ∵方程的两个实数根互为倒数， ∴， 解得， ∵， ∴ 23. 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件40元． （1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）； （2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式； （3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）， （2） （3）售价为元时，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解； （2）设每周所获利润为y，根据一周利润等于每件的利润×销售量得到与的关系式； （3）把（2）中解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得若每件降价x元，单件商品的利润为元，每星期的销售量为件， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴当时，最大利润为元， 即售价为元时，最大利润为元， 【点睛】本题主要考查了列代数式，列函数关系式，二次函数的应用，正确列出对应的式子是解题的关键． 24. 如图小高家用20m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙长10米）的矩形菜园． （1）写出这块菜园的面积S（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式和x的取值范围； （2）求菜园的最大面积． 【答案】（1）S＝﹣2x2+20x（） （2）50m2 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关系式即可；再由即可得x的取值范围； （2）将（1）中的关系式化为顶点式即可得最值； 【小问1详解】 解：∵垂直于墙的边长为x， ∴平行于墙的边长为20﹣2x， ∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， 由题意，得， 解得． 即S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+20x（）； 【小问2详解】 设S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x2﹣10x）＝﹣2（x﹣5）2+50， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值， ∵， ∴当x＝5时，S取得最大值，最大值为50， 答：菜园的最大面积为50m2． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用、不等式组的应用，根据题意，正确列出二次函数关系式是解本题的关键． 25. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点），求面积最大值，并求出此时的点坐标． 【答案】（1） （2） 面积最大值为，此时点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的几何应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）如图，设点，过点作轴于点交于点，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，进而求出点坐标，即可得到的长，最后根据求出与的函数关系式，根据函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设点，过点作轴于点交于点， ∵， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴，        ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期九年级第一次学情调研（数学）试卷 满分：120 考试时长：100分 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 下列方程中，为一元二次方程的是（ ） A. 2x+1=0； B. 3x2-x=10； C. ； D. . 2. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定的值，下列叙述正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程经过配方后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的两个根为，，则等于（　　） A. B. 2 C. 3 D. 1或3 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 已知由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（　　） A. 其图象的开口向下 B. x＞3时，y随x增大而增大 C. 其顶点坐标为（4，2） D. 其图象的对称轴为直线x＝4 7. 将抛物线经过怎样平移变换得到（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 8. 若A（－4，y1），B（－1，y2），C（1，y3）为二次函数 的图象上的三点，则y1， y2，y3的大小关系是（    ） A. ＞＞ B. ＞＞ C. ＞＞ D. ＞＞ 9. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 某工厂今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．设该工厂每个月生产成本的平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②；③一元二次方程的两个根是和1；④若点是函数图象上的三点，则，其中正确的有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ①③ D. ①② 第II卷（非选择题） 二、填空题 13. 二次函数的顶点坐标是__________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 15. 若关于的方程是一元二次方程，则______． 16. 已知抛物线在轴左侧的部分是下降的，那么的取值范围是____________． 17. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____． 18. 如图是一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，当水面下降1米时，水面的宽度增加多少_______． 三、解答题 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 抛物线的图象如图所示，根据图象填空． （1）时，y随x的增大而______； （2）方程的根是______； （3）时y的取值范围是______； （4）若方程没有实数根，k的取值范围是______． 21. 已知抛物线经过点A（3，0），B（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 22. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若此方程的两个实数根互为倒数，求出k的值． 23. 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件40元． （1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）； （2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式； （3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润． 24. 如图小高家用20m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙长10米）的矩形菜园． （1）写出这块菜园的面积S（m2）与垂直于墙的边长x（m）之间的函数解析式和x的取值范围； （2）求菜园的最大面积． 25. 已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若是抛物线上点与点之间的动点（不包括点），求面积最大值，并求出此时的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $