第五章 二次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第五章二次函数单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1.函数y=(m+2)x2+(m-3)x+m是二次函数，则m的值为《) A.2或2 B.2 c.2-2 或 D.V② 2.某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个，若销售单价每上涨1元 个，则每天的销量就减少1个.设该商品的销售单价为x元个，每天的利润为》元，则y与之间的函 数关系式为() A.y=(x-30儿40-(40-x)] B.y=(x-40)[40-(x-40)] c.y=(10+x(40+x) D.y=(x-30)[40-(x-40)] y=-x2+2x-3 3.下列关于抛物线 的叙述，正确的是() A.开口向上 B.抛物线的对称轴在y轴左侧 C.与y轴正半轴可以相交 D.当x>1时，y随x的增大而减小 4.如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当 水位下降2米后，水面的宽度为(，)米 2m 4m A.4V6 B.4V2 C.25 D.6 5.二次函数'=-r+2x+3 ,当1<xs3 时，’的取值范国是() A.0≤y≤3 B.0<y≤3 C.0<y≤4 D.0≤y≤4 G在同-平面直角坐标系中，一次函数=+6与二次西数”=+x 的图象可能是() 试卷第1页（共3页） 7.二次函数'=心+r+C的图象如图所示，对称轴是直线x=-1,则过 M(2a-b,c)和点 N(4ac-b2,a+b+c) 的直线一定不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.已知二次函数y=r-2r+b(a、b为常数， a<0的图象经过P3,2),(m,+3到两点，则m的 值可能是() A.-3 B.-1 C.1 D.4 9.二次函数"=-x+c(a、c为常数，a≠0)的图象与轴的交点坐标分别为：，0)和伍，0)，且 0<x<1<x2 ,下列选项中正确的是() A.a<0 B.4ac>1 C.a+c<l D.4a+c>1 10.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm,点E,F同时从点D出发，点E以2cm/s的速度沿D→A→B 匀速运动，点F沿D→B匀速运动，当点E运动到终点B时，两点同时停止运动.当点F出发秒时， △DEF 的面积为m.已知'与'的函数关系的图象如图2（曲线OH和GH ycm2 均为抛物线的一部分)，则 下列选项中说法错误的是() 试卷第2页（共3页） Av(cm) 48 5 4 Gt(s) 图1 图2 A.BD=10cm B.曲线GH的函数表达式为y=-4(+28 5 +5(4≤1s7列 C.点F的运动速度为lcm/s 25BE_4 D.若=8秒，则BF5 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分) 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B开始，沿BC边向点C运 动，速度为2cm/s,动点从点C开始沿CA边向点A运动，速度为1cm/s.如果P,Q两点同时运动， 一点运动到终点，另一点随之停止：设运动时间为s.当t= 时，△PCO的面积最大. 1▣ P← B C 12.若二次函数'=-8x+m 的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则m= 13.二次函数y-+x有最小值-8，它的图像与x轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面 积是一 14.如图，二次函数=与”=-+2x。 的图象如图所示，则阴影部分的面积是 试卷第3页（共3页） 15.已知二次函数)=a(x-2+a,当1≤x≤4时，y的最小值为-10，则0的值为 16,如图，已知二次函数一（x+2八的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上方存在一点卫，同 时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为】 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分) 17.综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案， 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你 无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费。 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架80元，当售价定为每架120元时，每天能销售20 架，每架的售价每降低1元，每天可多销售2架， (I)设每天销售获得的利润为W元，每架迷你无人机的售价应降低x元，求W与x之间的函数关系式： (2)当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 18.已知二次函数几组x与y的对应值如下表： 0 3 4 0 3 -3 0 (1)求此二次函数的表达式： (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象，当x的范围为3≤x≤2时，直接写出的范围！ 试卷第4页（共3页） 5 4 3 2 1 5-4-3-2-10 1 2 345x 2 3 19,大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝.喷泉喷出的 水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面O点喷出，落在水面上A点，以OA所在的直线为x轴，水流 喷出点O为坐标原点建立平面直角坐标系，A0=8m,水流最高点B距离水面5m. Ay/m F x/m (I)求这条水流抛物线的函数表达式： (2)在水面上E、F两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的C、D两点处，垂直 15 高度都是4m,求C、D两点之间的水平距离. 3 20.如图，直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于点A个B'点p是线段AB上的一个动点（不与AB 重合)，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足为M、N,得到矩形OMPN.设点P的横坐标为x,矩 形OMPN的面积为S, y B D M A (I)OM与PM各是多少（用含x的式子表示）？由此得到S与x之间的关系式，并求x的变化范围： 试卷第5页（共3页） (2)当矩形OMPW的面积为9时，求点P的坐标： (3)点P在什么位置时，矩形OMPN的面积最大？求出这个面积最大值， 21.已知函数'=(m-)小x+4x+3。 是关于x的二次函数. (1)直接写出m=_: (2)若点 2,),B(-3,）是该抛物线上的两点，那么片片.（填“>、“=或“<） (3)当-2≤x≤3时，y的取值范围为. (4)当-2≤x≤t时，y的最大值为5，最小值为-13,1的取值范围为_. 22.【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一棵古树与墙CD,AD的距离分别是 15m和6m,在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一 个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边且恰好用完)，设AB=xm, 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）， 【解决问题】思路：把矩形的面积S用含x的代数式表示出来. B P. D A (I)求出S与x的解析式并确定x的取值范围： (2)花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由： (3)若要使古树P恰好在矩形ABCD的对角线BD上，求x及S的值. 23.【问题探究】 图1 图2 ()如图1，在矩形ABCD中，AD=20,AB=16,点E从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向终点 C运动，同时点F从终点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点D运动，其中一点到达终点后，另一 试卷第6页（共3页） 点随之停止运动，连接EF.设点E运动的时间为s>O),△CEF的面积为S. ①CE的长用t表示为 ②当S=75时，求t的值. 【问题解决】 (2)如图2，矩形ABCD是某景区的一片花海的示意图（周围空地可用），现要对其进行规划扩建，分别从 B、D向CD、BC边铺设两条小路BF和DE(点E、F分别在线段BC、CD上，且不与端点重合)，再 从点E铺设一条与BF平行且相等的小路EM(即EM∥BF,EM=BF),要求点M在CD的右侧，过 M作MN⊥BC交BC的延长线于点N,连接DM,在△DEM区域种植向日葵，为节省开支，要求 △DEM的面积尽可能小.己知AD=300m,AB=200m,BE=CF,求△DEM的面积最小时点B与点E之间 的距离BE.(小路的宽度忽略不计) 24.在平面直角坐标系中，范物线=+x+3与‘轴交于1(3,0)，B(,0)两点，与'销交于点C, 顶点为D 图① 图② (1)求此二次函数解析式： (2)如图①，在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； (3)如图②，F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形？若存在， 直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由， 试卷第7页（共3页） 第五章二次函数单元测试卷 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．函数是二次函数，则的值为（     ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义，得出且，解方程和不等式，即可得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得，或， 解得，， ∴． 2．某商品的进货单价为30元/个，当销售单价为40元/个时，每天能卖出40个，若销售单价每上涨1元/个，则每天的销量就减少1个．设该商品的销售单价为x元/个，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利润（售价进价）销量，列函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，每个商品的利润为元，销量为（个）， ∴每天的利润． 