立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题专项训练 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 空间几何体的外接球问题 考点一 空间几何体的表面积问题 空间几何体的表面积问题解题技巧 （1）分清侧面积与全面积，全面积＝侧面积＋底面积。 （2）旋转体抓住轴截面，多面体利用展开图分析。 （3）熟记圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式。 （4）组合体注意重叠面不计入表面积。 （5）计算时注意单位统一。 例1．（26-27高三上·福建宁德·期中）已知圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的3倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设上底面半径为，则下底面半径为，因为圆台的母线与下底面成角， 所以母线，利用圆台的侧面积公式计算，利用圆的面积公式计算上、下底面积之和. 【详解】设上底面半径为，则下底面半径为，因为圆台的母线与下底面成角， 设圆台的轴截面为，其中，，， 过作，过作， 则，母线， 圆台的侧面积为， 上、下底面积之和为， 所以. 例2．（26-27高三上·云南昆明·期中）已知正四棱台的体积为14，，，则该四棱台的表面积为（     ） A．32 B．38 C．42 D．46 【答案】C 【详解】设正四棱台的高为，侧面的高为， 则， 所以. 所以， 所以该四棱台的表面积为. 例3．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 【答案】 【分析】直接分别计算圆锥和圆柱的侧面积及底面积，进而可得几何体的表面积. 【详解】该几何体是同底（底面直径为）的圆锥与圆柱的组合体， 圆锥底面半径，高为，由勾股定理得母线长​， 所以圆锥侧面积为. 圆柱底面半径，高为，圆柱侧面积为. 圆柱的下底面面积. 因此几何体的总表面积. 即几何体的总表面积为. 例4．（2026·广东佛山·模拟预测）如图所示，在六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱、、、均垂直于底面，且，现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为_____． 【答案】 【分析】根据几何体特征分析拼接成三棱柱的方法，通过拼接后三棱柱的表面积计算公式计算不同情况的表面积，通过比较即可求解得到表面积的最小值. 【详解】通过分析有四种分割方法，其中，均为所在边中点， 按照不同方式分割后，以平面为例，有如下三种不同的拼接方式 若按第一种方式进行拼接，拼接后的三棱柱的底面是以4为边长的等腰直角三角形，高为， 因此对应的三棱柱的底面积为， 侧面面积为， 故表面积为. 若按第二种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面是以5为腰长，以6为底的等腰三角形，高为， 因此对应的三棱柱的底面积为， 侧面面积为， 故表面积为， 若按照第三种方式拼接，拼接后的三棱柱的底面积为24，高为4， 侧面积为， 故表面积最小为88. 变式1．（26-27高三上·陕西汉中·期中）现有200个圆锥形（每个圆锥的底面半径为2 cm，高为1.5 cm）金属零件，为了防止零件生锈，需要对每个零件的表面进行喷漆，则这200个零件需要喷漆的总面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的截面性质及表面积公式求解即可. 【详解】圆锥的母线长为. 每个圆锥的表面积为. 所以这200个零件需要喷漆的总面积为. 变式2．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆锥轴截面的底边长为4，所以底面半径为. 由正弦定理得， 即，所以该圆锥的侧面积为. 变式3．（26-27高二上·上海·阶段检测）已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，由题意可知 则该圆柱的侧面积. 变式4．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 【答案】 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，高为， 又因为圆锥的轴截面是等腰三角形，所以该轴截面是等腰直角三角形， 则圆锥的高等于底面半径， 所以圆锥的母线长， 圆锥侧面积：； 圆柱侧面积：； 圆锥和圆柱的侧面积之比为. 考点二 空间几何体的体积问题 空间几何体的体积问题解题技巧 （1）熟记公式：柱体 ，锥体 ，球 。 （2）不规则几何体用割补法化归为规则几何体。 （3）求点到平面的距离可用等体积法（换底）。 （4）台体可直接套公式，也可补成锥体处理。 （5）关键是准确确定底面积和高。 例1．（26-27高三上·河北承德·期中）在正四棱台中，，直线与底面所成的角为，则该棱台的体积为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正四棱台的结构特征求出高，再利用体积公式求解. 【详解】在正四棱台中，令点在底面上的投影为点， 由正四棱台的结构特征知点在线段上，且四边形是等腰梯形， 由，得， 由直线与底面所成的角为，得，则， 所以该棱台的体积.    例2．（26-27高三上·江苏徐州·期中）一个圆台的上、下底面半径之比为1∶4，半径为2的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球与圆台内切的性质，得到母线与半径之间的关系，以及圆台高的大小，通过联立解得圆台上下底面半径大小，通过圆台体积公式即可求解. 【详解】如图，为上底面圆半径，为下底面半径，且为圆台一条母线，，分别为上下底面圆圆心， 因为半径为2的球与圆台的上、下底面相切，因此，即圆台高， 又因为球与圆台侧面相切，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是梯形的内切圆， 故根据等腰梯形内切圆条件有， 又且，所以，解得，， 又，因此圆台的体积为. 例3．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）若三棱台的高为6，，，，，则三棱台的体积为__________. 【答案】42 【详解】因为，，，所以， 所以的面积为，的面积为， 故三棱台的体积为 例4．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 【答案】 【分析】利根据给定条件，借助正弦定理求出点到平面的距离，进而求得三棱锥的体积. 【详解】如图所示， 由为直角三角形，是的中点，得， 又，故, 所以为等边三角形，， ， 将沿折起，使、两点间的距离为，则, 因为，故点在平面上的投影为的外心， 设的外接圆半径为, 又因为，, 所以， 故， 所以, 所以. 变式1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯可以近似看成是由一个圆柱挖去一个圆台得到的，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据的单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，该玻璃杯所用玻璃的体积为：. 变式2．（26-27高三上·河北保定·期中）已知某圆锥的侧面积为，且其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设圆锥的底面半径、母线长、高，结合侧面展开图的性质、侧面积公式求出底面半径和母线长，再由勾股定理求高，最终代入体积公式计算得结果. 【详解】设该圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 因为侧面展开图的圆心角为，所以，即，得到， 由圆锥侧面积公式，即，得到，解得（半径为正，舍去负解）， 因此，则， 所以. 变式3．（26-27高三上·上海徐汇·期中）如图所示，容器的底部是的正方形，顶部是的开放正方形，还有四个全等的梯形侧面．开始时容器是空的，用一根水管以恒定速率向容器中注水，需要35分钟才能将水注满至梯形侧面中线的高度．问还需要________分钟才能将容器的剩余部分注满． 【答案】95 【分析】由体积与注水时间成正比，求出下半部分和上半部分体积比，可求出水注满的时间. 【详解】依题意，该容器为正四棱台，设容器总高度为， 底部正方形面积，顶部正方形面积， 侧面梯形的中位线对应高度为，该位置的截面边长为，对应截面面积· 中线下半部分(底部到中位线)的体积： ， 剩余中线上半部分体积， 注水速率恒定，体积与注水时间成正比，， 已知注满用时35分钟，因此剩余部分用时为分钟. 变式4．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】设，，将用，表示，再利用空间向量四点共面的结论可得到，则可转化为一个关于的函数，即可求解. 【详解】设，，，则，， 因为点为侧棱中点，所以，同理. 故； 又因为，所以， 由于，，，四点共面，所以， 则 所以， 而， 令，令， 则，由对勾函数单调性易得 从而 【点睛】本题难度较大，核心在于设，，利用等体积与四点共面等结论将所求量转化为一个关于或的函数表达式，体现了数学抽象与逻辑推理的核心素养. 考点三 空间几何体的外接球问题 空间几何体的外接球问题解题技巧 （1）长方体（正方体）外接球直径等于体对角线。 （2）球心在过截面圆心且垂直于截面的直线上，据此找球心。 （3）构造直角三角形，利用 列方程求半径。 （4）直棱柱、圆柱类外接球按同一模型处理。 （5）内切球半径可用 求解。 例1．（26-27高三上·天津南开·期中）在四面体中，，分别为，的中点，且，，，，则该四面体的外接球体积与该四面体的体积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证平面，利用向量垂直推出，建坐标系求出四点坐标，算出外接球半径与四面体体积，最后求比值. 【详解】因为，，且平面，则平面， 又因平面，则， 由，，且，则. 因为，分别为，的中点， 所以， 由，可得，故. 以为原点，分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，. 设外接球心为，由得，解得，由得，解得， 由得，解得. 故，故外接球体积为 ； 又，故四面体体积. 所以. 例2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面等边的边长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 , , ， 因为 , , ， 所以 , , 都是直角三角形， 由勾股定理得 , , . 因为 是边长为 的等边三角形， 所以 ， 于是 ， 解得 a=b=c=2. 以 , , 为共顶点的三条棱，把三棱锥补成棱长为 的正方体，则 , , , 四点都在该正方体的外接球上； 设外接球半径为 ， ，所以 . 所以外接球的表面积 . 例3．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 【答案】 【分析】合理作出四面体的高，作平面，利用给定条件求出的长度，再找到外接球球心，在直角梯形内利用勾股定理求解外接球半径，最后求解表面积即可. 【详解】如图，作平面，连接， 因为平面，所以， 而， 因为，平面， 所以平面，而平面， 故， 又，，，由勾股定理得， 所以由锐角三角函数定义得， 结合，且共面，可知， 即落在过点和平行的直线上， 而，则，故， 或， 设，，由勾股定理得， 在中，由余弦定理得 当时，， 在中，得到， 即，由于，此时无解； 当时，， 在中，得到，即， 联立，，解得，则， 取中点，过点作平面， 设点为外接球球心，外接球半径为， 由余弦定理得， 由于, 故在直角梯形中，， 解得， 设四面体外接球的表面积为S，故. 例4．（25-26高二下·北京·期末）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，建立空间直角坐标系，通过球心到点的距离建立方程即可求解球心坐标，进而求解外接球半径. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示坐标系 因为几何体的下底面边长为2，几何体的高为， 因此，，，，，，，， 根据对称性，几何体的外接球球心一定在上底面中心和下底面中心的连线上，即球心一定在轴上， 设球心的坐标为，外接球半径为， 在中， 在中，， 因此，解得， 所以， 故几何体的外接球的表面积. 变式1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断和均为直角三角形，公共斜边即为外接球直径，代入球的体积公式计算即可. 【详解】在中，，，，则， 故为直角三角形，且为斜边. 同理可得，为直角三角形，且为斜边. 取中点，连接，. 在中，；在中，， 所以，即为外接球球心，外接球半径. 故三棱锥的外接球的体积为 . 变式2．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推得平面，根据体积最大值求出三棱锥的高，利用直角三角形的勾股定理计算即得. 【详解】如图，因，，则的面积为， 要使三棱锥的体积取得最大值，需使平面，设直线交平面于点，连接， 则即三棱锥的高，由三棱锥体积公式解得， 在中，由余弦定理，，即， 再由正弦定理，，解得，设球的半径为，则， 在中，，解得，故球的表面积为. 变式3．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知正四棱台的高为，则正四棱台的外接球的表面积为__________. 【答案】 【详解】连接，设的中点分别为，正四棱台外接球的球心为，半径为， 由题意知在直线上，，如图所示， 因为正四棱台的高为，所以， 因为，所以，解得，所以， 正四棱台的外接球的表面积为. 变式4．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 【答案】 【分析】先求等边三角形的外接圆半径，再根据平面，确定三棱锥外接球的半径，最后利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图： 设的外心为.是边长为的等边三角形，其外接圆半径 ． 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，且． 于是外接球半径． 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 立体几何：空间几何体的表面积问题、体积问题、外接球问题专项训练 考点目录 空间几何体的表面积问题 空间几何体的体积问题 空间几何体的外接球问题 考点一 空间几何体的表面积问题 空间几何体的表面积问题解题技巧 （1）分清侧面积与全面积，全面积＝侧面积＋底面积。 （2）旋转体抓住轴截面，多面体利用展开图分析。 （3）熟记圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式。 （4）组合体注意重叠面不计入表面积。 （5）计算时注意单位统一。 例1．（26-27高三上·福建宁德·期中）已知圆台的母线与下底面成角，且下底面半径是上底面半径的3倍．记圆台的侧面积为，上、下底面积之和为，则（     ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·云南昆明·期中）已知正四棱台的体积为14，，，则该四棱台的表面积为（     ） A．32 B．38 C．42 D．46 例3．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，则此几何体的表面积为___________. 例4．（2026·广东佛山·模拟预测）如图所示，在六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱、、、均垂直于底面，且，现需用一个平面将该六面体截成两部分，并重新拼接成一个新的三棱柱，则所拼成的新三棱柱中，最小的表面积为_____． 变式1．（26-27高三上·陕西汉中·期中）现有200个圆锥形（每个圆锥的底面半径为2 cm，高为1.5 cm）金属零件，为了防止零件生锈，需要对每个零件的表面进行喷漆，则这200个零件需要喷漆的总面积为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·北京朝阳·阶段检测）若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高二上·上海·阶段检测）已知一个圆柱的轴截面是一个面积为2的正方形，则该圆柱的侧面积为________． 变式4．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知一个圆锥和一个圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是直角三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为________. 考点二 空间几何体的体积问题 空间几何体的体积问题解题技巧 （1）熟记公式：柱体 ，锥体 ，球 。 （2）不规则几何体用割补法化归为规则几何体。 （3）求点到平面的距离可用等体积法（换底）。 （4）台体可直接套公式，也可补成锥体处理。 （5）关键是准确确定底面积和高。 例1．（26-27高三上·河北承德·期中）在正四棱台中，，直线与底面所成的角为，则该棱台的体积为（      ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·江苏徐州·期中）一个圆台的上、下底面半径之比为1∶4，半径为2的球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积是（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·云南保山·阶段检测）若三棱台的高为6，，，，，则三棱台的体积为__________. 例4．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为_________． 变式1．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯可以近似看成是由一个圆柱挖去一个圆台得到的，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据的单位为cm），则该玻璃杯所用玻璃的体积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·河北保定·期中）已知某圆锥的侧面积为，且其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·上海徐汇·期中）如图所示，容器的底部是的正方形，顶部是的开放正方形，还有四个全等的梯形侧面．开始时容器是空的，用一根水管以恒定速率向容器中注水，需要35分钟才能将水注满至梯形侧面中线的高度．问还需要________分钟才能将容器的剩余部分注满． 变式4．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）在正四棱锥中，点为侧棱中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，，该平面将正四棱锥分成两部分，记四棱锥的体积为，另一部分体积为，则的取值范围是_________． 考点三 空间几何体的外接球问题 空间几何体的外接球问题解题技巧 （1）长方体（正方体）外接球直径等于体对角线。 （2）球心在过截面圆心且垂直于截面的直线上，据此找球心。 （3）构造直角三角形，利用 列方程求半径。 （4）直棱柱、圆柱类外接球按同一模型处理。 （5）内切球半径可用 求解。 例1．（26-27高三上·天津南开·期中）在四面体中，，分别为，的中点，且，，，，则该四面体的外接球体积与该四面体的体积比为（    ） A． B． C． D． 例2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·期中）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面等边的边长为，则该三棱锥的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 例3．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）四面体中，，，且，，，则此四面体的外接球的表面积为________． 例4．（25-26高二下·北京·期末）如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 变式1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的体积是（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）已知三棱锥的四个顶点都在以为球心的球面上，若，，且三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高三上·河南南阳·期中）已知正四棱台的高为，则正四棱台的外接球的表面积为__________. 变式4．（24-25高三上·青海西宁·阶段检测）在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的体积为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $