4.1.2 无理数指数幂及其运算性质同步课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 4 章 指数函数与对数函数 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 人教A版2019必修第一册 目录 C A T A L O G 01.无理数指数幂的意义 02.实数指数幂的运算性质 03.条件求值与整体代入 04.小结与随堂检测 导入新知 上一节，指数由整数扩充到了有理数： 其中 互质， 。 现在指数换成 ，它不是分数，“先开方再乘方”无从下手。 是无限不循环小数。 初中已经会给 定位：用一列有理数从两侧逼近它。既然 5 的 1.4 次幂、1.41 次幂都 能算出来，能不能用这列有理数为指数算出的幂，把 5 的根号 2 次幂也夹出来？ 问题：无理数指数幂是一个确定的数吗？它的运算性质还管用吗？ 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　导入与目标　·　03/52 学习目标 1．经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，理解无理数指数幂是一个确定的实数，体会用有理数逼近无理数的方法。 2．掌握实数指数幂的运算性质，能正确进行含无理数指数的幂的化简与求值，会用两侧夹逼的方法确定无理数指数幂的近似值所在的区间。 3．会在条件求值中逆用运算性质并作整体代入，形成“先化简、再代入”的运算习惯。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　导入与目标　·　04/52 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 01 无理数指数幂的意义 学习新知 取 的不足近似值 与过剩近似值 ，用计算工具算出相应的幂： （下表左列是 与 ，右列是 与 ） x（不足近似值） y（过剩近似值） 1.4 9.518269694 1.5 11.180339887 1.41 9.672699729 1.42 9.829635328 1.414 9.735171039 1.415 9.750851808 1.4142 9.738305174 1.4143 9.739872620 再各取一位： 与 对应 与 。 两串数一条从左、一条从右，向同一个数 靠拢。 每多取一位小数，两数之差就缩小到原来的十分之一左右。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　06/52 学习新知 把 的三层区间一层层套下去： ， ， ， 每一层都把它夹在更短的区间里。 示意图（三层区间各按本层比例画出） 指数一侧在夹逼，幂值一侧同样在夹逼：两串有理数指数幂把 5 的根号 2 次幂夹在越来越短的区间内。 提醒：不足近似值“舍而不进”，过剩近似值“末位加 1”，都不是四舍五入。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　07/52 学习新知 (1) 不足近似值：截取数位后把后面的数位直接 舍去 ， 所得近似值比真实值 小 ； 过剩近似值：截取后把保留部分的最后一位 加 1 ， 所得近似值比真实值 大 。 (2) 一般地，取 的不足近似值 与过剩近似值 ， 则 与 （ ）把 夹在中间。 与 的位数越多，夹得的区间越 小 。 例： 精确到 的不足近似值是 ， 过剩近似值是 。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　08/52 应用新知 判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由） 是 精确到 的不足近似值。（　　） 由上表可知 的近似值可以取 ，两者相等。（　　） （1）×。不足近似值要“舍而不进”： 精确到 的不足近似值是 ， 是过剩近似值。 （2）×。 只是从不足一侧 得到的近似值，真实的 比它大， 两数相差约 ，并不相等。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　09/52 例题精讲 考点：用两串有理数指数幂逼近无理数指数幂 例 1　由下面两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数是（　　） A． B． C． D． 思路：两串数都是同一个无理数的近似值，先把它们还原成指数。 解： ，按“舍而不进”得第一串； 按“末位加一”得第二串，两串数的指数都是 ，故逼近得到 。 答案　C 点评：A、D 只是串中的某一项；B 的指数是 1.414…，与这两串数无关。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　10/52 变式训练 考点：判断无理数指数幂是否有意义 变式 1　下列各式有意义的是（　　） A． B． C． D． 解：无理数指数幂 规定底数 ，否则没有意义。 A、B 底数为负，无意义；C 中 ，底数为负，也无意义。 D 中 ，底数为正、指数为无理数，是一个确定的实数。 答案　D 点评：先看底数再看指数：偶次根式的被开方数非负，无理数指数幂要求底数为正。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　11/52 方法归纳 考点：用两串有理数指数幂逼近无理数指数幂 ① 定位：把指数写成一对不足、过剩近似值，不足近似值只舍不进。 ② 算幂：分别以这两个有理数为指数算出幂，较小者作下界、较大者作上界。 ③ 定误差：两端之差就是误差上限，不必先把无理数指数幂算出来。 用这种方法只能得到近似值，但逼近的对象是一个确定的实数，这一点是本节的核心结论。 求近似值时先看题目要求的精确度：取到两端之差第一次小于该精确度的那一位。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　用有理数指数幂逼近　·　12/52 学习新知 两串有理数指数幂把 夹在长度可以任意小的区间内， 而区间里数轴上只有一个点与它对应。 (1) 一般地，无理数指数幂 （ ， 为无理数）是一个 确定 的实数。 (2) 至此，幂 （ ）中指数 的取值范围由整数、 有理数拓展到了 实数 ，统称为 实数指数幂 。 无理数指数幂不是一个“算不出来的数”：它和 5 的 1.414 次幂一样，对应数轴上一个确定的点，因此可以和有理数指数幂一样参与运算。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　13/52 学习新知 指数幂的扩充线索（每一步都保留前一步的运算性质）： 正整数 ： 表示 个 相乘（初中）。 整数： （ ）， 。 有理数 ： （ ， ）。 实数 ： 是一个确定的实数（用有理数指数幂从两侧逼近）。 本节把指数最终落到实数：以后写 （ ）时， 可以是有理数， 也可以是无理数。 提醒：底数为负的无理数指数幂没有意义；负数的开方仍按上一节的根式处理。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　14/52 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） 表示一个确定的实数。（　　） 因为 是无限不循环小数，所以 的大小不能确定。（　　） （1）×。无理数指数幂规定 ， 没有意义， 它既不是实数范围内的根式，也不能用有理数指数幂逼近。 （2）×。 虽不能写成分数，但它的不足、 过剩近似值可以取到任意多位，夹出的区间长度可以任意小， 故 是确定的实数，约等于 。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　15/52 例题精讲 考点：夹逼区间与误差上限 例 2　沿用表中的方法，已知 (1) 写出 所在的、由两组近似值分别围成的两个区间， 并指出哪一组夹得更紧； (2) 要使近似值的误差不超过 ，应选哪一对近似值？ 思路：不必先判断大小方向，取两数中较小者为下界、较大者为上界；两端之差就是误差上限。 （1）第一组夹出 到 的区间。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　16/52 例题精讲 考点：夹逼区间与误差上限 第一组： 与 第二组： 与 区间长依次约 与 ， 后者只有前者的十分之一，第二组夹得更紧。 第一组两端之差 ，不能保证误差不超过 ； 应取 与 这一对，区间长 。 符合要求的近似值可取 ，它与真实值的差不超过区间长。 点评：夹得紧不紧只看两端之差，不必先把 2 的根号 2 次幂算出来；区间内的数都可作近似值。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义（续）　·　17/52 变式训练 考点：夹逼区间与误差上限 变式 2　已知 ， ，求 的整数部分。 思路：把 的不足、过剩近似值与已知两式对应起来。 ，按“舍而不进”与“末位加一”得 。 故 介于 与 之间， 整数部分是 16 。 点评：只要求整数部分，夹住的区间长 0.026 已经够用，不必再取更多位。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　18/52 方法归纳 考点：夹逼区间与误差上限 ① 夹出区间：用一对不足、过剩近似值算出两个幂，较小者作下界、较大者作上界。 ② 比区间长：两端之差就是误差上限，差越小夹得越紧。 ③ 按精度取舍：要求误差不超过某值时，取差第一次小于该值的那一对。 示意图：区间逐层变短 误差上限就是两个幂值之差，它不依赖无理数指数幂的真实值，可以先算出来。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　无理数指数幂的意义　·　19/52 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 02 实数指数幂的运算性质 学习新知 用同样的办法算出 ，再算一次： 两组算式各自相等：有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂 仍然成立 所以无理数指数幂可以和有理数指数幂一样参与运算。 提醒：本节只在 a 大于 0 的范围内讨论无理数指数幂；指数可以是含根式的代数式。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　21/52 学习新知 实数指数幂的运算性质（a>0，b>0，r、s 为任意实数） 名称 性质 适用条件 同底数幂相乘 r、s 为任意实数 幂的乘方 r、s 为任意实数 积的乘方 r 为任意实数 同底数幂相除 r、s 为任意实数 使用要点：底数保持不变，指数按实数的运算法则做加、减、乘。 易错：同底数幂相乘是指数相加，不要把 写成 ； 幂的乘方才是指数相乘； 也不能合并成 。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　22/52 应用新知 判断（先打“√”或“×”，再说清理由） 。（　　） 。（　　） （1）×。同底数幂相乘，指数相加： 其值约为 ，而 约为 ， 两者不相等。 （2）×。幂的乘方，指数相乘： 结果是 4，不是 8；8 是把指数相加成 3 才得到的。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　23/52 例题精讲 考点：含无理数指数的幂的化简与求值 例 3　计算下列各式的值： （1）同底数幂相乘，指数相加： （2）幂的乘方，指数相乘： （3）先把 化出来，再合并指数： 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　24/52 变式训练 考点：含无理数指数的幂的化简与求值 变式 3　计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 （1）底数化为 2，指数相加： （2）同底数幂相乘，指数相加后只剩 4： 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　25/52 方法归纳 考点：含无理数指数的幂的化简与求值 ① 先同底：底数不同的幂相乘除，先把底数写成同一底数的幂。 ② 再算指数：把指数看成含二次根式的代数式，先化简再合并。 ③ 后规范化：能合并的合并，结果中根式与分数指数幂不同时出现。 像 这样的根式要先化成 ，否则指数无法相加合并；这是含无理数指数运算中最容易 出错的一步。 注意：π 也是实数，含 π 的指数同样满足上面三条性质。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　26/52 学习新知 底数不同，先化成同一底数——这是含无理数指数幂运算的第一步： 一般地， 与 的幂能合并的前提，是它们能化成同一个底数。 例如 。 结果规范化：底数不含根号、指数不含可约分的形式， 根式与分数指数幂不同时出现， 不同底数的幂不强行合并。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　27/52 例题精讲 考点：字母指数的化简与结果规范化 例 4　（式中字母均为正数）化简下列各式： （1）指数做加减，先通分： （2）积的乘方，再把指数相乘： 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　28/52 变式训练 考点：字母指数的化简与结果规范化 变式 4　计算 的结果。 思路：根号里的底数要先“落地”，把 写成 3 的二分之一次幂。 解： ， 于是原式化为同底数幂相乘。 即原式的值为 3 。 点评：底数与指数都要写成同一种形式：先把幂的底数统一，再对指数做加减，最后合并。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　29/52 方法归纳 考点：字母指数的化简与结果规范化 ① 统一底数： 把带根号的底数写成分数指数幂，如 就是 3 的二分之一次幂。 ② 统一指数形式：指数中的根式先化简，能合并的同类二次根式先合并。 ③ 按性质运算：乘法指数相加、除法指数相减、乘方指数相乘。 化简与求值的结果要求：底数不含根号，指数不含可约分的形式，根式与分数指数幂不同时出现，不同底数的幂不强行合并。 易错：把底数与指数同时相加，如把 4 的根号 2 次幂乘 2 的根号 2 次幂写成 6 的根号 2 次幂。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　实数指数幂的运算性质　·　30/52 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 03 条件求值与整体代入 学习新知 常用变形（ ）：由 求更高次的式子。 两个括号里的常数项都来自 ，不是 2。 和式平方后减 2，差式平方后加 2；立方和取 ，立方差取 。 逆用同样重要：已知 a 的 m 次幂与 a 的 n 次幂，求 a 的含 m、n 的式子，一律拆成幂的乘方与同底数幂相除。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　32/52 例题精讲 考点：由 a 的二分之一次幂的条件求值 例 5　已知 （ ），求下列各式的值： (1) ；　　(2) ； (3) 。 （1）把已知式两边平方，中间项 ： （2）把 两边再平方： 小结：每次平方都多出常数项 2；第 (3) 问用立方和公式，见下一页。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　33/52 例题精讲 考点：由 a 的二分之一次幂的条件求值 （3）用立方和公式 ， 取 、 ，则 ： 代入已知值 3 与第 (1) 问得到的 ： 对照：若条件换成 ，则平方后得 ，立方差的中间项变成 。 点评：括号里的常数项来自 uv=1，不是 2；符号要与条件式一致。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入（续）　·　34/52 变式训练 考点：由 a 的二分之一次幂的条件求值 变式 5　已知 （ ），求 与 及 的值。 两边平方，中间项是 ： 再平方一次： 立方差公式，中间项取 ： 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　35/52 例题精讲 考点：逆用运算性质整体代入 例 6　已知 ， （ ），求 的值。 思路：目标式的指数是 3m−2n，先拆成幂的乘方与同底数幂相除。 逆用 与 ： 代入 、 ： 点评：不能把目标式算成 4 的立方减 3 的平方；指数之间做乘除与加减，底数不参与加减。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　36/52 变式训练 考点：逆用运算性质整体代入 变式 6　已知 ， ，则 = 15 ； = 。 同底数幂相乘，指数相加： 逆用幂的乘方与同底数幂相除： 点评：α、β 可以是有理数也可以是无理数，性质照旧；先拆指数，再整体代入。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　37/52 方法归纳 考点：逆用运算性质整体代入 ① 先平方：由 a 的二分之一次幂与它的倒数的和（差）平方，得到 a 加 a 的负一次幂。 ② 再平方：把上一步的结果再平方，得到 a 的平方加 a 的负二次幂。 ③ 用立方和（差）：降次到二分之三次幂时，直接用公式整体代入前两步的结果。 三条路线的先后顺序由目标式决定：要一次幂就平方一次，要二次幂就平方两次，要二分之三次幂就用立方和（差）公式。 注意：由和（差）反求幂值时，若还要开方，必须先判断正负再取根。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　38/52 方法归纳 考点：逆用运算性质整体代入 ① 拆指数：把所求式的指数写成已知指数与系数的乘积、差的形式。 ② 逆用性质：倍乘写成幂的乘方，相减写成同底数幂相除。 ③ 整体代入：把已知的幂值整块代进去，不要求出底数与指数。 这类题的条件里从不给出底数的具体值，也不需要：只要能把目标式拆成已知幂的乘除形式，就能直接算出结果。 易错：把除法写成减法，或把幂的乘方写成指数相加，导致整体代入失败。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　条件求值与整体代入　·　39/52 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 04 小结及随堂检测 课堂小结 逼近与意义 用不足、过剩近似值从两侧夹逼，无理数指数幂是一个确定的实数。 运算性质 乘加、乘方乘、积方分别乘、除减；指数可为任意实数。 逼近解决“它是什么数”，性质解决“它怎么算”：前者是道理，后者是工具。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　41/52 课堂小结 化简求值 先同底、再算指数、后规范化，根式先化成最简二次根式。 条件求值 平方升次与立方和（差）整体代入；已知幂值时逆用性质。 指数由整数到有理数再到实数，每一步都保留原来的运算性质，这是本节最该记住的一条线索。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　42/52 课堂小结 ① 逼近：一对不足、过剩近似值夹出一个区间，区间长就是误差上限。 ② 意义：无理数指数幂是确定的实数，只在底数大于 0 时讨论。 ③ 运算：同底数幂相乘除、幂的乘方、积的乘方，指数按实数法则合并。 ④ 条件求值：先平方升次，再用立方和（差）公式整体代入。 本节的数学思想是用有理数逼近无理数：先在有理数范围内把问题算清楚，再让位数无限增多，把确定的实数“夹”出来。 书写规范：结果中根式与分数指数幂不同时出现，指数不含可约分的形式。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　43/52 题后反思 ● 把 算成 ，或把 合并成 。 ● 把不足近似值当成四舍五入： 精确到 的不足近似值是 。 ● 忽略底数限制：负数的无理数指数幂没有意义， 的 次幂也不行。 ● 反求近似值时不比较区间长：只有两端之差小于要求的精确度， 这一对近似值才可以使用。 解答题的书写顺序：定近似值—算两个幂—写出区间—比较区间长—给出近似值与误差。五步缺一，结论就不完整。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　44/52 当堂检测 检测 1　下列说法正确的是（　　） A． 与 相等 B．无理数指数幂 中的底数 可以取任意实数 C． D．当 ， 为无理数时， A 中 无意义，谈不上与 16 相等； B 中底数必须满足 ；C 中指数应相加，结果是 ， 约为 7.103，不是 4；D 是同底数幂相除的特例。 答案　D　点评：判断式子是否有意义，先看底数，再看指数的范围。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　45/52 当堂检测 检测 2　计算： = 9 ， = 1 。 检测 3　（式中字母均为正数） = 。 检测 2：同底数幂相乘，指数相加，根式项全部抵消： 检测 3：先把根号写成分数指数幂，再合并指数： 点评：根式与分数指数幂互化是这类题的第一步，指数相加前要先统一写法。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　46/52 当堂检测 检测 4　已知 （ ），则 = 。 解：把待求式整体平方，中间项是 2： 又 、 ，其和为正，故取正根 。 点评：由幂值反求和式时，平方之后必须判断正负，舍去不合条件的根。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　47/52 当堂检测 检测 5　由下面两串有理数指数幂逐渐逼近，可以得到的数是（　　） A． B． C． D． ，第一串是它的不足近似值， 第二串是过剩近似值，两串数都以 为指数。 故逼近得到 。 答案　C　A、D 只是串中的某一项，B 的指数与两串数不符。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　48/52 当堂检测 检测 6　（多选）已知 ， ，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． A 是积的乘方，B 是幂的乘方，D 是同底数幂相除，都成立； C 中两个幂相加不能合并底数。取 ，左边 ，右边 。 两边不等，故 C 错误。 答案　ABD　判断等式是否恒等，取一组特殊值最快。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　49/52 当堂检测 检测 7　已知 ，求 的值。 思路： ，把已知式两边平方。 所以 。 点评：平方多出的常数项是 2，它来自 2 的 m 次幂与它的倒数相乘。 追问：若把条件换成 2 的 m 次幂减它的倒数为 5，结果同样是 23 吗？先平方，再看多出的常数项是正是负。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　50/52 当堂检测 检测 8　已知 、 是方程 的两个根， 且 ，求 的值。 由根与系数的关系： 设 ，由 知 ，两边平方： 开方并取正根，得 。 点评：先平方再开方，避开了分别求两个根的根式值；开方时必须先判断符号。 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质　·　小结与随堂检测　·　51/52 本节课到此结束 下节预告　4.2.1 指数函数的概念 人教A版2019必修第一册 $