3．下列关于抛物线的叙述，正确的是（     ） A．开口向上 B．抛物线的对称轴在y轴左侧 C．与y轴正半轴可以相交 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】通过配方得到抛物线顶点式，结合开口方向、对称轴、与轴交点及增减性判断各选项． 【详解】解：对抛物线配方得． ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向下，A错误． 抛物线对称轴为直线，在轴右侧，B错误． 当时，， ∴抛物线与轴交于负半轴，C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，D正确． 4．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，当拱顶到水面的距离为米时，水面宽度为米；那么当水位下降米后，水面的宽度为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立坐标系，设函数解析式为，把抛物线经过的点代入解析式求出，然后把代入解析式，求出两个横坐标之间的距离即为水位下降后的水面宽度． 【详解】解：如图，设抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，． 设抛物线解析式为， 拱顶到水面的距离为米，水面宽度为米， 抛物线经过点， ， 解得． 抛物线解析式为． 水位下降米， 此时水面所在直线为． 当时，， 解得，． 水面宽度为（米）． 5．二次函数，当时，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的最值出现在顶点或自变量取值范围的端点处，结合开口方向与给定x的范围确定y的取值范围 【详解】解： ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴ 当时，取得最大值 当时，； 当时， ∵ ，且当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， ∴ 当时，； 当时， ∴ 的取值范围是 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用假设法，结合图象的开口方向和直线经过的象限，即可判断是大于0还是小于0，若出现矛盾则错误，两个图象的结果一致即是正确答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过二、四象限，，出现矛盾，错误． B、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、三象限，，出现矛盾，错误． C、由抛物线可知，图象开口方向向上，，由直线可知，直线经过一、二、三象限，，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相符合，正确． D、由抛物线可知，图象开口方向向下，，由直线可知，直线经过一、二、四象限，，对称轴，与图中对称轴在轴左侧相矛盾，错误． 7．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由二次函数图象的对称轴为直线，求出，由图象可知，则点在y轴正半轴；由图象与x轴没有交点，得出．当时，，即，则在第一象限，由此可判断直线所经过的象限，即可解答． 【详解】解：由题图可知，二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 由图象可知，． ∴点在y轴正半轴． ∵图象与x轴没有交点， ∴， ∴． 当时，，即， ∴在第一象限． ∴过点M和点N的直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 8．已知二次函数、为常数，的图象经过，两点，则的值可能是（     ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】二次函数图象的对称轴为，将代入得到，将和代入函数得：，，，得到，将选项代入验证即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为， ，图象开口向下， 将代入得：， ， 将和代入得：， 整理得：， ， ，， ， 选项中，只有符合． 9．二次函数（、为常数，）的图象与轴的交点坐标分别为和，且，下列选项中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两根均为正数确定的符号，结合一元二次方程根的判别式、处的函数值判断各选项． 【详解】解：∵二次函数图象与轴交于、，且， ∴，， 由根与系数的关系得，， ∵， ∴，即，故A错误； ∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴，即， ∴，故B错误； ∵，抛物线开口向上，且， ∴当时，，即， ∴，故C正确； 取满足的，， 则，得，，得， 此时，故D错误． 10．如图1，在矩形中，，点同时从点出发，点以的速度沿匀速运动，点沿匀速运动，当点运动到终点时，两点同时停止运动．当点出发秒时，的面积为．已知与的函数关系的图象如图2（曲线和均为抛物线的一部分），则下列选项中说法错误的是（     ） A． B．曲线的函数表达式为 C．点的运动速度为 D．若秒，则 【答案】D 【分析】用勾股定理求出，故A选项正确；过点作于点，则，则，得到点的运动速度为，故C选项正确；当时，点在上运动，此时，过点作于点，求出，故选项B正确，求出，故选项D错误． 【详解】解：由图2可知，当时，面积达到最大值，此时点运动到点， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 故A选项正确； 当时，点与点重合，此时， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴点的运动速度为，故C选项正确； 当时，点在上运动，此时，则，，， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， 故选项B正确， 当时，，点E在上， ∴，， 在中， 此时，， ∴，故选项D错误． 二、填空题（本大题6题，每小题3分，共计18分） 11．如图，在中，，，，动点从点开始，沿边向点运动，速度为，动点从点开始沿边向点运动，速度为．如果，两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为．当__________时，的面积最大． 【答案】2 【分析】根据题意表示出、直接计算面积，得到二次函数表达式，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：∵两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止，，， ∴运动时间， ∴， 根据题意可知，，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 该函数是开口向下的二次函数，对称轴为， ∵， ∴时，的面积最大． 12．若二次函数的图像与轴的两个交点之间的距离是6，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数解析式得到对称轴为，由的图像与轴的两交点横坐标相差，从而得到，，再根据，即可求解 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， ∵的图像与轴的两交点横坐标相差， ∴两交点的横坐标分别为、，即，， ∵， ∴． 13．二次函数有最小值，它的图像与轴有两个交点，这两个交点与顶点构成的三角形面积是_____． 【答案】 32 【分析】先根据二次函数的最小值求出参数的绝对值，再求出抛物线与轴两交点的距离，结合顶点到轴的距离作为三角形的高，代入面积公式计算即可． 【详解】解：∵ 二次函数中， ∴ 函数开口向上，顶点的纵坐标即为函数的最小值， ∵ 二次函数顶点纵坐标为， 根据题意得：， 函数最小值为， ∴ 代入得， 化简得， 解得，即， 令，求解函数与轴的交点：， 提取公因式得， 解得，， ∴ 两交点间的距离为， ∵ 两交点均在轴上， ∴ 三点构成的三角形的底为两交点的距离8，高为顶点到轴的距离，即顶点纵坐标的绝对值， ∴ 三角形面积为． 14．如图，二次函数与的图象如图所示，则阴影部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】根据二次函数的图象与性质，运用割补的方法求解即可． 【详解】解：连接，，设二次函数的顶点为点A，与x轴的另一个交点为点B， ， ， 令，则， 解得，， ， 的面积为， 二次函数与的图象形状相同，开口方向相反， 两函数图象的公共部分被线段分割成面积相等的两部分，且每一部分均与图中线段上方的阴影部分面积相等， 阴影部分的面积等于的面积， 即阴影部分的面积是1． 15．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的对称轴为直线，该对称轴在给定区间内，再根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，分情况确定区间内最小值的位置，代入计算求解符合条件的值. 【详解】解：该二次函数为顶点式，对称轴为直线，且在区间内，分两种情况讨论： ① 当时，抛物线开口向上，顶点为区间内的最低点，此时函数的最小值为顶点的纵坐标， 根据题意得，与矛盾，该情况舍去； ② 当时，抛物线开口向下，顶点为区间内的最高点，此时函数的最小值出现在离对称轴更远的区间端点， 计算两个端点到对称轴的距离： 到的距离为， 到的距离为， ∵ ， ∴ 处的函数值更小，为区间内的最小值， 将代入函数得， 根据题意得， 解得，符合的条件， 综上，的值为. 16．如图，已知二次函数y=的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上方存在一点P，同时点P在对称轴上，若以P、A、B为顶点的三角形为等腰三角形，点P的坐标为_________． 【答案】或或 【分析】先由二次函数的解析式得到点，点的坐标以及对称轴，由于点在轴上方，且在对称轴上，设点坐标为，再根据以、、为顶点的三角形为等腰三角形的已知条件，讨论三角形哪两条边作为三角形的腰，利用勾股定理表示出两点之间的距离，以等腰三角形两腰相等为等量关系列出式子，计算得到的不同取值，检验是否大于后即可得到点的坐标． 【详解】解：二次函数为，与轴交于点，与轴交于点， 当时，，点的坐标为， 当时，，点的坐标为， 对称轴为直线． 点在对称轴上， 设点的坐标为． 以、、为顶点的三角形为等腰三角形， 需要分三种情况讨论． 当时，由，得， 解得， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 当时，由，得， 解得或（舍去）， 点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 三、解答题（本大题8题，每小题9分，共计72分） 17．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案． 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】校园调查发现该迷你无人机的进价为每架元，当售价定为每架元时，每天能销售架，每架的售价每降低1元，每天可多销售架． (1)设每天销售获得的利润为元，每架迷你无人机的售价应降低元，求与之间的函数关系式； (2)当每架迷你无人机的售价降低多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（）． (2)当每架迷你无人机的售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】第问先根据利润问题的基本等量关系，建立总利润和降价金额之间的函数关系，结合实际意义确定自变量取值范围； 第问利用二次函数的图像性质，判断开口方向，找到顶点位置，验证顶点在取值范围内后求出最大利润． 【详解】（1）解：每架降价元后，单件利润为， 每天销量为． 由“总利润单件利润销量”得： 售价不能低于进价，，即． ∴ （2）解：中，，抛物线开口向下，顶点处取最大值． 顶点横坐标：， 在内， 当时取最大值． 代入得：． 答：当每架售价降低元时，每天获得的利润最大，最大利润为元． 18．已知二次函数几组与的对应值如下表： … … … … (1)求此二次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，结合图象，当的范围为时，直接写出的范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）由表可知抛物线与轴的交点坐标为和，设二次函数的表达式为，利用待定系数法解答即可； （）根据（）所得解析式求出抛物线的顶点坐标和对称轴，再根据表中对应的值画出函数图象，根据图象写出的范围即可． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线与轴的交点坐标为和， 设二次函数的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴， 即此二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 画函数图象如下： 由函数图象可知，当时，是函数取得最小值；时，函数取得最大值，最大值为， ∴的范围为． 19．大同南城墙永泰门广场的音乐喷泉夏季夜晚开启灯光秀，本地人和外地游客络绎不绝．喷泉喷出的水流轨迹如下图近似抛物线型，水流从水面点喷出，落在水面上点，以所在的直线为轴，水流喷出点为坐标原点建立平面直角坐标系，，水流最高点距离水面． (1)求这条水流抛物线的函数表达式； (2)在水面上、两点处装有两个射灯，射出的两条光线垂直打到抛物线型水流的、两点处，垂直高度都是，求、两点之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入解析式求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为 把代入得：； 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解：把代入解析式得 解得， ∴、两点之间的水平距离为． 20．如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上的一个动点（不与、重合），过点分别向轴、轴作垂线，垂足为、，得到矩形．设点的横坐标为，矩形的面积为． (1)与各是多少（用含的式子表示）？由此得到与之间的关系式，并求的变化范围； (2)当矩形的面积为时，求点的坐标； (3)点在什么位置时，矩形的面积最大？求出这个面积最大值． 【答案】(1)，， (2)或 (3)当点的坐标为时，矩形的面积最大，最大值为 【分析】（1）根据题意，先确定、、三点的坐标，然后根据矩形的性质求解即可； （2）把代入求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵点是线段上的一个动点（不与、重合），点的横坐标为， ∴点的坐标为，其中． ∴，． ∴，即． （2）解：把代入，得， 解得，， ∵， ∴或， 此时或， ∴点的坐标为或； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴， 即当点的坐标为时，矩形的面积最大，最大值为． 21．已知函数是关于的二次函数． (1)直接写出 ： (2)若点是该抛物线上的两点，那么 ．（填“>”、“=”或“<”） (3)当时，的取值范围为 ． (4)当时，的最大值为5，最小值为，的取值范围为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次函数的定义可得，且，再解答； （2）由（1）得二次函数关系式为，再求出当和当时的函数值，然后比较得出答案； （3）根据题意可知抛物线的开口向下，当时，；当时，，即可得出答案； （4）当时，；当时，，再确定点关于对称轴对称的点是，则此题可解． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，且， 解得； （2）解：由（1）得二次函数关系式为， 当时，； 当时，， ∴； （3）解：二次函数， ∴抛物线的开口向下，当时，； 当时，， 当时，， ∴； （4）解：当时，； 当时，， ∴． 点关于对称轴对称的点是， 即当时，， ∴． 22．【问题背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的处有一棵古树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边且恰好用完），设． 【设计方案】设计一个矩形花园，且要将古树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形的面积用含的代数式表示出来． (1)求出与的解析式并确定的取值范围； (2)花园的面积能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由； (3)若要使古树恰好在矩形的对角线上，求及的值． 【答案】(1)， (2) (3)的值为，的值为 【分析】（1）根据题意列函数关系式并求出的取值范围即可； （2）令，得到，解方程并根据，即可得到答案； （3）过点作于点，得出，求出，． 【详解】（1）解：根据题意得，； 古树与墙，的距离分别是和， 解得； （2）解：令，则， 整理得， 解得，或， ， 答：花园的面积能为，此时的值为； （3）解：如图，过点作于点，则，， ， ， ， 整理得， 解得， 此时， 答：的值为，的值为． 23．【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从终点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，连接．设点运动的时间为，的面积为． ①的长用表示为_________； ②当时，求的值． 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某景区的一片花海的示意图（周围空地可用），现要对其进行规划扩建，分别从B、D向、边铺设两条小路和（点E、F分别在线段、上，且不与端点重合），再从点铺设一条与平行且相等的小路（即，），要求点在的右侧，过作交的延长线于点，连接，在区域种植向日葵，为节省开支，要求的面积尽可能小．已知，求的面积最小时点与点之间的距离．（小路的宽度忽略不计） 【答案】(1)①；②． (2)． 【分析】（1）根据，写出代数式即可；根据题意列出S关于t的关系式，列方程求解即可； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，四边形是矩形，四边形是正方形，设，根据列出代数式配方判断最小值即可． 【详解】（1）解：①∵矩形 ∴， ∴．     ②由题意可得，      当时，得， 解得．     ∵四边形是矩形，， 当时，，符合题意；     当时，，不符合题意， ∴当时，． （2）解：如下图，连接． ∵四边形是矩形，， ∴四边形是平行四边形，     ，则． ∴四边形是矩形．     ，则四边形是正方形，      设， 则，      当时，的面积最小，此时， ∴当的面积最小时点与点之间的距离为． 24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此二次函数解析式； (2)如图①，在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； (3)如图②，为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)． (3)存在，点P的坐标为或． 【分析】（1）两个交点是抛物线与轴的公共点，把它们代入含待定系数的解析式，得到关于、的方程组即可确定解析式； （2）的周长中是定长，用轴对称把折线化为直线段，再由两点之间线段最短定出点，最后求相应直线与轴的交点； （3）先求直线的解析式，把动点的坐标用一个字母表示，再按等腰直角三角形直角顶点在、、的三种位置分类，由两条直角边相等与勾股定理列方程求出点的坐标，代入抛物线解析式求解． 【详解】（1）解：将．代入得． 解之得： ∴此函数解析式为． （2）解：作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点E， 则，， 根据两点之间线段最短，当共线时，， 此时的周长最小， 如图①所示． ， ． 设直线的解析式为，则有 解得 ∴直线的解析式为， 当中时，， ∴当的周长最小时，点E的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或． 理由如下： 设直线的解析式为，把、代入，得． 解得． ∴直线的解析式为． 点在直线上，设． 当时点与点重合，不存在，故． 记，则，且． 由勾股定理得． 设，由勾股定理得． 同理． 为等腰直角三角形时，两条直角边相等，斜边的平方等于两条直角边平方之和；直角顶点只能在、、三处，三种情况如图②所示． ①直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得． ∵， ∴，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得． 整理得． 解得(点与点重合，舍去)，，此时． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 两支给出的点都是，对应直线上两个不同的点． ②直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵， ∴． ∵是斜边，由勾股定理， ∴． 把第一式展开后与第二式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 解得，此时点与点重合，舍去． ③直角顶点在，即，两条直角边是、． ∵，且是斜边， ∴，即． ∴． 把第二式展开后与第一式相减，整理得，即． 代入，得． ∴或，点为或． 即或． 把代入，得，即． 解得(舍去)，，此时． 把代入，得． 该式只给出，图形退化，这一支舍去． 综上可知，抛物线上存在点，使为等腰直角三角形；②与③得到的点都是，故点的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $